Pz *OFdFrM sin M Fr d : 力 臂d 剛 體 繞 O z 軸 旋 轉(zhuǎn) , 力 作 用 在 剛 體 上 點(diǎn) P , 且 在 轉(zhuǎn) 動(dòng)平 面 內(nèi) , 為 由 點(diǎn) O 到 力 的作 用 點(diǎn) P 的 徑 矢 . Fr FrM 對(duì) 轉(zhuǎn) 軸 Z 的 力 矩 F 0,0 ii MF 0,0 ii MF FF FF 一 力 矩 M zOk Fr討 論 FFF z FrkM z sin rFM z zF F 1） 若 力 不 在 轉(zhuǎn) 動(dòng) 平 面 內(nèi) ， 把 力 分 解 為 平 行 和 垂直 于 轉(zhuǎn) 軸 方 向 的 兩 個(gè) 分 量 F2） 合 力 矩 等 于 各 分 力 矩 的 矢 量 和 321 MMMM 其 中 對(duì) 轉(zhuǎn) 軸 的 力矩 為 零 ， 故 對(duì) 轉(zhuǎn) 軸 的力 矩 zFF 3） 剛 體 內(nèi) 作 用 力 和 反 作 用 力 的 力 矩 互 相 抵 消 jiij MM jrir i jijF jiFdOijMjiM 例 1 有 一 大 型 水 壩 高 110 m、 長(zhǎng) 1000m， 水 深 100m，水 面 與 大 壩 表 面 垂 直 ， 如 圖 所 示 . 求 作 用 在 大 壩 上 的 力 ，以 及 這 個(gè) 力 對(duì) 通 過(guò) 大 壩 基 點(diǎn) Q 且 與 x 軸 平 行 的 力 矩 . 解 設(shè) 水 深 h， 壩 長(zhǎng) L， 在 壩 面 上 取 面 積 元 作 用 在 此 面 積 元 上 的 力 yLA dd ypLApF ddd yOh y xAd ydQyO x )(0 yhgpp 令 大 氣 壓 為 ， 則 0p yLyhgpF d)(d 0 200 0 21d)( gLhLhpyLyhgpF h 代 入 數(shù) 據(jù) ， 得 N1091.5 10F ypLApF ddd yOh y xAd yd100mh m1000L FyM dd yLyhgpyM d)(d 0 320 6121 LhgLhp h yLyhgpyM 0 0 d)( 代 入 數(shù) 據(jù) ， 得 mN1014.2 12 M 對(duì) 通 過(guò) 點(diǎn) Q 的 軸 的 力 矩Fd y QOh y ydFdyLyhgpF d)(d 0 100mh m1000L O r mz二 轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 律 FtFnFsinrFM mrmaF tt 2ie jjjj rmMM 2） 剛 體質(zhì) 量 元 受 外 力 ， 內(nèi) 力jFe jFi M 1） 單 個(gè) 質(zhì) 點(diǎn) 與 轉(zhuǎn)軸 剛 性 連 接 m外 力 矩 內(nèi) 力 矩2mrM 2t mrrFM O z jmjr jFejFi 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 加 速 度 與 它 所 受 的 合 外 力 矩 成正 比 ， 與 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 成 反 比 .rmMM jjj jj j 2ie 0 j ijjiij MMM )rmM jjj j 2e ( 轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 律 JM 2jj jrmJ 定 義 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 mrJ d2O z jmjr jFejFi 在 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 中 ,合 力 矩 等 于 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 與 角 加速 度 的 乘 積轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 理 ： JM amF 對(duì) 比 ： 設(shè) 剛 體 繞 固 定 軸 Oz以 角 速 度 轉(zhuǎn) 動(dòng) ni ii vmE 1 2k 21 21 221 ni iirm xo ir im iv所 有 質(zhì) 量 單 元 繞 Oz軸 作 圓 周運(yùn) 動(dòng) 的 動(dòng) 能 的 總 和 為 ： 4-4 三 、 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 動(dòng) 能 （ P.117 P.125） ii rv 利 用 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 的 定 義 ： 2iirmJ得 到 剛 體 轉(zhuǎn) 動(dòng) 動(dòng) 能 的 一 般 表 達(dá) 式E Jk 12 221 221 ni iik rmE對(duì) 比 平 動(dòng) 動(dòng) 能 ： 2k 21 vmE mrJrmJ jj j d, 22 三 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 物 理 意 義 ： 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 性 的 量 度 . 質(zhì) 量 離 散 分 布 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 2222112 rmrmrmJ jj j轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 性 的 計(jì) 算 方 法 質(zhì) 量 連 續(xù) 分 布 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量mrrmJ jj j d22 ： 質(zhì) 量 元md 2 對(duì) 質(zhì) 量 線 分 布 的 剛 體 ： 質(zhì) 量 線 密 度 lm dd 2 對(duì) 質(zhì) 量 面 分 布 的 剛 體 ： 質(zhì) 量 面 密 度 Sm dd 2 對(duì) 質(zhì) 量 體 分 布 的 剛 體 ： 質(zhì) 量 體 密 度 Vm dd ： 質(zhì) 量 元md 質(zhì) 量 連 續(xù) 分 布 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量mrrmJ jj j d22 lOO 解 設(shè) 棒 的 線 密 度 為 ， 取 一 距 離 轉(zhuǎn) 軸 OO 為 處 的 質(zhì) 量 元 rrm dd l rrJ 0 2d rd32/0 2 121d2 lrrJ l 231mlr rrmrJ ddd 22 例 2 一 質(zhì) 量 為 、 長(zhǎng) 為 的 均 勻 細(xì) 長(zhǎng) 棒 ， 求通 過(guò) 棒 中 心 并 與 棒 垂 直 的 軸 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 .m lrd 2l2l OO 2121 ml 如 轉(zhuǎn) 軸 過(guò) 端 點(diǎn) 垂 直 于 棒 ORR 40 3 2d2 RrrJ R rdr 例 3 一 質(zhì) 量 為 、 半 徑 為 的 均 勻 圓 盤(pán) ， 求 通過(guò) 盤(pán) 中 心 O 并 與 盤(pán) 面 垂 直 的 軸 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 .m R 解 設(shè) 圓 盤(pán) 面 密 度 為 ，在 盤(pán) 上 取 半 徑 為 ， 寬 為 的 圓 環(huán) r rd 2 Rm而rrm d2d 圓 環(huán) 質(zhì) 量 221 mRJ 所 以rrmrJ d2dd 32 圓 環(huán) 對(duì) 軸 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 2mdJJ CO 四 平 行 軸 定 理 P 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 的 大 小 取 決 于 剛 體 的 質(zhì) 量 、 形狀 及 轉(zhuǎn) 軸 的 位 置 . 質(zhì) 量 為 的 剛 體 ， 如 果 對(duì)其 質(zhì) 心 軸 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 為 ， 則對(duì) 任 一 與 該 軸 平 行 ， 相 距 為 的 轉(zhuǎn) 軸 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 CJm d dC Om注 意 2221 mRmRJP 圓 盤(pán) 對(duì) P 軸的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 R mO 幾種常見(jiàn)形狀的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例 2 質(zhì) 量 為 的 物 體 A 靜 止 在 光 滑 水 平 面 上 ，和 一 質(zhì) 量 不 計(jì) 的 繩 索 相 連 接 ， 繩 索 跨 過(guò) 一 半 徑 為 R、 質(zhì)量 為 的 圓 柱 形 滑 輪 C， 并 系 在 另 一 質(zhì) 量 為 的 物體 B 上 . 滑 輪 與 繩 索 間 沒(méi) 有 滑 動(dòng) ， 滑 輪 與 軸 承 間 的 摩 擦力 略 去 不 計(jì) . 問(wèn) : 水 平 和 豎 直 兩 段 繩 索 的 張 力 各 為 多 少 ？BmCm AmA BC Am Bm Cm A BCAm Bm CmT1F T2F AP O xT1FNFAm yOT2FBPBm amF AT1 amFgm BT2B JRFRF T1T2 Ra 解 隔 離 A、 B 及 滑 輪作 受 力 分 析 ， 運(yùn) 用 牛 頓 第二 定 律 、 轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 律 ： T2FT1F CP CF 221 RmJ C 2CBA B mmm gma 2CBA BAT1 mmm gmmF 2)2( CBA BCAT2 mmm gmmmF A BCAm Bm CmT1F T2F 例 3 一 長(zhǎng) 為 質(zhì) 量 為 勻 質(zhì) 細(xì) 桿 豎 直 放 置 ， 其下 端 與 一 固 定 鉸 鏈 O 相 接 ， 并 可 繞 其 轉(zhuǎn) 動(dòng) . 由 于 此豎 直 放 置 的 細(xì) 桿 處 于 非 穩(wěn) 定 平 衡 狀 態(tài) ， 當(dāng) 其 受 到 微 小擾 動(dòng) 時(shí) ， 細(xì) 桿 將 在 重 力 作 用 下 由 靜 止 開(kāi) 始 繞 鉸 鏈 O 轉(zhuǎn)動(dòng) .試 計(jì) 算 細(xì) 桿 轉(zhuǎn) 動(dòng) 到 與 豎 直 線 成 角 時(shí) 的 角 加 速 度和 角 速 度 . l m 解 細(xì) 桿 受 重 力 和鉸 鏈 對(duì) 細(xì) 桿 的 約 束 力作 用 ， 由 轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 律 得 NF Jmgl sin21 式 中 231mlJ dddddddd tt得 sin23lg由 角 加 速 度 的 定 義 dsin23d lg代 入 初 始 條 件 積 分 得 )cos1(3 lg Jmgl sin21 一 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量 定 理 和 角 動(dòng) 量 守 恒 定 律 4-3 角 動(dòng) 量 角 動(dòng) 量 守 恒 定 律 v1 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量 v mrprL v rL L rx y zo m 質(zhì) 量 為 的 質(zhì) 點(diǎn) 以 速 度 在 空 間 運(yùn) 動(dòng) ， 某 時(shí) 刻 相 對(duì) 原 點(diǎn) O 的 位 矢 為 ， 質(zhì) 點(diǎn) 相 對(duì) 于 原點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量 mr vsinvrmL 大 小 的 方 向 符 合 右 手 法 則 .L v mrprL L rp mo 質(zhì) 點(diǎn) 以 角 速 度 作 半 徑為 的 圓 運(yùn) 動(dòng) ， 相 對(duì) 圓 心 的角 動(dòng) 量 r JmrL 2 ptrtprprttL dddd)(dddd FrtprtL dddd 0 dd ptr vv2 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量 定 理 prL tLM dd 作 用 于 質(zhì) 點(diǎn) 的 合 力 對(duì) 參 考 點(diǎn) O 的 力 矩 ， 等于 質(zhì) 點(diǎn) 對(duì) 該 點(diǎn) O 的 角 動(dòng) 量 隨 時(shí) 間 的 變 化 率 .FrtprtL dddd 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量 定 理 質(zhì) 點(diǎn) 所 合 力 矩 為 零 時(shí) ， 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量為 一 恒 矢 量 . LM ,0 恒 矢 量 3 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量 守 恒 定 律 tLM dd 沖 量 矩 tMtt d21 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 動(dòng) 量 定 理 ： 質(zhì) 點(diǎn) 所 受 的 沖 量 矩 等 于 質(zhì) 點(diǎn)角 動(dòng) 量 的 增 量 . 12d21 LLtMtt tLM dd 二 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 動(dòng)量 定 理 和 角 動(dòng) 量 守 恒 定 律1 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 動(dòng) 量 i iiiii i rmrmL )( 2v JL O ir im ivz 2 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 動(dòng) 量 定 理 tJtLM d )(ddd 3 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 動(dòng) 量 守 恒 定 律0M 常 量 JL， 則若 剛 體 組 繞 同 一 轉(zhuǎn) 軸 作 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 時(shí) , 系 統(tǒng) 對(duì) 轉(zhuǎn) 軸 的角 動(dòng) 量 保 持 恒 定 ， 有 兩 種 情 形 ：一 是 系 統(tǒng) 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 和 角 速 度 的 大 小 均 保 持 不 變 ；另 一 種 是 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 改 變 ,角 速 度 的 大 小 也 同 時(shí) 改 變但 兩 者 的 乘 積 保 持 不 變 。 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 改 變 ,角 速 度 的 大 小 也 同 時(shí) 改 變 ，但 兩 者 的 乘 積 保 持 不 變 。 考 察 質(zhì) 點(diǎn) 平 動(dòng) 考 察 剛 體 轉(zhuǎn) 動(dòng)質(zhì) 量 速 度加 速 度 vma 角 速 度角 加 速 度 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 動(dòng) 量 合 外 力牛 頓 二 定 律 F vmp amF 動(dòng) 能 221 mvE 角 動(dòng) 量 合 外 力 矩轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 律 FrM 動(dòng) 能 td pdF 合 外 力 為 零 ，動(dòng) 量 守 恒 。 tdLdM 合 外 力 矩 為 零 ，角 動(dòng) 量 守 恒 。 JM 221 JE J vmrLJL 或 d ddd t trF sFrFW dd MW 21 d MW力 矩 的 功 一 力 矩 作 功 4-4 力 矩 作 功 o r v FxtF rdd MtMtWP dddd二 力 矩 的 功 率 dd MW 三 轉(zhuǎn) 動(dòng) 動(dòng) 能 （ 前 面 已 討 論 過(guò) ）221 iiik mE v 222 21)(21 Jrm iii 2122 2121d21 JJMW 四 剛 體 繞 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 動(dòng) 能 定 理 21 d MW合 外 力 矩 對(duì) 繞 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 剛 體 所 作 的 功 等 于剛 體 轉(zhuǎn) 動(dòng) 動(dòng) 能 的 增 量 . 2 111 dddd JtJ JM 例 2 一 長(zhǎng) 為 l , 質(zhì) 量 為 的 竿 可 繞 支 點(diǎn) O自 由轉(zhuǎn) 動(dòng) . 一 質(zhì) 量 為 、 速 率 為 的 子 彈 射 入 竿 內(nèi) 距 支點(diǎn) 為 處 ， 使 竿 的 偏 轉(zhuǎn) 角 為 30 . 問(wèn) 子 彈 的 初 速 率 為多 少 ? va mm 解 把 子 彈 和 竿 看 作 一 個(gè) 系 統(tǒng) .子 彈 射 入 竿 的 過(guò) 程 系 統(tǒng) 角 動(dòng) 量 守 恒)31( 22 malmam v oa mv 3022 3 3 malm am v oa mv 30 mamalmmalmg 6)3)(2)(32( 22 v 222 )31(21 malm )30cos1(2 lgm)30cos1( mga 射 入 竿 后 ， 以 子 彈 、 細(xì) 桿 和地 球 為 系 統(tǒng) ， 機(jī) 械 能 守 恒 .22 3 3 malm am v