最新考綱 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或 垂直；2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)； 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條 平行直線間的距離.,第2講 兩直線的位置關(guān)系,1兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2_特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2_ (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1l2_，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線_,知 識 梳 理,k1k2,平行,k1·k21,垂直,2兩直線相交 相交方程組有_，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解； 平行方程組_； 重合方程組有_,唯一解,無解,無數(shù)個解,3距離公式 (1)兩點(diǎn)間的距離公式 平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|_ 特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|_,(2)點(diǎn)到直線的距離公式 平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d_ (3)兩條平行線間的距離公式 一般地，兩條平行直線l1：AxByC10，l2：Ax ByC20間的距離d_,1判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1. ( ) (3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20. ( ) (4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離 ( ),診 斷 自 測,×,×,2過點(diǎn)(1，0)且與直線x2y20平行的直線方程是 ( ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 解析 設(shè)所求直線方程為x2yc0，將(1，0)代入得c1.所求直線方程為x2y10. 答案 A,3(2014·福建卷)已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則l的方程是 ( ) Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 解析 已知圓的圓心為(0，3)，直線xy10的斜率為1，則所求直線的斜率為1，所以所求直線的方程為yx3，即xy30.故選D. 答案 D,4直線2x2y10，xy20之間的距離是_,5(人教A必修2P114A4改編)若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a_ 解析 由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0， 解得a0或a1. 答案 0或1,考點(diǎn)一 兩直線的平行與垂直 【例1】 已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行； (2)當(dāng)l1l2時，求a的值 解 (1)法一 當(dāng)a1時， l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于l2； 當(dāng)a0時，l1：y3， l2：xy10，l1不平行于l2；,當(dāng)a1且a0時， 綜上可知，a1時，l1l2. 法二 由A1B2A2B10， 得a(a1)1×20， 由A1C2A2C10，得a(a21)1×60，,故當(dāng)a1時，l1l2. (2)法一 當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1與l2不垂直，故a1不成立； 當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2； 當(dāng)a1且a0時，,規(guī)律方法 (1)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論,【訓(xùn)練1】 已知過點(diǎn)A(2，m)和點(diǎn)B(m，4)的直線為l1，直線2xy10為l2，直線xny10為l3.若l1l2，l2l3，則實(shí)數(shù)mn的值為 ( ) A10 B2 C0 D8 答案 A,考點(diǎn)二 兩條直線的交點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離 【例2】 直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，5)且與點(diǎn)A(3，2)和點(diǎn)B(1，6)的距離之比為12，求直線l的方程 解 當(dāng)直線l與x軸垂直時，此時直線l的方程為x2，點(diǎn)A到直線l的距離為d11，點(diǎn)B到直線l的距離為d23，不符合題意，故直線l的斜率必存在 直線l過點(diǎn)P(2，5)， 設(shè)直線l的方程為y5k(x2)， 即kxy2k50.,k218k170，k11，k217. 所求直線方程為xy30和17xy290. 規(guī)律方法 利用距離公式應(yīng)注意：(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等,(2)直線l過點(diǎn)P(1，2)且到點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(4，5)的距離相等，則直線l的方程為_,兩直線的交點(diǎn)在第一象限， 兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))， 動直線的斜率k需滿足kPAkkPB.,即x3y50. 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意 當(dāng)l過AB中點(diǎn)時，AB的中點(diǎn)為(1，4) 直線l的方程為x1. 故所求直線l的方程為x3y50或x1.,考點(diǎn)三 對稱問題 【例3】 已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)； (2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程； (3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對稱的直線l的方程,(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m上 設(shè)對稱點(diǎn)為M(a，b)，,(3)法一 在l：2x3y10上任取兩點(diǎn)，如M(1，1)，N(4，3) 則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M，N均在直線l上 易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3y90. 法二 設(shè)P(x，y)為l上任意一點(diǎn)， 則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對稱點(diǎn)為 P(2x，4y)， P在直線l上，2(2x)3(4y)10， 即2x3y90.,規(guī)律方法 (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(a，b)的對稱點(diǎn)Q的問題，主要依據(jù)M是線段PQ的中點(diǎn)，即xPxQ2a，yPyQ2b. (2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱：求直線l關(guān)于點(diǎn)M(m，n)的對稱直線l的問題，主要依據(jù)l上的任一點(diǎn)T(x，y)關(guān)于M(m，n)的對稱點(diǎn)T(2mx，2ny)必在l上 (3)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱：求已知點(diǎn)A(m，n)關(guān)于已知直線l：ykxb的對稱點(diǎn)A(x0，y0)的坐標(biāo)，一般方法是依據(jù)l是線段AA的垂直平分線，列出關(guān)于x0，y0的方程組，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程 (4)直線關(guān)于直線的對稱：此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行,【訓(xùn)練3】 光線沿直線l1：x2y50射入，遇直線l：3x2y70后反射，求反射光線所在的直線方程 反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2) 又取直線x2y50上一點(diǎn)P(5，0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P(x0，y0)，,微型專題 直線系方程的靈活應(yīng)用 直線系指具有某一共同性質(zhì)的直線的集合，它有多種不同的情況，其中以過兩條直線交點(diǎn)的直線系為主利用直線系方程可以降低運(yùn)算難度，使解題的過程更加簡捷，因此在高考中這類問題也可能會成為考查的重點(diǎn),【例4】 已知直線l與點(diǎn)A(3，3)和B(5，2)的距離相等，且過兩直線l1：3xy10和l2：xy30的交點(diǎn)，求直線l的方程 點(diǎn)撥 不需要解兩直線l1與l2的交點(diǎn)，可設(shè)直線l為：3xy1(xy3)0，再分兩種情況分別求解 解 根據(jù)條件可設(shè)直線l的方程為3xy1(xy3)0，即(3)x(1)y310；直線l與點(diǎn)A(3，3)和B(5，2)的距離相等可分為兩種情況：,此時直線l的方程為x6y110. 綜上，可知所求直線l的方程為x2y50或x6y110.,點(diǎn)評 一般情況下，若兩條直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20有交點(diǎn)，則過l1與l2的交點(diǎn)的直線系方程可設(shè)為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含l2)，利用這一結(jié)論可以避免求交點(diǎn)時解方程組帶來的麻煩.,思想方法 1兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1·k21. 2對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對稱利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法 3光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點(diǎn)，這樣就有兩種對稱關(guān)系，一是入射光線與反射光線關(guān)于過反射點(diǎn)且與反射軸垂直的直線(法線)對稱，二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對稱,易錯防范 1在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨(dú)考慮 2使用點(diǎn)到直線的距離公式前必須將直線方程化為一般式，同時此公式對直線與坐標(biāo)軸垂直或平行的情況也適用；使用兩平行線間的距離公式時一定要注意先把兩直線方程中的x，y的系數(shù)化成相等,