第 十 四 章 多 元 函 數(shù) 微 分 學(xué)2009 04 03 14.1 可 微 性 一 、 偏 導(dǎo) 數(shù) 定 義 及 計(jì) 算 00yy xxxz ， 00yy xxxf ， 00yy xxxz 或 ),( 00 yxfx . 同 理 可 以 定 義 函 數(shù) ),( yxfz 對(duì) 自 變 量 y的 偏 導(dǎo)數(shù) ， 記 作 yz ， yf ， yz 或 ),( yxfy . 例 1 求 22 3 yxyxz 在 點(diǎn) )2,1( 處 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 解 xz ;32 yx yz .23 yx 21yxxz ,82312 21yxyz .72213 例 2 設(shè) yxz )1,0( xx ， 求 證 zyzxxzyx 2ln1 .證 xz ,1yyx yz ,ln xxyyzxxzyx ln1 xxxyxyx yy lnln11 yy xx .2z 原 結(jié) 論 成 立 例 3 設(shè) 22arcsin yx xz ， 求 xz ， yz .解 xz xyx xyx x 2222 21 1 322 222 )(| yx yy yx .| 22 yx y |)|( 2 yy yz yyx xyx x 2222 21 1 32222 )( )(| yx xyy yx yyx x 1sgn22 )0( y00 yxyz 不 存 在 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 ,),(),(,( 00000 上 一 點(diǎn)為 曲 面設(shè) yxfzyxfyxM 如 圖 偏 導(dǎo) 數(shù) ),( 00 yxfx 就 是 曲 面 被 平 面 0yy 所 截 得 的 曲 線 在 點(diǎn) 0M 處 的 切 線 xTM0 對(duì) x軸 的 斜 率 . 偏 導(dǎo) 數(shù) ),( 00 yxfy 就 是 曲 面 被 平 面 0 xx 所 截 得 的 曲 線 在 點(diǎn) 0M 處 的 切 線 yTM0 對(duì) y軸 的斜 率 . 幾 何 意 義 : 二 、 全 微 分 的 定 義 全 微 分 (Differentiability) 函 數(shù) 若 在 某 區(qū) 域 D 內(nèi) 各 點(diǎn) 處 處 可 微 分 ，則 稱 這 函 數(shù) 在 D 內(nèi) 可 微 分 . ;),(),(lim 00000 Ax yxfyxxfx 由定義知：0)()( ),(),(lim 22 000000 yx yBxAyxfyyxxfyx 則令 ,0y .),(),(lim 00000 By yxfyyxfy 同理： .),( ),( : 0000 yxfByxfA yx 即習(xí) 慣 上 ， 記 全 微 分 為dz ),( 00| yxdz yyxfxyxf yx ),(),( 0000 dyyxfdxyxf yx ),(),( 0000 dyyxfdxyxf yx ),(),( 推 廣 到 三 元 及 三 元 以 上 函 數(shù) .dzzudyyudxxudu 解 ,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2( exz ,2 2)1,2( eyz .2 22 dyedxedz 所 求 全 微 分 解 ),2sin( yxyxz ),2sin(2)2cos( yxyyxyz yyzxxzdz ),4(),4(),4( ).74(82 解 ,1xu ,2cos21 yzzeyyu ,yzyezu 所 求 全 微 分 .)2cos21( dzyedyzeydxdu yzyz 一 元 函 數(shù) 在 某 點(diǎn) 的 導(dǎo) 數(shù) 存 在三 、 可 微 的 條 件多 元 函 數(shù) 的 各 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 微 分 存 在 全 微 分 存 在 例 7 .00 0),( 22 2222 yx yxyxxyyxf 在 點(diǎn) )0,0( 處 有 0)0,0()0,0( yx ff dzz0lim 220 )()(lim yx yx 而不存在， 說 明 ： 多 元 函 數(shù) 的 各 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 并 不 能 保 證 全 微 分 存 在 .證 ),(),( 0000 yxfyyxxfz ),(),( 0000 yyxfyyxxf ),(),( 0000 yxfyyxf xyyxxfx ),( 010 )10( 1 在 第 一 個(gè) 方 括 號(hào) 內(nèi) ， 應(yīng) 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理xyxfx ),( 100 （ 依 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 連 續(xù) 性 ） 且 當(dāng) 0,0 yx 時(shí) ， 01 .其 中 1 為 yx , 的 函 數(shù) , ),(),( 0000 yyxfyyxxf z 2121 yx ,00 同 理 ,),( 200 yyxfy 當(dāng) 0y 時(shí) ， 02 ,),(),( 0000 yxfyyxf xyxfx ),( 00 yyxfy ),( 00 x1 y2故 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn) ),( 00 yx 處 可 微 . 多 元 函 數(shù) 連 續(xù) 、 偏 導(dǎo) 數(shù) 、 可 微 分 的 關(guān) 系函 數(shù) 連 續(xù) 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 存 在函 數(shù) 可 微偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) ),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim 0000 yyxxfyx ),(lim 000 zyxf ),( 00 yxf可 微 分 連 續(xù) 多 元 函 數(shù) 連 續(xù) 、 偏 導(dǎo) 數(shù) 、 可 微 分 的 關(guān) 系函 數(shù) 連 續(xù) 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 存 在函 數(shù) 可 微偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 函數(shù)可微、函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在 例 8 .0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx xyyxf 多 元 函 數(shù) 連 續(xù) 、 偏 導(dǎo) 數(shù) 、 可 微 分 的 關(guān) 系函 數(shù) 連 續(xù) 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 存 在函 數(shù) 可 微偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 函數(shù)可微、偏導(dǎo)存在函數(shù)連續(xù) 例 9 22),( yxyxf 上半圓錐連續(xù)顯然在 )0,0( ,)0,0( 不存在但xf .)0,0(不存在yf. )0,0( 不可微在故f 多 元 函 數(shù) 連 續(xù) 、 偏 導(dǎo) 數(shù) 、 可 微 分 的 關(guān) 系函 數(shù) 連 續(xù) 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 存 在函 數(shù) 可 微偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 思 路 ： 按 有 關(guān) 定 義 討 論 ； 對(duì) 于 偏 導(dǎo) 數(shù) 需 分 )0,0(),( yx ， )0,0(),( yx 討 論 . 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微 證 令 ,cosx ,siny則 22)0,0(),( 1sinlim yxxyyx 1sincossinlim 20 0 ),0,0(f 故 函 數(shù) 在 點(diǎn) )0,0( 連 續(xù) ,)0,0(xf x fxfx )0,0()0,(lim0 ,000lim0 xx同 理 .0)0,0( yf 當(dāng) )0,0(),( yx 時(shí) ，),( yxfx ,1cos)(1sin 22322 222 yxyx yxyxy 當(dāng) 點(diǎn) ),( yxP 沿 直 線 xy 趨 于 )0,0( 時(shí) ,),(lim )0,0(),( yxfxxx ,|21cos|22|21sinlim 330 xxxxxx 不 存 在 . 所 以 ),( yxfx 在 )0,0( 不 連 續(xù) . 同 理 可 證 ),( yxfy 在 )0,0( 不 連 續(xù) .)0,0(),( fyxff 22 )()( 1sin yxyx )()( 22 yxo 故 ),( yxf 在 點(diǎn) )0,0( 可 微 .0)0,0( df 多 元 函 數(shù) 連 續(xù) 、 偏 導(dǎo) 數(shù) 、 可 微 分 的 關(guān) 系函 數(shù) 連 續(xù) 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 存 在函 數(shù) 可 微偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) 四 、 全 微 分 的 幾 何 意 義n TM 空 間 曲 面 方 程 形 為 ),( yxfz 曲 面 在 M處 的 法 線 方 程 為 .1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx )(,()(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切 平 面 上 點(diǎn) 的豎 坐 標(biāo) 的 增 量 的 全 微 分在 點(diǎn)函 數(shù) ),(),( 00 yxyxfz 曲 面 在 M處 的 切 平 面 方 程 為 五 、 全 微 分 在 近 似 計(jì) 算 中 的 應(yīng) 用都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxf yxPyxfz yx ,),(),( ),(),( 00 .),(),( 0000 yyxfxyxfdzz yx 也 可 寫 成 .),(),(),( ),( 000000 00 yyxfxyxfyxf yyxxf yx 解 .),( yxyxf 設(shè) 函 數(shù) .02.0,04.0,2,1 yxyx取 ,1)2,1( f ,),( 1 yx yxyxf ,ln),( xxyxf yy ,2)2,1( xf ,0)2,1( yf由 公 式 得 02.0004.021)04.1( 02.2 .08.1 、 多 元 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 、 全 微 分 的 概 念 ； 、 多 元 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 、 全 微 分 的 求 法 ； 、 多 元 函 數(shù) 連 續(xù) 、 偏 導(dǎo) 存 在 、 可 微 的 關(guān) 系 （ 注 意 ： 與 一 元 函 數(shù) 有 很 大 區(qū) 別 ）六 、 小 結(jié) 作 業(yè) ： 習(xí) 題 集 14.11、 偶 數(shù) ， 2、 偶 數(shù) ，3， 6, 7， 8， 9