第 5 章 機 械 振 動 任 一 物 理 量 在 某 一 定 值 附 近 往 復 變 化 均 稱 為 振 動 . 機 械 振 動 物 體 圍 繞 一 固 定 位 置 往 復 運 動 . 周 期 和 非 周 期 振 動 例 如 一 切 發(fā) 聲 體 、 心 臟 、 海 浪 起 伏 、 地 震 以及 晶 體 中 原 子 的 振 動 等 .其 運 動 形 式 有 直 線 、 平 面 和 空 間 振 動 . 諧 振 子 作 簡 諧 運 動 的 物 體 .簡 諧 運 動 復 雜 振 動合 成分 解 簡 諧 運 動 最 簡 單 、 最 基 本 的 振 動 . 簡 諧 運 動 方 程 )2cos()cos( tTAtAx 1、 振 幅 maxxA tx 圖AA x T2T to 一 、 簡 諧 振 動 的 運 動 學 方 程5-1 簡 諧 振 動 的 運 動 學 )cos( tAx2、 周 期 、 頻 率kmT 2彈 簧 振 子 周 期2T 周 期 )(cos TtA注 意 tx 圖AA x T2T to 21 T 頻 率 T22 圓 頻 率 周 期 和 頻 率 僅 與 振 動 系 統(tǒng) 本 身 的物 理 性 質(zhì) 有 關 tx 圖AA x T2T to)cos( tAx )(cos TtA 頻 率 為 Hz33.1/1 T例 如 ， 心 臟 的 跳 動 80次 /分 s 75.0)s(8060(min801 ）T周 期 為大 象 2530 馬 4050豬 6080 兔 100松 鼠 380 鯨 8動 物 的 心 跳 （ 次 /分 ） 昆 蟲 翅 膀 振 動 的 頻 率 （ Hz） 雌 性 蚊 子 355415 雄 性 蚊 子 455600 蒼 蠅 330 黃 蜂 220 相 位 的 意 義 : 表 征 任 意 時 刻 （ t） 物 體 振動 狀 態(tài) （ 相 貌 ） . 物 體 經(jīng) 一 周 期 的 振 動 ，相 位 改 變 .2 t3、 相 位 )cos( tAx相 位 tt)( )(0 tt 時 ，初 相 位 同 相 、 反 相 、 超 前 、 滯 后 )cos(dd 222 tAtxa )cos( tAx由得 )sin(dd tAtxv二 、 簡 諧 振 動 的 速 度 與 加 速 度1、 簡 諧 振 動 的 速 度 和 加 速 度 tx 圖tv 圖ta 圖 TAA 2A 2A xva tttAAooo T)cos( tAx 0取2T )2cos( tA )sin( tAv )cos( 2 tA )cos(2 tAa T 22020 v xA 00tan x v 000 vv xxt初 始 條 件 )sin( tAv )cos( tAx 對 給 定 振 動系 統(tǒng) ， 周 期 由 系統(tǒng) 本 身 性 質(zhì) 決 定 ，振 幅 和 初 相 由 初始 條 件 決 定 .2 振 幅 、 初 相 與 初 始 條 件 的 關 系 cos0 A 2 0,0,0 0 vxt已 知 求 討 論 )2 cos( tAx xv otx 圖AA x T2T to0sin0 Av 0sin 取 2 )cos( tAx )sin( tAv 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 自 Ox軸 的 原 點 O作 一 矢 量 ， 使 它的 模 等 于 振 動 的 振幅 A ， 并 使 矢 量 在 Oxy平 面 內(nèi) 繞 點O作 逆 時 針 方 向 的勻 角 速 轉(zhuǎn) 動 ， 其 角速 度 與 振 動 圓 頻率 相 等 ， 這 個 矢 量就 叫 做 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 . A A三 、 簡 諧 振 動 的 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 表 示 法 )cos( tAx 以 為 原點 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 的 端 點 在 軸上 的 投 影 點 的運 動 為 簡 諧 運動 . x Ao 以 為 原點 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 的 端 點 在 軸上 的 投 影 點 的運 動 為 簡 諧 運動 . x Aoxo Acos0 Ax 0t 0 x 以 為 原點 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 的 端 點 在 軸上 的 投 影 點 的運 動 為 簡 諧 運動 . x Aoo Att t)cos( tAx x 用 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 畫 簡 諧 運 動 的 圖tx 討 論 相 位 差 ： 表 示 兩 個 相 位 之 差 （ 1） 對 同 一 簡 諧 運 動 ， 相 位 差 可 以 給 出兩 運 動 狀 態(tài) 間 變 化 所 需 的 時 間 ttt )()( 12 12 ttt )cos( 11 tAx )cos( 22 tAx 從 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 的 角 度 來 理 解 上 述 結(jié) 論 便 是時 間 等 于 角 位 移 除 以 角 速 度 。 Ax2A to ba at3 TTt 612 3 2A btvA xA o A （ 2） 對 于 兩 個 同 頻 率 的 簡 諧 運 動 ， 相 位差 表 示 它 們 間 步 調(diào) 上 的 差 異 （ 解 決 振 動 合 成問 題 ） . 12 )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx )()( 12 tt 兩 個 同 頻 率 的 簡 諧 運 動 ， 相 位 差 即 為 初相 位 之 差 0 x to 同 步 x to 為 其 它 超 前落 后12 txo 反 相 例 1 一 質(zhì) 量 為 0.01 kg的 物 體 作 簡 諧 運 動 ，其 振 幅 為 0.08 m， 周 期 為 4 s， 起 始 時 刻 物 體 在x=0.04 m處 ， 向 ox軸 負 方 向 運 動 （ 如 圖 ） .試 求 （ 1） t=1.0 s時 ， 物 體 所 處 的 位 置 和 所受 的 力 ； o08.0 04.0 04.0 08.0 m/xv （ 2） 由 起 始 位 置 運 動 到 x = -0.04 m處 所 需 要 的 最 短 時 間 . o08.0 04.0 04.0 08.0 m/xm 0400 .x代 入 0 cosx A A 330 0v解 1s 22 Tm 08.0A s 4,m 08.0,kg 01.0 TAm已 知 0m 0400 0v,.x 求 （ 1） Fxt ,s 0.13 o08.0 04.0 04.0 08.0 m/xvkg 01.0m s 0.1t 代 入 上 式 得 m 069.0 xxmkxF 2 )32cos(08.0 tx N 1070.1 3可 求 （ 1） Fxt ,s 0.13 （ 2） 由 起 始 位 置 運 動 到 x = -0.04 m處 所 需要 的 最 短 時 間 . 法 一 設 由 起 始 位 置 運 動 到 x= -0.04 m處 所需 要 的 最 短 時 間 為 to08.0 04.0 04.0 08.0 m/xv 2 332 s 667.032o08.0 04.0 04.0 08.0 m/xv)32cos(08.0 tx )32cos(08.004.0 t2 3)21(arccos t o08.0 04.0 04.0 08.0 m/x法 二 3 起 始 時 刻 時 刻t t3 s 667.03223 t 1srad 2 3