1 第 七 章 靜 電 場 2 7-1 電 荷 的 量 子 化 電 荷 守 恒 定 律 原 子 是 電 中 性 的 ,原 子 核 中 的 中 子 不 帶 電 、 質 子 帶 正 電 、 核 外 電 子 帶 負 電 ， 并 且 所 帶 電 量 的 絕 對 值相 等 。自 然 界 中 有 兩 種 電 荷 ： 正 電 荷 、 負 電 荷 。一 、 電 荷 的 量 子 化電 子 是 自 然 界 中 存 在 的 最 小 負 電 荷 ：e =1.602 177 33 10-19 C電 荷 量 子 化 是 個 實 驗 規(guī) 律 。 實 驗 證 明 微 小 粒 子 帶 電 量 的 變 化 是 不 連 續(xù) 的 ，它 只 能 是 元 電 荷 e 的 整 數(shù) 倍 , 即 粒 子 的 電 荷 是 量 子 化 的 ： Q = n e ; n = 1, 2 , 3, 3 在 相 對 論 中 物 質 的 質 量 會 隨 其 運 動 速 率 而 變化 ， 但 是 實 驗 證 明 一 切 帶 電 體 的 電 量 不 因 其 運動 而 改 變 ， 電 荷 是 相 對 論 性 不 變 量 。強 子 的 夸 克 模 型 具 有 分 數(shù) 電 荷 （ 或 電子 電 荷 ） 但 實 驗 上 尚 未 直 接 證 明 .31 32二 電 荷 守 恒 定 律 在 孤 立 系 統(tǒng) 中 ,電 荷 的 代 數(shù) 和 保 持 不 變 .（ 自 然 界 的 基 本 守 恒 定 律 之 一 ） 4 7-2 庫 侖 定 律 1221 FF 122120 2112 4 erqqF q2 受 到 q1 的 作 用 力 F12 ： 12r 21F1q 2q 12F 12r 21F1q 2q)mN/(C10817187854.8 22120 稱 為 真 空 電 容 率 或 真 空 介 電 常 量 。 5 7-3 電 場 強 度一 、 靜 電 場1. 在 電 荷 周 圍 空 間 存 在 一 種 特 殊 物 質 ， 它 可 以 傳 遞 電荷 之 間 的 相 互 作 用 力 ， 這 種 特 殊 物 質 稱 為 電 場 。 靜 止電 荷 周 圍 存 在 的 電 場 ， 稱 靜 電 場 。2. 任 何 進 入 該 電 場 的 帶 電 體 ， 會 受 到 電 場 所 引 起 的 力的 作 用 ， 這 種 力 稱 為 靜 電 場 力 。3.當 帶 電 體 在 電 場 中 移 動 時 ， 電 場 力 對 帶 電 體 作 功 , 表明 電 場 具 有 能 量 。電 荷 電 場 電 荷 6 Q 0q二 電 場 強 度 單 位 11 mV CN 電 場 中 某 點 處 的 電 場 強 度 等 于 位 于 該 點 處 的 單 位 試 驗電 荷 所 受 的 力 ， 其 方 向 為 正電 荷 受 力 方 向 . E EqF 電 荷 在 電 場 中 受 力 q F0qFE （ 試 驗 電 荷 為 點 電 荷、 且 足 夠 小 ,故 對 原 電 場幾 乎 無 影 響 ）： 場 源 電 荷Q 0q ： 試 驗 電 荷 7 Q rerQqFE 200 4 1三 點 電 荷 的 電 場 強 度 0qr EE Q rQ 0qEQE 8 1q2q3q四 電 場 強 度 的 疊 加 原 理 0q1r 1F2r 3r 2F3F 0q由 力 的 疊 加 原 理 得 所 受 合 力 i iFF 點 電 荷 對 的 作 用 力 iiii rrqqF 300 4 1 0qiq故 處 總 電 場 強 度 i iqFqFE 00 0q i iEE 電 場 強 度 的 疊 加 原 理 9rerqE 20 d 4 1d 電 荷 連 續(xù) 分 布 情 況 qreEE r d 4 1d 20 q qd EdrP 10電 偶 極 矩 （ 電 矩 ） 0rqp 五 電 偶 極 子 的 電 場 強 度q q p 0r電 偶 極 子 的 軸 0r 11 （ 1） 電 偶 極 子 軸 線 延 長 線 上 一 點 的 電 場 強 度q q20r 20r AxO xEE irx qE 200 )2( 4 1 irx qE 200 )2( 4 1 12irx xrqEEE 2202 00 )4( 2 4 0rx ix qrE 300 2 4 1 30 2 4 1 xp q q EE20r 20r AxO x 13q q0r （ 2） 電 偶 極 子 軸 線 的 中 垂 線 上 一 點 的 電 場 強 度E E E rr xyBy ee erqE 20 4 1 erqE 20 4 1 202 )2(ryrrr 14 EEE q q0rE E E rr xyBy ee20 4 1 rqEE 3000 4 12/2 rqrrrEE 300 4 1 r iqrE 15 300 4 1 r iqrE 2/3202 00 )4( 4 1 ry iqr 0ry 300 4 1 y iqrE 30 4 1 yp q q0rE E E rr xyBy ee 16xq y xz o PR r rer lE 20 d 4 1d EE d 由 對 稱 性 有 iEE x 解例 1 正 電 荷 q均 勻 分 布 在 半 徑 為 R的 圓 環(huán) 上 .計 算 在 環(huán)的 軸 線 上 任 一 點 P的 電 場 強 度 .lq dd ) 2( Rq 17 xq y xz oR rlq dd rer lE 20 d 4 1d P ) 2( Rq cosdd EEE ll x rxrl 204 d R rlx20 30 4 d 23220 )( 4 Rxqx 18 23220 )( 4 RxqxE xq y xz oR r lq dd P E討 論 Rx（ 1） 20 4 xqE （ 點 電 荷 電 場 強 度 ） 0,0 0 Ex（ 2） 1923220 )( 4 Rx xqE 20 Rq Ed RRq d2d 例 2 均 勻 帶 電 薄 圓 盤 軸 線 上 的 電 場 強 度 .有 一 半 徑 為 ,電 荷 均 勻 分 布 的 薄 圓 盤 ,其 電 荷 面 密 度為 . 求 通 過 盤 心 且 垂 直 盤 面 的 軸 線 上 任 意 一 點 處 的電 場 強 度 . 0R x PR Rd 2/122 )( Rx 23220 )( 4 dd Rx xqEx 23220 )( d2 Rx RxR x yz o0R解 由 例 20 xEE d )11(2 20220 RxxxE 0R xyz o EdR PRd 00 2/3220 )( d2 R Rx RRx 23220 )( d2d Rx RxREx 210Rx 02 E0Rx 204 xqE （ 點 電 荷 電 場 強 度 ）討 論 22021220 211)1( xRxR 無 限 大 均 勻 帶 電平 面 的 電 場 強 度)11(2 20220 RxxxE 22 7-4 電 場 強 度 通 量 高 斯 定 理 23 一 電 場 線 （ 電 場 的 圖 示 法 ） 1） 曲 線 上 每 一 點 切 線 方 向 為 該 點 電 場 方 向 , 2） 通 過 垂 直 于 電 場 方 向 單 位 面 積 電 場 線 數(shù) 為該 點 電 場 強 度 的 大 小 . SNEE d/d規(guī) 定 E S 24+ 25+ 26+ 27+ + + + + + + + + + + + 28 電 場 線 特 性 1） 始 于 正 電 荷 ,止 于 負 電 荷 (或 來 自 無 窮 遠 ,去向 無 窮 遠 ). 2） 電 場 線 不 相 交 . 3） 靜 電 場 電 場 線 不 閉 合 . 29ES 二 電 場 強 度 通 量 通 過 電 場 中 某 一 個 面 的 電 場 線 數(shù) 叫 做 通 過 這 個 面的 電 場 強 度 通 量 . 均 勻 電 場 ， 垂 直 平 面EES e cose ES 均 勻 電 場 ， 與 平 面 夾 角E neSE e ES 30 EE 非 均 勻 電 場 強 度 電 通 量 s SE dcosd ee s SE d e 0d,2 e22 0d,2 e11 SE dd e ndd eSS 為 封 閉 曲 面S Sd Ene 1dS2dS 2 2E 1 1E 31 SS SESE dcosde 閉 合 曲 面 的 電 場 強 度 通 量 SE dd e E Sd ES 32 三 高 斯 定 理 ni iS qSE 10e 1d 在 真 空 中 ,通 過 任 一 閉 合 曲 面 的 電 場 強 度 通 量 ,等 于 該 曲 面 內(nèi) 所 包 圍 的 所 有 電 荷 的 代 數(shù) 和 除 以 .0（ 閉 合 曲 面 稱 為 高 斯 面 ） 33 點 電 荷 位 于 球 面 中 心20 4 rqE SS SrqSE d 4d 20e 0e q + Sdr ni iS qSE 10e 1d 高 斯 定 理 成 立 34 q ES1S2 S穿 過 球 面 S1和 S2的 電 場 線 ， 必 定 也 穿 過 閉 合 曲面 S。 所 以 穿 過 任 意 閉 合 曲 面 S的 電 通 量 必 然 為q / 0 ， 即 0d qSES 高 斯 定 理 成 立 點 電 荷 在 任 意 封 閉 曲 面 內(nèi) 35 點 電 荷 在 封 閉 曲 面 之 外 EqdS dS由 于 從 q 發(fā) 出 的 電 場 線 ， 凡 是 穿 入 S 面 的 ， 必 定又 會 從 S面 某 處 穿 出 ， 所 以 穿 過 S 面 的 電 場 線 凈條 數(shù) 必 定 等 于 零 ， 曲 面 S的 電 通 量 必 定 等 于 零 。 0d Se SE 高 斯 定 理 成 立 36 由 多 個 點 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場 21 EEE S i iS SESE dde （ 外 ）內(nèi) ） i S ii S i SESE dd( 內(nèi) ）（ 內(nèi) ） (0e 1d i ii S i qSE 0d （ 外 ）i S i SE 1 q iq2qs SdE高 斯 定 理 成 立 37 ni iS qSE 10e 1d 高 斯 定 理3） 僅 高 斯 面 內(nèi) 的 電 荷 對 高 斯 面 的 電 場 強 度 通 量 有 貢 獻 .1） 高 斯 面 為 封 閉 曲 面 .4） 靜 電 場 是 有 源 場 .2） 穿 出 高 斯 面 的 電 場 強 度 通 量 為 正 ， 穿 入 為 負 .總 結 38 39 四 高 斯 定 理 的 應 用 其 步 驟 為 對 稱 性 分 析 ； 根 據(jù) 對 稱 性 選 擇 合 適 的 高 斯 面 ； 應 用 高 斯 定 理 計 算 .（ 用 高 斯 定 理 求 解 的 靜 電 場 必 須 具 有 一 定 的 對 稱 性 ） 40 + + + + +OR例 2 均 勻 帶 電 球 殼 的 電 場 強 度0d 1 S SE 0E02 d QSES r 1S 20 4 rQE 02 4 QEr r2s 一 半 徑 為 , 均 勻 帶 電 的 薄球 殼 . 求 球 殼 內(nèi) 外 任 意 點 的 電 場 強 度 . R Q 20 4 RQ rRoE解 （ 1） Rr0 Rr（ 2） 41 例 3： 求 半 徑 為 R的 均 勻 帶 電 球 體 在 球 內(nèi) 外 各 點 的 場強 分 布 。 設 球 體 電 荷 密 度 為 r ， 總 電 量 為 Q 。 304 1 RrQE Rr Rr 204 1 rQE 解 ： 選 取 同 心 的 球 面 為 高 斯 面 QE R r3032e 4 RQrrE 0Sd 面 內(nèi) iS qSE 42+ox y z例 4 無 限 長 均 勻 帶 電 直 線 的 電 場 強 度 下 底 ）上 底 ）柱 面 ） ( dd d sss SESESE 選 取 閉 合 的 柱 形 高 斯 面 無 限 長 均 勻 帶 電 直 線 ， 單 位 長 度 上 的 電 荷 ， 即電 荷 線 密 度 為 ， 求 距 直 線 為 處 的 電 場 強 度 . r對 稱 性 分 析 ： 軸 對 稱解 h S SE d 柱 面 ）( ds SE ne nene Er 43 0hrE 0 2 0 2 hrhE 柱 面 ）( dd sS SESE +ox yzh ne Er 44+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 例 5 無 限 大 均 勻 帶 電 平 面 的 電 場 強 度 無 限 大 均 勻 帶 電 平 面 ， 單 位 面 積 上 的 電 荷 ， 即 電荷 面 密 度 為 ， 求 距 平 面 為 處 的 電 場 強 度 .r選 取 閉 合 的 柱 形 高 斯 面 02E 對 稱 性 分 析 ： 垂 直 平 面E解 0d SSES 底 面 積 SE ESSS2 0 SE 45 02EE E E E 46 00 0 0 00 討 論無限大帶電平面 的電場疊加問題 47q 一 靜 電 場 力 所 做 的 功 0qrrEqW dd 0 rrrqq d 4 300 cosdd rrrr rrd rrqqW d 4d 200 點 電 荷 的 電 場 rdrd Ar ABr B E7-5 靜 電 場 的 環(huán) 路 定 理 電 勢 能 48 rrqqW d 4d 200 B Arr rrqqW 200 d 4 )11( 4 00 BA rrqq 結 果 : 僅 與 的 始 末位 置 有 關 ， 與 路 徑 無 關 .0qW q 0qr rdrd Ar ABr B E 49 任 意 電 荷 的 電 場 （ 視 為 點 電 荷 的 組 合 ） i iEE l lEqW d0 l ii lEq d0結 論 ： 靜 電 場 力 做 功 與 路 徑 無 關 . 50 二 靜 電 場 的 環(huán) 路 定 理 E BABA lEqlEq 2010 dd 0)dd( 210 ABBA lElEq 0d l lE 1 2A B靜 電 場 是 保 守 場 51 靜 電 場 中 的 場 強 沿 任 意 閉 合 環(huán) 路 的 積 分 為 零 ，稱 為 靜 電 場 的 環(huán) 路 定 理 。它 與 “ 靜 電 場 力 作 功 與 路 徑 無 關 ” 的 說 法 完全 等 價 。 52 三 電 勢 能靜 電 場 是 保 守 場 ， 靜 電 力 是 保 守 力 . ppp0 )(d EEElEqW ABABBA 靜 電 場 力 做 功 與 路 徑 無 關 .靜 電 場 力 所 做 的 功 就 等 于 電 荷 電 勢 能增 量 的 負 值 .定 義 一 個 新 的 函 數(shù) ， 叫 做 “ 電 勢 能 ” ， 使 其 滿 足 ： 53 實 際 中 為 了 確 定 q0在 電 場 中 一 點 的 電 勢 能 ， 必 須 選擇 一 個 電 勢 能 為 零 的 參 考 點 。 ppp0 )(d EEElEqW ABABBA 常 選 擇 無 限 遠 處 的 電 勢 能 為 零 。 試 驗 電 荷 在 電 場 中 某 點 的 電 勢 能 ， 在 數(shù) 值 上就 等 于 把 它 從 該 點 移 到 零 勢 能 處 靜 電 場 力 所 作 的 功 .0q AA lEqE d0p 54(積 分 大 小 與 無 關 )0q 一 電 勢 E0qA B BABA VlEV d )(d 0p0p qEqElE ABAB 0pqEV AA 點 電 勢A0pqEV BB 點 電 勢B )(d pp0 ABAB EElEq （ 為 參 考 電 勢 ， 值 任 選 ） BV 7-6 電 勢 55 BABA VlEV d 令 0BV ABA lEV d 電 勢 零 點 選 擇 方 法 ： 有 限 帶 電 體 以 無 窮 遠 為 電 勢零 點 ， 實 際 問 題 中 常 選 擇 地 球 電 勢 為 零 . AA lEV d ABBAAB lEVVU d 電 勢 差 lEV V AA d0 點 物 理 意 義 把 單 位 正 試 驗 電 荷 從 點 移 到 無 窮 遠時 ， 靜 電 場 力 所 作 的 功 . A 56 (將 單 位 正 電 荷 從 移 到 電 場 力 作 的 功 .)A B ABBAAB lEVVU d 電 勢 差 電 勢 差 是 絕 對 的 ， 與 電 勢 零 點 的 選 擇 無 關 ；電 勢 大 小 是 相 對 的 ， 與 電 勢 零 點 的 選 擇 有 關 .注 意 BABAAB UqVqVqW 000 靜 電 場 力 的 功 J10602.1eV1 19原 子 物 理 中 能 量 單 位 單 位 ： 伏 特 ）（ V 57q r ld E二 點 電 荷 的 電 勢rerqE 4 20 令 0V r r lerqV d 4 20 rqV 0 4 rd 0,0 0,0 Vq Vq r rrq 2 0 4 d 58 1q2q3q三 電 勢 的 疊 加 原 理 點 電 荷 系 i iEE AA lEV d lEi A i d i iii AiA rqVV 04 電 荷 連 續(xù) 分 布 rqVP 0 4 d A 1r 1E2r 3r 2E3E q EdrP Vq dd rqd 59 求 電 勢的 方 法 rqVP 0 4 d 利 用 若 已 知 在 積 分 路 徑 上 的 函 數(shù) 表 達 式 ， 則 ElEV V AA d0 點 討 論 60RlqrVP 2 d 4 1d 0 rqRlqrVP 00 4 2 d 4 1 220 4 Rxq + + + + + +R r 例 1 正 電 荷 均 勻 分 布 在 半 徑 為 的 細 圓 環(huán) 上 . 求 圓 環(huán) 軸 線 上 距 環(huán) 心 為 處 點 的 電 勢 .q Rx Pld x P Rlqlq 2 ddd oyz x 61RqVx 00 40 ， xqVRx P 0 4 ， 220 4 RxqVP 討 論 Rq04 xo V 21220 )( 4 Rxq 62R o x )( 2 220 xRx 22 rx x P)d 2(d rrq rrd RP rx rrV 0 220 d 2 4 1 Rx xRxRx 2222 xQV 0 4 （ 點 電 荷 電 勢 ） 均 勻 帶 電 薄 圓 盤 軸 線 上 的 電 勢 63 例 2 均 勻 帶 電 球 殼 的 電 勢 . + + + + +QR真 空 中 ， 有 一 帶 電 為 ， 半 徑 為 的 帶 電 球 殼 .Q R試 求 （ 1） 球 殼 外 兩 點 間 的 電 勢 差 ； （ 2） 球 殼 內(nèi) 兩 點間 的 電 勢 差 ； （ 3） 球 殼 外 任 意 點 的 電 勢 ； （ 4） 球 殼內(nèi) 任 意 點 的 電 勢 .解 rerqERr 202 4 ， 01 ERr ，（ 1） BABA rr rEVV d2 BArr rrQ 20 d 4 )11( 4 0 BA rrQ ro re rdA BAr r Br 64 0d1 BABA rr rEVV （ 3） Rr ,Br 0V令 rQ 0 4 rr rQ d 4 20 r rErV d)( 2外 （ 2） Rr + + + + +QR ro re rdA BAr r Br 65 （ 4） Rr R rERr rErV dd)( 21內(nèi) RQ0 4 rQrV 0 4)( 外 RQrV 0 4)( 內(nèi) RQ0 4 R roV rQ 0 4 66 7-7 電 場 強 度 與 電 勢 梯 度一 、 等 勢 面 將 電 場 中 電 勢 相 等 的 點 連 接 起 來 所 形 成 的 一 系 列 曲面 叫 做 等 勢 面 。 等 勢 面 上 的 任 一 曲 線 叫 做 等 勢 線 。等 勢 面 的 性 質 ：電 荷 沿 等 勢 面 移 動 ， 電 場 力 不 作 功 。 0dd 0d 0 VqWV 正 電 荷 等 勢 面 67 等 勢 面 處 處 與 電 場 線 正 交 。因 為 將 單 位 正 電 荷 從 等 勢 面 上 M點 移 到 N點 ，電 場 力 作 功 為 零 ， 而 路 徑 不 為 零 0cos d dd 00 lEqlEqW 0d l2 ldM N E正 電 荷 等 勢 面 68 規(guī) 定 兩 個 相 鄰 等 勢 面 的 電 勢 差 相 等 ， 所 以 等 勢 面較 密 集 的 地 方 ， 場 強 較 大 。 等 勢 面 較 稀 疏 的 地 方 ，場 強 較 小 。正 電 荷 的 場 負 電 荷 的 場 均 勻 電 場 69 + + + + + + + + + + + + 70+ 71 二 電 場 強 度 與 電 勢 梯 度cos lE lEVVU ABAB ）（ lEE cos lVEl lVlVE ll ddlim0 電 場 中 某 一 點 的 電 場 強 度 沿 某 一 方 向 的 分 量 ， 等 于 這 一點 的 電 勢 沿 該 方 向 單 位 長 度 上 電 勢 變 化 率 的 負 值 . VVV lE lE ABlEV l 72 xVxVE xx ddlim0 yVyVE yy ddlim0 zVzVE zz ddlim0 VkzVjyVixVE ) （ 73 V VV Eld 高電勢低電勢 nee nld方 向 與 相 反 ， 由 高 電 勢 處 指 向 低 電 勢 處 ne nddlVE 大 小 nn ddlVE ndd ll lEE nnndd elVE lVEl dd 74VkzVjyVixVE ) （ （ 電 勢 梯 度 ） 直 角 坐 標 系 中求 的 三 種 方 法E 利 用 電 場 強 度 疊 加 原 理利 用 高 斯 定 理利 用 電 勢 與 電 場 強 度 的 關 系物 理 意 義 （ 1） 空 間 某 點 電 場 強 度 的 大 小 取 決 于 該 點 領 域 內(nèi)電 勢 的 空 間 變 化 率 .V（ 2） 電 場 強 度 的 方 向 恒 指 向 電 勢 降 落 的 方 向 . 75 例 1 求 一 均 勻 帶 電 細 圓 環(huán) 軸 線 上 任 一 點 的 電 場 強 度 . 解 xq y xz oR r lq dd P ExVEE x 21220 )( 4 RxqV 23220 )( 4 Rxqx VE 21220 )( 4 Rxqx 76 77