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1、 數(shù)學建模的基本步驟：1、 問 題 分 析 2、 模 型 假 設3、 模 型 建 立4、 模 型 求 解5、 分 析 檢 驗6、 論 文 寫 作 7、 應 用 實 際 二 十 一 世 紀 的 工 作 者 需 要 具 有 以 下 能 力1.抽 象 思 維 能 力 2.邏 輯 推 理 能 力3.數(shù) 學 運 算 能 力 4.空 間 想 象 能 力5.數(shù) 學 建 模 能 力 6.數(shù) 值 計 算 與 數(shù) 據(jù) 處 理 能 力7.使 用 數(shù) 學 軟 件 的 能 力 8.更 新 知 識 的 能 力 1、 量 綱 分 析 2、 集 合 分 析 3、 微 分 方 程 4、 差 分 方 程 5、 差 值 與 擬 合

2、 6、 MATLAB 7、 概 率 分 布 8、 數(shù) 理 統(tǒng) 計 9、 回 歸 分 析 10、 線 性 規(guī) 劃 11、 整 數(shù) 規(guī) 劃 12、 非 線 性 規(guī) 劃 13、 動 態(tài) 規(guī) 劃 初等分析方法： 所 用 的 數(shù) 學 知 識 和 方 法 都 是 初 等的 ， 在 解 決 實 際 問 題 的 過 程 中 ， 往 往 主要 是 看 解 決 問 題 的 效 果 和 應 用 的 結(jié) 果 如何 ， 而 不 在 于 用 了 初 等 的 方 法 還 是 高 等的 方 法 。 初等分析建模方法 常用的方法有： 類 比 分 析 法 、 幾 何 分 析 法 、 邏 輯 分 析 法 、 量 綱 分 析 發(fā) 、

3、 集 合 分 析 法 等 。 量 綱 分 析 與 輪 廓 模 型 量 綱 分 析 建 模 n 一 、 單 位 與 量 綱1、 單 位 數(shù) 學 建 模 的 目 的 是 解 決 實 際 問 題 ， 而 實 際 問 題 中 的 量 都 有相 應 的 單 位 。 數(shù) 學 中 純 粹 的 數(shù) 在 實 際 問 題 中 不 具 有 明 確 的 含 義 。如 在 實 際 問 題 中 談 某 個 長 度 量 ， 在 關 注 其 數(shù) 值 的 同 時 還 必 須 關注 其 單 位 ， 否 則 ， 我 們 便 沒 有 把 這 個 量 完 全 弄 清 楚 。 但 實 際 問題 中 的 諸 多 量 并 非 全 是 相 互

4、 獨 立 的 ， 其 中 一 些 量 能 起 到 基 本 量的 作 用 ， 其 它 量 是 這 些 基 本 量 的 符 合 某 種 規(guī) 律 的 組 合 ， 如 速 度是 長 度 與 時 間 這 兩 個 基 本 量 的 一 種 規(guī) 定 的 組 合 。如 果 規(guī) 定 了 基 本 量 的 單 位 ， 其 它 量 的 單 位 也 隨 之 確 定 。 定 義 ： 一 組 物 理量 ， 若 彼 此 相互 獨 立 ， 且 其它 物 理 量 均 是這 些 物 理 量 的合 乎 某 種 規(guī) 律的 組 合 ， 則 稱這 些 物 理 量 為基 本 物 理 量 。 物 理 量 量 綱 單 位 符 號長 度 L 米 m

5、質(zhì) 量 M 千 克 kg時 間 T 秒 s電 流 強 度 I 安 培 A溫 度 開 爾 文 K光 強 J 坎 得 拉 cd物 質(zhì) 的 量 N 摩 爾 mol基 本 量 信 息 表2、 基 本 物 理 量 .系 統(tǒng)運 動 問 題 都 是 MLT ，TLM 三 個 基 本 量 綱涉 及許 多 物 理 問 題 的 研 究 只 , 示 成任 一 物 理 量 的 量 綱 可 表系 統(tǒng) 中在 ，MLT 7654321 NJITMLQ 3、 量 綱 .系 統(tǒng)我 們 稱 這 樣 的 問 題 為 MLT定 義 ： 一 物 理 量 與 基 本 物 理 量 之 間 的 規(guī) 定 關 系 ， 稱 為 該 量 的量 綱

6、。 這 種 規(guī) 定 關 系 常 以 基 本 物 理 量 的 冪 指 乘 積 形 式 表 示 ，因 此 也 稱 為 量 綱 積 。 即 任 一 物 理 量 的 量 綱 皆 可 表 示 成cba TLMQ 1LT速 度 2LT加 速 度 2MLT力 22 TML、功能 量 32 TML功 率 1T頻 率 21 TML壓 強系 統(tǒng) 中 各 物 理 量 的 量 綱在 MLTM質(zhì) 量 T時 間 L長 度 2MT表 面 張 力 3ML密 度 22 TML轉(zhuǎn) 矩 1MLT動 量 22 TML熵 22 TML比 重 12 TML角 動 量 22 TML熱 量 2ML轉(zhuǎn) 動 慣 量1T角 速 度 2T角 加 速

7、 度 11 TML粘 性 4、 量 綱 與 單 位 的 關 系1） 、 量 綱 和 單 位 都 在 反 映 物 理 量 的 特 征 ， 反 映 該 物 理 量 與 基本 物 理 量 間 的 關 系 。2） 、 任 何 物 理 量 的 量 綱 是 唯 一 的 ， 但 單 位 可 以 有 多 個 。1, ( / )( / ), ( / ).LT m skm s km h如 速 度 的 量 綱 是 但 其 單 位 可 以 是也 可 以 是 還 可 以 是3） 、 有 的 量 可 以 沒 有 量 綱 ， 但 它 可 能 有 單 位 。 如 角 度4） 、 物 理 量 的 量 綱 及 其 相 互 關 系

8、 反 映 了 各 量 之 間 的 內(nèi) 在 屬性 ， 這 是 量 綱 關 系 能 用 于 建 立 數(shù) 學 模 型 的 理 論 基 礎 。 二 、 量 綱 齊 次 性 定 理 .0),( 0),(, ),2,1( ),( 0 , ,A ),2,1( , ,)(, 0),(, 21 211 21 1 2121 2121 等 價 與且個 相 互 獨 立 的 無 量 綱 量為則 個 基 礎 解 為的 若 齊 次 線 性 方 程 組維 向 量對其 秩 為稱 為 量 綱 矩 陣矩 陣 的 量 綱 可 表 為是 基 本 量 綱 理 定 律是 與 量 綱 選 取 無 關 的 物個 物 理 量是設 m rmmj

9、yjk Tkmkkk mnij nii mn mmqqqf Frmq rmkyyyyrmAy ymra mjXq qqqmnXXX qqqfmqqq kj ij 定 理 ： 例 1 建模描述單擺運動的周期 問題：質(zhì)量為m的小球系在長度 為 l的線的一端, 鉛垂懸掛。小 球稍稍偏離平衡位置后將在重 力的作用下做往復的周期運動。 分析小球擺動周期的規(guī)律。 xlm n假設：n 1. 忽略空氣阻力；n 2. 忽略可能的磨擦力；n 3. 平面運動，忽略地球自轉(zhuǎn)；n 4. 忽略擺線的質(zhì)量和變形。 n分析建模n 10. 列出有關的物理量n 運動周期 t，擺線長 l，擺球質(zhì)量 m，重力加速度 g，振幅 .n

10、20. 寫出量綱n t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1.n 30. 寫出規(guī)律n F(t, l, m, g, )= 0.n 4 0. 寫出規(guī)律中加項 的形式n =t 1 l 2 m 3 g 4 5 n 50. 計算 的量綱n = T1L2M3( LT-2)4n = T1-24L2 + 4M 3 n 60. 應用量綱齊次原理n 由 = 1, 可得關于i (i 1, , 5)的方程組n 1 - 24 = 0n 2 + 4 = 0n 3 = 0n 5 任意 n 70. 解方程組n解空間的維數(shù)是二維。n對自由變量(4， 5)選取基底(1, 0)和(0, 1)。n關于 1, 2, 3 求解方程組可

11、得基礎解系 10000,0101254321 n 80. 求n 將方程的解代入加項 的表達式，可得n 1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， 2 = .n 90. 建模n 單擺運動的規(guī)律應為 f (1, 2) = 0，n 解出 1 可得n 1 = k1(2) ，即 t2 g / l = k1() ，glkt /)( n 100. 檢驗n 周期與 質(zhì)量 m n m=390g m=237gn l = 276cm 3.327s 3.350sn l = 226cm 3.058s 3.044sn 周期與振幅 (l=276cm, m=390g)n ( 0) 8.34 13.18 18.17 2

12、3.31 28.71 33.92 39.99 46.62n k() 6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 n 150 時, k( ) 2 。 k() 與 有關。 布 金 漢 （ Buckingham） 定 理 對 于 某 個 物 理 現(xiàn) 象 或 過 程 ， 如 果 存 在 有 n個 變 量 互 為函 數(shù) 關 系 ， f(a1,a2, an)=0而 這 些 變 量 含 有 m個 基 本 量 綱 ， 可 把 這 n個 變 量 轉(zhuǎn) 換 成 為有 (n-m)=i個 無 量 綱 量 的 函 數(shù) 關 系 式 F(1,2, n-m)=0這 樣 可 以 表

13、 達 出 物 理 方 程 的 明 確 的 量 間 關 系 ， 并 把 方 程中 的 變 量 數(shù) 減 少 了 m個 ， 更 為 概 括 集 中 表 示 物 理 過 程 或物 理 現(xiàn) 象 的 內(nèi) 在 關 系 。 量綱分析法的一般步驟：1、 將 于 問 題 有 關 的 物 理 量 （ 變 量 和 常 量 ）收 集 起 來 ， 記 為 q1,q2, ,qm,根 據(jù) 問 題 的 物理 意 義 確 定 基 本 量 綱 ， 記 為x1,x2, ,xn(n m)。 2、 寫 書 qj的 量 綱 qj= Xjaij(j=1,2, ,m)。3、 設 q1,q2, ,qm滿 足 關 系 = qjyj,其 中 yj為

14、 待 定 的 ， 為 無 綱 的 量 。 4、 解 方 程 組 aijyj=0 (i=1,2, ,n),系數(shù) 矩 陣 A=(aij)n m ,rank(A)=r,則 方 程 組 有m-r個 基 本 ,yk=(yk1,yk2, ,ykm)T,（ k=1, ,m-r） 。5、 記 k= qjykj ,則 k(k=1,2, ,m-r)為無 量 綱 的 量 。6、 由 F( 1 , 2 , , m-r)=0 解 出 物 理規(guī) 律 。 .:2 在 管 道 內(nèi) 的 穩(wěn) 定 流 動描 述 不 可 壓 縮 粘 性 流 體例 .1: 縮流 體 粘 性 均 勻 且 不 可 壓假 設 、相 關 因 素 ： l管 道

15、 長 v流 速 流 體 的 密 度p管 道 兩 端 的 壓 強 粘 性 系 數(shù) g重 力 加 速 度因 素 的 量 綱 ： Ll 齊 次 關 系 ： 1L .、2 力 可 以 不 計管 道 壁 與 流 體 間 的 磨 擦 5436542654321 22-3 TL M000TL M 1 LTv 3 ML 21 TMLp11 TML2 LTg2)LT( -1 33 ）（ ML 4)( 21 TML 5)( 11 TML 6)( 2 LT 方 程 組由 此 得 一 六 個 未 知 量 的 022 - 0 03 6542 543 654321 2-1-2- 011 11-1-01-0 100 3-1

16、1 A其 系 數(shù) 矩 陣 為 100 010 001 654 ， 令 , :121 pv 為的 三 個 無 量 綱 乘 積 分 別于 是 與 這 六 個 參 數(shù) 有 關 100021 010111 001120 T32 T1 eee T得 基 礎 解 系 ,1112 vl glv 23 0),( gpvlF， 規(guī) 律依 據(jù) 量 綱 齊 次 性 原 理 .0),( 321 f等 價 于 ，p 量表 示 流 動 規(guī) 律 的 結(jié) 果 變我 們 用 流 動 中 的 壓 強 .),( 321 即則 可 等 價 地 寫 出 h ).,( 322 hvp 從 該 例 題 看 出 ， 利 用 定 理 ， 可

17、以 在 僅 知 與 物 理 過程 有 關 物 理 量 的 情 況 下 ， 求 出 表 達 該 物 理 過 程 關 系 式 的基 本 結(jié) 構(gòu) 形 式 。 用 量 綱 分 析 法 所 歸 納 出 的 式 子 往 往 還 帶有 待 定 的 系 數(shù) ， 這 個 系 數(shù) 要 通 過 實 驗 來 確 定 。 而 量 綱 分析 法 求 解 中 已 指 定 如 何 用 實 驗 來 確 定 這 個 系 數(shù) 。 因 此 ，量 綱 分 析 法 也 是 流 體 力 學 實 驗 的 理 論 基 礎 。 三. 量的比例關系與輪廓模型n 1. 量的比例關系n 10. 模型表達了不同量綱的量之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律.n 20. 由量綱

18、分析原理可知:不同量綱的量的乘冪之間一定存在比例關系。n 30. 在同一模型中，若量 y1和 y2的量綱分別為 y1 = X和 y2 = X ，n則定有 y1=k y2 / n 輪廓模型(profile models)n 直接利用不同量綱的量之間的比例關系所得到的模型稱之為輪廓模型。 n 模型舉例n 例 2. 幾何體中的長度、面積和體積n 正立方體 n 棱長 l0=a，底面周長 l1 = 4a，底面對角線 長 對角線長n 表面積 S1 = 6a2，底面面積 S2 = a2， 對角面面積 n 體積 V 1 = a3，四棱錐體積 V2 = a3/3al 22 al 33 23 2aS n結(jié)論n在簡

19、單的幾何體中，n 相應部位的面積與相應部位長度的平方呈正比； n 相應部位的體積與相應部位長度的立方呈正比；n 相應部位的體積與相應部位面積的3/2次方呈正比；n S i = k1 Lj2，V i= k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。 n長方體 I 有棱長 (a, b, c)n 總棱長L1=2(a+b+c), 底面周長 L2=2(a+b),n 對角線長 n 表面積 S1=2(ab+bc+ca), 底面面積 S2= ab,n 體積 V1=abc, 四棱錐體積 V2=1/3 abc.222 3 cbaL n若長方體 II 有棱長(a*, b*, c*), 且n a*/a = b*/b = c*

20、/c = m.n則有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3;n S1*= m2S1, S2*= m2S2; n V1*= m3V1, V2*= m3V2.n于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;n Vi*/Lk*3=Vi/ Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.n即 S=k 1L2, V=k2L3, V=k3S3/2. n結(jié)論n在相似的幾何體中，n相應部位的面積與相應部位長度的平方呈正比； n相應部位的體積與相應部位長度的立方呈正比；n相應部位的體積與相應部位面積的3/2次方呈正比；n S i = k1 Lj2，Vi = k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。

21、n例3. 生活中的長度、面積和體積。n 10. 一種動物的體重W和體長Ln W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49n L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75n L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592n W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088 n 20. 人 的 體 重 W和 身 高 Ln W(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75n L(cm) 86 108 116 135 155

22、167 178 185n L 3(103cm3) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332n W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118 n 30 蜥蜴的體長和體重 n 小蜥蜴體長15cm,體重為15g, 當它長到20cm長時體重為多少? (20g, 25g, 35g, 40g) n例4. 商品的包裝與成本n 商 品 價格 含量 價格 含量n高露潔牙膏 15.7元/190g 5.8元/ 60g n詩芬洗發(fā)液 35.9元/400ml 23.1元/200mln富麗餅干 8.8元/450g 3.0元 /

23、 150g n奇寶餅 5.9元/250g 4.3元 / 150g 單 價8.3元 /100g9元 /100ml1.9元 /100g2.3元 /100g 單 價9.7元 /100g11.5元 /100ml2元 /100g2.87元 /100g建模分析為什么小包裝的商品比大包裝的要貴一些? n假設:n 10. 不考慮利潤及其他因素對商品價格的影響。n 20.包裝只計裝包工時和包裝材料。n 30.不同規(guī)格的商品裝包時工作效率相同。n 40.不同規(guī)格的商品包裝外觀相似，包裝材料相似，至少在價格上沒有太大的差異。. n參量與變量n A: 每件商品中產(chǎn)品的成本, n W:每件商品中產(chǎn)品的含量,n B: 每

24、件商品的包裝成本,n B1: 裝包工時投入, n B2: 包裝材料成本n S: 包裝材料用量,n C(W): 總成本, n c(W): 單位商品平均成本. n模型n C(W) = A + B1 + B2 n A = a1W, B1 = a2W, n B2 = a3S = a4w2/3.n C(W)= k1W + k2W2/3n c(W) = k1 + k2W-1/3 n應用:n 1. 價格預測 康爾乃奶粉n 32.4元 400g; 67.1元 900g.n 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4n 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1n 解得: k1 = 5.3791, k2 = 4

25、.3192n 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3.n 預測: W=1800, C(W) = 126.49.n W=2500, C(W) = 154.36n檢驗 n 實際: W=1800, C(W)=115.9n W=2500, C(W)=146.85 n 可賽礦泉水n 1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升n 0.6 k1+ 0.62/3k2 = 1.7n 1.0 k1+1.02/3 k2 = 2.2n 解得： k1 = -1.21， k2 = 3.41n 預測：W=1.5，C(W)= 2.65n檢驗n 實際: W=1.5, C(W)= 3.45 n分析n 1

26、0. 不宜于預報新商品的價格(?)n 20. 成本的降低率n r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3.n是商品量的減函數(shù).n 30. 支出的節(jié)省率n S(W) = W r(W) = 1/3 k2W-1/3.n也是商品量的減函數(shù).n 購買小包裝的商品不合算，購買特大包裝的商品也不合算！ n例5. 劃艇比賽的成績n 問題1. 劃艇按艇上槳手的人數(shù)分為單人、雙人、四人和八人艇四種，n 賽程 2000m, 稱劃行時間為比賽成績。n 試組建模型描述劃艇的比賽成績與艇上運動員人數(shù)的關系。 n假設：n 10. 運動員體重 W 相等，每人輸出功率 P 不變,n 20. 艇身相似，n 30. 艇速

27、 v 定常，阻力 F 且與體重 W 呈正比。艇重 U 與槳手人數(shù) n 呈正比。F 與 Sv2 呈正比，S 為浸沒面積。 n參量、變量n n: 人數(shù)， W: 體重，P: 輸出功率,n U: 艇重，v: 艇速，F(xiàn): 劃艇受到的阻力，n S: 浸沒面積, V：排水體積，n D: 比賽距離，T: 比賽成績(時間). n模型n 由假設可知 P=k1W, F=k2Sv2.n 由物理知識可知,槳手輸出的功完全用于劃艇克服阻力產(chǎn)生定常的速度。因此有 n P = k4 F v，n則 k1 n W = k4 k2 S v3，n v = k (nW/S)1/3. n 由阿基米德原理可知劃艇排水的體積V與載人艇的總重

28、量呈正比, 且 U=k3nn V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n。n浸沒面積與排水體積之間有關系S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度的模型，可得n v=k (nW/n2/3)1/3=kn1/9n最后得到比賽成績的模型n T=D/v=kn-1/9. n檢驗：劃艇四次比賽的成績 種類 成績(劃2000米時間(分) 平均 單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 雙人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.34 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835根據(jù)這些數(shù)據(jù)，利用最小

29、二乘法擬合可得 T = 7.29 n -0.104。模型相當準確。 n 問題2. 如果八人艇分為重量級組和輕量級組，n 規(guī)定重量級組運動員體量為86公斤，輕量級組運動員體重為73公斤。n 表列八人艇是重量級組的成績, 請推斷輕量級組的成績。n 設：輕量級組的運動員體重, 劃艇浸沒面積, 艇速和成績分別為 W 1, S1, v1, T1, 相應的重量級組為 W2, S2, v2, T2。 n根據(jù)前面得到的艇速的模型，有n v1=k(nW1/S1)1/3 ，v2=k(nW2/S2)1/3. 3/1213/1123/111 3/1221221 )()()( )( SSWWSnWSnWvvTT 3/1

30、213/11221 )()( SSWWTT 根據(jù)浸沒面積與排水體積的模型可知，有可得 (W2/W1)1/9 (T1/T2) (W2/W1)1/3. 由于 W2/W1=86/73=1.178,則有 1.018 (T1/T2) 1.056， 3/2213/221211 WWnWU nWUSS 5.940 T2 6.162 3/112213/13/2213/112 )()()( WWTTWWWW n習題:n 1.調(diào)查包裝類似但多少不同的三種同一商品各兩組,組建模型描述包裝與價格的關系.n 2.雨滴勻速下降,空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積呈正比.建模描述雨速與雨滴質(zhì)量的關系.n 3.動物園里的成年熱血動物靠飼養(yǎng)的食物維持體溫不變.給出合理的簡化假設建立動物的飼養(yǎng)食物量與動物的某個長短尺寸之間的關系.