2.1 向 量 的 加 法陸 川 縣 實 驗 中 學(xué) 張 藝 耀 北 京廣 州 上 海1.飛 機(jī) 從 廣 州 飛 往 上 海 ,再 從 上 海飛 往 北 京 ,這 兩 次 位 移 的 結(jié) 果 與 飛機(jī) 從 廣 州 直 接 飛 往 北 京 的 位 移 相 同嗎 ？我 們 把 后 面 這 樣 一 次 位 移 叫 作前 面 兩 次 位 移 的 合 位 移 .相 同 A BCD2.在 大 型 生 產(chǎn) 車 間 里 ,一 重 物 被 天 車 從 A處 搬 運 到 B處 .的 合 位 移 。與 豎 直 運 動 的 分 位 移水 平 運 動 的 分 位 移， 可 以 看 作它 的 實 際 位 移 ADACAB 由 分 位 移 求 合 位 移 ,稱 為 位 移 的 合 成 .在 上 一 節(jié) 課 中 我 們 知 道 位 移 是 向 量 ， 因 此 位 移 合成 就 是 向 量 的 加 法 ， 那 么 向 量 的 加 法 怎 么 體 現(xiàn) ？符 合 哪 些 規(guī) 律 呢 ？ 這 就 是 我 們 今 天 要 探 究 的 內(nèi) 容 . 1.掌 握 向 量 加 法 的 概 念 ； 能 熟 練 運 用 三 角 形 法 則 和平 行 四 邊 形 法 則 求 幾 個 向 量 的 和 向 量 .（ 重 點 )2.能 準(zhǔn) 確 表 述 向 量 加 法 的 交 換 律 和 結(jié) 合 律 ， 并 能 熟 練運 用 它 們 進(jìn) 行 向 量 計 算 . （ 重 點 ）3.向 量 加 法 的 概 念 和 向 量 加 法 的 法 則 及 運 算 律 .（ 難 點 ） 既 然 向 量 的 加 法 可 以 類 比 位 移 的 合 成 ， 想 一 想 ， 求兩 個 向 量 的 和 是 否 也 可 以 類 比 前 面 位 移 的 合 成 呢 ？探 究 點 1 向 量 加 法 的 三 角 形 法 則baa,b, 如 下 圖 ， 已 知 向 量 如 何 求 這 兩 向 量 的 和 ？ 這 種 作 法 叫 作 向 量 求 和 的 三 角 形 法 則 .A C作 法 ： 1.在 平 面 內(nèi) 任 取 一 點 A.討 論 ： 作 圖 的 關(guān) 鍵 點 在 哪 ？ 首 尾 順 次 相 連 .Ba ba b a b a, b 類 比 前 面 的 廣州 至 北 京 的 飛機(jī) 位 移 的 合 成. 再 作 向 量 AC (1)同 向 (2)反 向ab a b思 考 ： 當(dāng) 向 量 a， b是 共 線 向 量 時 ， a+b又 如 何 作 ？a b AB BC=AC (3)規(guī) 定 ： a 0 0 a a. A BCBAa Cb a b AB BC=AC A探 究 點 2 向 量 加 法 的 平 行 四 邊 形 法 則思 考 ： 類 比 位 移 的 合 成 方 法 ， 作 兩 向 量 的 和 還 有沒 有 其 他 的 方 法 呢 ？ B D Cba作 法 ： 作 以 AB， AD為 鄰 邊 作 平 行 四 邊 形 ， 則AB a,AD b, AC a b + 上 述 這 種 方 法 叫 作 向 量 求 和 的 平 行 四 邊 形 法 則 .思 考 ： 這 種 方 法 的 作 圖 關(guān) 鍵 點 是 什 么 呢 ？提 示 ： 共 起 點 . 提 升 總 結(jié) ： 三 角 形 法 則 和 平 行 四 邊 形 法 則 的 使 用 范圍 .（ 1） 三 角 形 法 則 適 用 于 任 意 兩 個 向 量 的 加 法 ; （ 2） 平 行 四 邊 形 法 則 適 用 于 不 共 線 的 兩 個 向 量 的 加法 . 例 輪 船 從 港 沿 東 偏 北 30 方 向 行 駛 了 40 n mile（ 海 里 ） 到 達(dá) B 處 ,再 由 B處 沿 正 北 方 向 行 駛 40 n mile 到 達(dá) C 處 .求 此 時 輪 船 與 A港 的 相 對 位 置 .北A B30 D 東CC AB BACAC AB B ： 如 圖 ， 設(shè) , 分 別表 示 輪 船 的 兩 次 位 移 ,則 表 示 輪 船 的 合 位 移 ,解 . C 東北A B30 CRt ADB , ADB 90 , DAB 30 ,|AB| 40 n mile|DB| 20 n mile,|AD| 20 3 n mile 在 中 ，所 以 2 22 2Rt ADC , ADC 90 ,|DC| 60 n mile|AC| |AD| |DC|(20 3) 60 40 3 (n mile). 在 中 ，所 以 D|AC| 2|AD|,CAD 60 所 以 .因 為答 : 輪 船 此 時 位 于 A港 東 偏 北60 ， 且 距 A港 40 n mile 的C處 . 3 探 究 點 3 向 量 加 法 的 運 算 律數(shù) 的 加 法 滿 足 交 換 律 與 結(jié) 合 律 ， 即 對 任 意 a， b R， 有a+b=b+a， （ a+b） +c=a+（ b+c） .任 意 向 量 的 加 法 是否 也 滿 足 交 換 律 和 結(jié) 合 律 ？ a,b 向 量 的 加 法 滿 足 交 換 律 和 結(jié) 合 律DA CB A B CDa+b +c=a+ b+c （ ） （ ） A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+ +An-2An-1+An-1An =思 考 ： 能 否 將 它 推 廣 至 多 個 向 量 的 求 和 ？A1 A2 A3 A1A2+A2A3+A3A4=_A1A2+A2A3= _A1A2 A3 A4多 邊 形 法 則 ： n個 首 尾 順 次 相 接 的 向 量 的 和 等 于 折線 起 點 到 終 點 的 向 量 . 1 3A A1 4A A1 nA A 解 ： 如 圖 ， 表 示 ， 表 示 .以 OA， OB為 鄰 邊 作 OACB， 則 表 示 合 力 .在 Rt OAC中 ， =40N， =30N.由 勾 股 定 理 得例 2 兩 個 力 和 同 時 作 用 在 一 個 物 體 上 ,其 中 的 大 小為 40 N,方 向 向 東 , 的 大 小 為 30 N,方 向 向 北 ,求 它 們 的 合 力 .東北O(jiān) COA OBOC 1|OA| |F | 2|AC| |OB| |F | 2 2 2 2|F| |OC| |OA| |AC| 40 3050(N) . 設(shè) 合 力 與 力 的 夾 角 為 ， 則 所 以 37 .答 ： 合 力 大 小 為 50N， 方 向 為 東 偏 北 37 .21|F |AC| 3tan 0.75.4|OA| |F | 1F 2F 1F2F 1F 2FurFF 1F F1F2F O B例 3 在 小 船 過 河 時 ,小 船 沿 垂 直 河 岸 方 向 行 駛 的 速 度為 v1=3.46 km/h,河 水 流 動 的 速 度 v2=2.0 km/h.試 求小 船 過 河 實 際 航 行 速 度 的 大 小 和 方 向 . v1 v2解 ： 如 圖 ， 設(shè) 表 示 小 船 垂 直 于 河岸 行 駛 的 速 度 , 表 示 水 流 的 速 度 ，以 OA,OB為 鄰 邊 作 OABC， 則 就是 小 船 實 際 航 行 的 速 度 .OAOB OC CA 12 2 2 2 212Rt OBC BC =v 3.46 km/hOB=v 2.0 km/hOC OB BC 3.46 2.0 4.0 km/hvtan BOC= 1.73, BOC 60.v 60 . ： 中 ， ， （ ） .小 船 實 際 的 航 行 速 度 的 大 小 約 為 ，方 向 與 水 流 方 向 約 成在所 以因 為 以答 所角 4.0 km/h ABC D E F BA CD EF .如 圖 ， 在 正 六 邊 形 ABCDEF中 ， （ ） A B C 0 BE AD CF 2.下 列 非 零 向 量 的 運 算 結(jié) 果 為 零 向 量 的 是 ( )A.B. C.D.BC AB PM MN MP BC CA AB CD MP GM PQ QG D 3.試 用 向 量 方 法 證 明 ： 對 角 線 互 相 平 分 的 四邊 形 必 是 平 行 四 邊 形 .證 明 AM MCBM MDAD AM MD MC BM BCAD與 平 行 且 相 等 ,BC 結(jié) 論 得 證 .所 以 A B CD M ab因 為 3.向 量 加 法 運 算 律 .1.向 量 加 法 的 三 角 形 法 則 （ 首 尾 相 接 ） .2.向 量 加 法 的 平 行 四 邊 形 法 則 （ 起 點 相 同 ） .4.三 角 形 法 則 推 廣 為 多 邊 形 法 則 長 期 的 心 灰 意 懶 以 及 煩 惱 足 以 致 人 于 貧 病枯 萎 . 布 朗