靜 態(tài) 場(chǎng) 是 電 磁 場(chǎng) 理 論 的 重 要 組 成 部 分 ；靜 態(tài) 場(chǎng) 的 基 本 特 性 和 解 法 為 學(xué) 習(xí) 時(shí) 變 電 磁 場(chǎng)奠 定 基 礎(chǔ) 。 靜 電 場(chǎng) ： 靜 止 且 量 值 不 隨 時(shí) 間 變 化 的 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng) 。靜 電 場(chǎng) 是 一 種 相 對(duì) 狀 態(tài) ， 是 時(shí) 變 場(chǎng) 的 極 限 情 況 。 一 、 靜 電 場(chǎng) 的 基 本 方 程 和 邊 界 條 件 fDE 0微 分 形 式 ： l ldE 0 S ff QdSdD 積 分 形 式 ： 在 均 勻 、 線 性 、 各 向 同 性 媒 質(zhì) （ 簡(jiǎn) 單 媒 質(zhì) ） 中 ，基 本 物 理 量 和 輔 助 物 理 量 之 間 滿 足 本 構(gòu) 關(guān)系 ： ， 由 此 可 以 得 出 限 定 形 式 的 基 本 方 程 ： E DED /0 fEE 00 pfS fl QQdSdE ldE 微 分 形 式 ： 積 分 形 式 ： 邊 界 條 件 ： 根 據(jù) 時(shí) 變 電 磁 場(chǎng) 中 邊 界 條 件 的 一 般 形 式 ： sfsfDDn BBn EEn JHHn )( 0)( 0)( )( 210 210 210 210 在 靜 電 場(chǎng) 中 ： sfDDn EEn )( 0)( 210 210 tene12 1) 當(dāng) 媒 質(zhì) 1為 介 質(zhì) ， 媒 質(zhì) 2為 導(dǎo) 體 時(shí) ： sfnD 1 /1 sfnE 2) 當(dāng) 媒 質(zhì) 1、 2均 為 介 質(zhì) 時(shí) ：0sf nn DD 21 nn EE 21 但 3） 在 任 意 媒 質(zhì) 分 界 面 上 ， 的 切 向 分 量 連 續(xù) E對(duì) 于 介 質(zhì) （ 1） 和 導(dǎo) 體 （ 2） 分 界 面 ： 000 122 tt EEE 電 力 線 垂 直 于 導(dǎo) 體 表 面 ， 沿 導(dǎo) 體 表 面 電 場(chǎng) 力 不 做 功 ，導(dǎo) 體 表 面 為 等 位 面 。 電 位 函 數(shù) 是 求 解 電 磁 場(chǎng) 問 題 的 輔 助 函 數(shù) 。 1、 定 義 ： 0 E E2、 電 位 的 微 分 方 程 ： /2 f （ 靜 電 場(chǎng) 電 位 的 泊 松 方 程 ） 當(dāng) 時(shí) ：0f 02 （ 靜 電 場(chǎng) 電 位 的 拉 普 拉 斯 方 程 ） 3. 電 位 的 邊 值 關(guān) 系 tene12 P0P 0h)()( 0PP sfnn 1122 1) 在 介 質(zhì) 與 導(dǎo) 體 分 界 面 上 ： 02 nD sfn 11此 式 經(jīng) 常 用 于 確 定 導(dǎo) 體 表 面 的 面 電 荷 密 度 2) 在 兩 種 不 同 介 質(zhì) 分 界 面 上 ： 0sf nn 1122 4、 已 知 電 荷 分 布 情 況 下 的 的 表 達(dá) 式 ： 1) 位 于 點(diǎn) 電 荷 q， 空 間 任 一 點(diǎn) 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 為 ： r 3030 44)( rr rrqRRqrE 利 用 矢 量 恒 等 式 ： 31 rr rrrr )(14)( 0 rrrqrE Crrqr 14)( 0 2) 對(duì) 于 體 分 布 、 面 分 布 、 線 分 布 電 荷 ： Cdrr rr 0 )(4 1)( 體 分 布 ： Cdsrr rr s s 0 )(4 1)( 面 分 布 ： Cdrr rr 0 )(4 1)( 線 分 布 ： 由 相 距 一 個(gè) 小 距 離 的 等 值 異 號(hào)的 點(diǎn) 電 荷 所 組 成 的 系 統(tǒng) 。 電 偶 極 子 的 定 義 ： x yz0 q q 為 了 反 映 電 偶 極 子 的 強(qiáng) 度 ， 定 義 ： 電 偶 極 矩 qp 由 負(fù) 電 荷 指 向 正 電 荷 沿 z軸 放 置 、 中 心 在 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 的 電 偶 極 子 ， 空 間任 一 點(diǎn) 的 電 位 為 ： 22 4cos4 rprep r )sincos2(4 3 eerpE r 空 間 任 一 點(diǎn) 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 為 ： （ 伏 特 ） （ 伏 特 /米 ） 特 點(diǎn) ： 1) 只 有 和 分 量 ， 沒 有 分 量 ， 而 且 兩 分 量 與坐 標(biāo) 無(wú) 關(guān) （ 軸 對(duì) 稱 ） 。 E rE E E2) 電 位 與 距 離 的 平 方 成 反 比 ， 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 與 距 離 的 立方 成 反 比 。 如 果 電 偶 極 子 的 中 心 不 在 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 而 在 空 間 任一 點(diǎn) ， 其 矢 徑 為 ， 也 不 平 行 于 z軸 ， 則 空 間 任 一點(diǎn) 的 電 位 函 數(shù) 為 ： r 34 )( rr rrp qp 此 處 離 散 分 布 電 荷 ： Nk kke qW 121 體 分 布 電 荷 ： dWe 21 s se dsW 21面 分 布 電 荷 ： 電 場(chǎng) 能 量 密 度 ： 22121 EEDwe 電 場(chǎng) 能 量 ： dEdEDWe 22121 電 容 是 導(dǎo) 體 的 基 本 屬 性 。 電 容 的 大 小 只 與 導(dǎo) 體 的形 狀 、 尺 寸 、 相 對(duì) 位 置 以 及 導(dǎo) 體 間 介 質(zhì) 的 介 電 常 數(shù)有 關(guān) ， 與 導(dǎo) 體 間 所 加 電 壓 無(wú) 關(guān) 。 對(duì) 于 雙 導(dǎo) 體 系 統(tǒng) ABBA UQQC A BA B 例 1： 同 心 導(dǎo) 體 球 殼 ， 半 徑 分 別 為 a和 b（ ba） 。 在arb中 充 滿 介 電 常 數(shù) 為 的 理 想 介 質(zhì) 。 設(shè) 外 球 電 位為 零 ， 內(nèi) 球 電 位 為 U0， 求 內(nèi) 外 球 之 間 的 和 。 E a b 00U 例 2、 半 徑 為 （ 米 ） 的 球 內(nèi) 充 滿 體 電 荷 密 度 為 （ 庫(kù) 侖 /米 3） 的 電 荷 。 已 知 球 內(nèi) 外 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 為 求 體 電 荷 密 度 （ 全 部 空 間 的 介 電 常 數(shù) 均 為 ）a f )()( )(245 23 arrAaa arArrEr f 0 已 知 電 荷 分 布 求 電 位 或 場(chǎng) 強(qiáng) ； 已 知 電 位 或 場(chǎng) 強(qiáng) 求 電 荷 分 布 ； 電 容 的 計(jì) 算 。 適 用 于 已 知 電 荷 分 布 的 具 體 形 式 ， 而 且積 分 和 求 和 比 較 容 易 的 靜 電 場(chǎng) 問 題 。 1、 直 接 法 ： Ni i ii rr rrqE 1 3 41 3 1 4 r rE dE dr r 適 用 于 已 知 電 荷 分 布 的 具 體 形 式 ， 但 直 接 積分 和 場(chǎng) 強(qiáng) 求 和 比 較 困 難 的 靜 電 場(chǎng) 問 題 。 2、 間 接 法 ： 01 1 4 d dr r E 3、 高 斯 定 律 ： QdsdD VV 一 般 適 用 于 均 勻 帶 電 的 球 體 和 球 面 問 題 、 均 勻 帶電 的 無(wú) 限 長(zhǎng) 圓 柱 體 和 圓 柱 面 問 題 、 均 勻 帶 電 的 無(wú) 限大 平 面 和 無(wú) 限 長(zhǎng) 直 線 問 題 。 4、 求 解 泊 松 方 程 或 拉 普 拉 斯 方 程 ： /2222222 fzyx E是 求 解 靜 電 場(chǎng) 問 題 的 經(jīng) 典 方 法 。 1、 靜 電 場(chǎng) 的 基 本 方 程 （ 高 斯 定 律 ） ： fD EDf 2、 靜 電 場(chǎng) 的 邊 界 條 件 ： sfDDn )( 210 nnsf DD 21 如 果 媒 質(zhì) 2為 導(dǎo) 體 ， 媒 質(zhì) 1為 電 介 質(zhì) ， 則 1sf nD 3、 電 位 函 數(shù) 的 邊 界 條 件 ： sfnn 1122 ABBA UQQC 電 容 計(jì) 算 的 一 般 方 法 ： 1、 假 定 UQCUEQ )(2、 假 定 UQCQDEU sf A B A B 例 1、 半 徑 為 （ 米 ） 的 球 內(nèi) 充 滿 體 電 荷 密 度 為 （ 庫(kù) 侖 /米 3） 的 電 荷 。 已 知 球 內(nèi) 外 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 為 求 體 電 荷 密 度 （ 全 部 空 間 的 介 電 常 數(shù) 均 為 ）a f )()( )(245 23 arrAaa arArrEr f 0 例 2、 同 軸 線 的 橫 截 面 如 圖 所 示 。 設(shè) 外 導(dǎo) 體 電 位 ，內(nèi) 導(dǎo) 體 電 位 ， 求 內(nèi) 外 導(dǎo) 體 之 間 任 一 點(diǎn) 的 和 ，并 求 處 的 束 縛 面 電 荷 密 度 。 00U E b a b c 1 2 例 3、 一 個(gè) 有 兩 層 媒 質(zhì) 、 的 平 行 板 電 容 器 ， 兩 層媒 質(zhì) 都 具 有 電 導(dǎo) 率 ， 分 別 為 和 ， 電 容 器 極 板 面積 為 S。 在 外 加 電 壓 U時(shí) ， 求 通 過 電 容 器 的 （ 漏 ） 電流 和 兩 層 介 質(zhì) 分 界 面 上 的 自 由 電 荷 密 度 。 1 2 1 2 11 22 1d2d U 例 4、 兩 個(gè) 偏 心 球 面 之 間 均 勻 充 滿 著 密 度 為 （ 庫(kù) 侖 /米 3） 的 體 電 荷 ， 如 圖 所 示 。 求 小 球 中 心 上 一 個(gè) 點(diǎn) 電荷 q所 受 的 力 。 f f co oa b re 例 5、 在 電 場(chǎng) 中 有 一 個(gè) 半 徑 為 a的 圓 柱 體 。 已 知 圓 柱內(nèi) 、 外 的 電 位 函 數(shù) 和 （ 用 柱 坐 標(biāo) 表 示 ） 是 ： 1 2)(01 a cos)( 22 aA ， A是 常 數(shù) ， )( a1) 求 圓 柱 表 面 的 面 電 荷 密 度 )/( 2mCsf2) 求 圓 柱 面 內(nèi) 、 外 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 和 1E 2E a 12 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 恒 定 電 流 電 場(chǎng) 的 性 質(zhì) 1、 基 本 方 程 基 本 場(chǎng) 量 為 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 ， 輔 助 場(chǎng) 量 為 電 流 密 度 E J 00JE 00s sdJ dE 本 構(gòu) 關(guān) 系 ： ivf JJJJ 電 源 外 （ ） ， 導(dǎo) 體 內(nèi) （ ） ： 0iJ 0vJEJJ f 2、 邊 界 條 件 tene1 21 2 1 21 2 1 2( ) 0( ) 0n n nn t te J J J Je E E E E 在 通 過 不 同 的 媒 質(zhì) 分 界 面 時(shí) ， 的 法 向 分 量 連 續(xù) ； 的 切 向 分 量 連 續(xù) 。 JE （ 1） （ 理 想 介 質(zhì) ） ， （ 導(dǎo) 體 ） 01 02 01 J 的 法 向 分 量 連 續(xù) J ttttnn JeJeJeJ 2222 ttEeE 22 媒 質(zhì) 2中 ， 在 分 界 面 上 ， 電 流 只 有 切 向 分 量 ； 電 場(chǎng)也 只 有 切 向 分 量 。 1 1 1 1 2n n t t n n t tE e E e E e E e E 1E 既 有 法 向 分 量 又 有 切 向 分 量 。 不 垂 直 于 導(dǎo) 體 表 面 ， 導(dǎo) 體 表 面 不 為 等 電 位 面 ，有 電 阻 存 在 。 1E tene1 2 （ 2） （ 理 想 介 質(zhì) ） ， （ 理 想 導(dǎo) 體 ） 01 2222 EJ 為 有 限 值 、 為 無(wú) 窮 大 J 02 E在 導(dǎo) 體 表 面 021 tt EE nnEeE 11 恒 定 電 流 情 況 下 ， 理 想 導(dǎo) 體 中 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 為 0，導(dǎo) 體 表 面 為 等 位 面 ， 導(dǎo) 體 為 等 位 體 。 （ 3） （ 真 實(shí) 情 況 ） 在 工 程 計(jì) 算 中 近 似 為 情 況 （ 2） 21 tene1 2 恒 定 電 場(chǎng) 中 0 E E在 導(dǎo) 體 內(nèi) 、 電 源 外 、 簡(jiǎn) 單 媒 質(zhì) 中 ， 為 常 數(shù) 0 J 0 fJ 0)( 02 拉 普 拉 斯 方 程 電 位 所 滿 足 的 邊 界 條 件 ： 21 nn 2211 靜 電 比 擬 法 ： 對(duì) 于 結(jié) 構(gòu) 相 同 的 兩 個(gè) 導(dǎo) 體 組 成 的 系 統(tǒng) 1 21s 2121 11 dE sdEdE sdDUQC ss 1、 2 導(dǎo) 體 之 間 的 漏 電 導(dǎo) ： 2 121 11 dE sdEdE sdJUIG ss GC CG 上 述 方 法 可 以 用 于 傳 輸 線 （ 同 軸 線 、 平 行 雙 導(dǎo) 線 ） ，如 果 求 出 了 單 位 長(zhǎng) 度 的 電 容 ， 利 用 上 式 可 以 直 接 寫 出 單位 長(zhǎng) 度 的 漏 電 導(dǎo) 。 求 絕 緣 電 阻 主 要 有 三 種 方 法 ： (1)直 接 積 分 法 SdR 為 沿 電 流 方 向 的 長(zhǎng) 度 元 ， S為 長(zhǎng) 度 元 上 垂 直電 流 方 向 的 面 積 d(2)靜 電 比 擬 法 CGR 1 (3)定 義 計(jì) 算 法 IUR 一 般 思 路 ： 假 設(shè) U， 求 解 02 EEJ f s f sdJI IUR 對(duì) 于 平 行 板 電 容 器 、 同 軸 線 、 同 心 球 等 形 狀 規(guī) 則 的 問 題 ： 假 設(shè) I， SIJf fJE dEU IUR 假 設(shè) U， UdE EJ f s f sdJI IUR 例 1、 一 同 軸 圓 柱 形 電 容 器 ， 內(nèi) 導(dǎo) 體 的 半 徑 為 a， 外 導(dǎo)體 的 內(nèi) 半 徑 為 b， 長(zhǎng) 為 L， 兩 電 極 間 填 充 了 電 導(dǎo) 率 為 的 物 質(zhì) 。 已 知 電 極 間 的 電 壓 為 U0 （ 1） 求 填 充 物 質(zhì) 中 的 電 流 密 度 和 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 （ 2） 求 由 于 漏 電 流 所 引 起 的 功 率 損 耗 若 填 充 物 質(zhì) 的 電 導(dǎo) 率 ， 忽 略 電 容 器 兩 端的 邊 緣 效 應(yīng) ， 求 電 極 間 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 。 0（ 3） 例 2、 一 扇 形 電 阻 片 的 電 導(dǎo) 率 為 ， 厚 度 為 d， 如 圖 所 示 。 求 ： （ 1） 沿 厚 度 方 向 的 電 阻 （ 2） 兩 圓 弧 間 的 電 阻 1R 2R 例 3、 計(jì) 算 同 軸 電 纜 單 位 長(zhǎng) 度 的 絕 緣 電 阻 。 同 軸 電纜 的 內(nèi) 導(dǎo) 體 （ 芯 線 ） 半 徑 是 a， 外 導(dǎo) 體 （ 外 殼 ） 半徑 是 b， 內(nèi) 外 導(dǎo) 體 之 間 充 滿 一 種 介 電 常 數(shù) 為 、 電導(dǎo) 率 為 的 絕 緣 材 料 。 a b 0 fH JB 微 分 形 式 積 分 形 式 0s s fsdB IsdJdH 安 培 環(huán) 路 定 律 的微 分 形 式 安 培 環(huán) 路 定 律 的積 分 形 式 對(duì) 簡(jiǎn) 單 媒 質(zhì) ， 和 之 間 滿 足 本 構(gòu) 關(guān) 系 ： B H HB 限 定 形 式 的 基 本 方 程 ： 0H JH f 0 s s fsdH IsdJdH 微 分 形 式 積 分 形 式 邊 界 條 件 ： 在 兩 種 不 同 媒 質(zhì) 分 界 面 上 ： sfn n JHHe BBe )( 0)( 21 21在 不 同 媒 質(zhì) 分 界 面 上 ， 的 法 向 分 量 總 是 連 續(xù) 的 ; B當(dāng) 時(shí) ， 的 切 向 分 量 是 不 連 續(xù) 的 。 0sfJ H 根 據(jù) 恒 定 磁 場(chǎng) 的 基 本 方 程 ： ， 可 以 用 另 外 一 個(gè) 矢 量 函 數(shù) 的 旋 度 來 表示 ： ， 稱 為 矢 量 磁 位 ， 又 稱 為磁 矢 位 （ 矢 位 、 矢 勢(shì) ） 0 BB AB A1、 定 義 ：在 恒 定 磁 場(chǎng) 情 況 下 ， 令 ： 0 A 稱 為 2、 矢 量 磁 位 所 滿 足 的 方 程 fJA 2 磁 矢 位 的 泊 松 方 程 A當(dāng) 時(shí) ： 0fJ 02 A 磁 矢 位 的 拉 普 拉 斯 方 程 A的 邊 值 關(guān) 系 ： A sftt JAAAA )(1)(1 1111 21 3、 在 無(wú) 界 空 間 的 形 式 解 A AB 可 以 通 過 的 表 達(dá) 式 得 出 的 表 達(dá) 式 B A體 分 布 電 流 在 場(chǎng) 點(diǎn) 產(chǎn) 生 的 為 ： B 30 )()(4)( drr rrrJrB f 利 用 矢 量 恒 等 式 ： 31 rr rrrr 0 )(14)( drJrrrB f 利 用 矢 量 恒 等 式 ： FuFuFu )( )(1)()(1 rJrrrr rJrJrr fff 0)( rJ f Adrr rJdrr rJrB ff 00 )(4)(4)( 0 )(4 drr rJA f 對(duì) 于 面 分 布 電 流 ： 0 )(4 s sf dsrr rJA 對(duì) 于 細(xì) 導(dǎo) 線 電 流 ： 0 4 rrIdA 磁 偶 極 子 ： 一 個(gè) 小 圓 形 電 流 線 圈 。 IS定 義 磁 偶 極 矩 : SIpm 利 用 細(xì) 導(dǎo) 線 電 流 的 磁 矢 位 在 無(wú) 界 空 間 的 形 式 解 : 求 出 磁 偶 極 子 的 磁 矢 位 ， 然 后 利 用 求 出 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 矢 量 。 0 4 rrIdA AB B)sincos2(4 eerpB rm 磁 能 密 度 ： 22121 HHBwm 焦 耳 /米 3 磁 能 ： dHdHBdwW mm 22121 焦 耳 單 一 電 流 回 路 的 磁 場(chǎng) 能 量 ： 221 LIW m 焦 耳 電 感 自 感 L互 感 M1、 磁 通 和 磁 鏈 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 矢 量 在 曲 面 S上 的 通 量 ，稱 為 在 S面 上 的 磁 通 B s sdB B dAsdAsdB ss 導(dǎo) 線 回 路 的 磁 鏈 （ 全 磁 通 ） 等 于 各 匝 線 圈 交 鏈的 磁 通 之 和 2、 自 感 和 互 感 1I 2I1 2 22122221122 21112211111 ILIM IMIL 如 果 （ 或 回 路 2不 存 在 ） ， 則 得 到 回 路 1自感 的 計(jì) 算 式 ： 02 I 11111 IL 一 般 地 ， 一 個(gè) 回 路 的 自 感 可 以 表 示 為 ： IL 為 與 I交 鏈 的 磁 鏈 （ 全 磁 通 ） 是 回 路 1的 電 流 的 磁 場(chǎng) 在 回 路 2中 所 產(chǎn) 生 的 磁 鏈 如 果 ， 則 互 感 01 I 22121 IM 是 回 路 2的 電 流 的 磁 場(chǎng) 在 回 路 1中 所 產(chǎn) 生 的 磁 鏈 21 2I同 樣 ， 如 果 令 ， 則 02 I 11212 IM 12 1I1221 MM 22122221122 21112211111 ILIM IMIL 自 感 分 為 內(nèi) 自 感 和 外 自 感 兩 部 分 內(nèi) 自 感 ： 由 穿 過 導(dǎo) 體 內(nèi) 部 的 內(nèi) 磁 鏈 得 出 的 自 感 ； iL外 自 感 ： 由 穿 過 導(dǎo) 體 外 部 的 外 磁 鏈 得 出 的 自 感 。 0L 1、 求 同 軸 線 單 位 長(zhǎng) 度 的 自 感 （ 分 布 電 感 ） a bc 2、 一 半 徑 為 a 的 無(wú) 限 長(zhǎng) 導(dǎo) 體 圓 柱 體 內(nèi) 的 電 流 密 度 ， （ 為 柱 坐 標(biāo) 變 量 ， 為 常 數(shù) ） ， 設(shè) 圓 柱內(nèi) 、 外 的 磁 導(dǎo) 率 都 是 ， 試 應(yīng) 用 安 培 環(huán) 路 定 律 計(jì) 算圓 柱 內(nèi) 、 外 任 一 點(diǎn) 的 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 。 0JeJ zf 0J0 az fJ 3、 平 行 雙 導(dǎo) 線 兩 根 導(dǎo) 線 的 直 徑 均 為 d， 兩 導(dǎo) 線 的 軸 線間 距 離 是 D， 導(dǎo) 線 和 周 圍 空 間 媒 質(zhì) 的 磁 導(dǎo) 率 都 是 ，在 的 條 件 下 ， 求 雙 導(dǎo) 線 單 位 長(zhǎng) 度 的 總 自 感 。 0Dd x y z 01 2 I I 2d D 4、 設(shè) 在 xoy平 面 上 有 面 電 流 （ 安 培 /米 ） ， 為 常 數(shù) 。 求 空 間 任 一 點(diǎn) 的 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 0sxsf JeJ 0sJB x yzsfJ