河 口 一 中 DONGYINGSHIHEKOUQUDIYIZHONGXUE 解斜三角形公式、定理正 弦 定 理 ：余 弦 定 理 ：三 角 形 邊 與 角 的 關(guān) 系 ： RCcBbAa 2sinsinsin Abccba cos2222 Baccab cos2 222 Cabbac cos2222 1801 CBA、2、 大 角 對(duì) 大 邊 ， 小 角 對(duì) 小 邊 。 ，bc acbA 2cos 222 ，ca bacB 2cos 222 。ab cbaC 2cos 222 2.余 弦 定 理 的 作 用（ 1） 已 知 三 邊 ， 求 三 個(gè) 角 ；（ 2） 已 知 兩 邊 和 它 們 的 夾 角 ， 求 第 三 邊 和 其 它 兩 角 ； （ 3） 判 斷 三 角 形 的 形 狀 。 中 ，在 ABC推 論 : 為 直 角 ；， 則若 Ccba 222 為 銳 角 ；， 則若 Ccba 222 為 鈍 角 ；， 則若 Ccba 222 三 角 形 的 面 積 公 式 BacAbcCabS sinsinsin 212121 斜三角形的解法已知條件定理選用一般解法用 正 弦 定 理 求 出 另 一 對(duì) 角 ,再 由A+B+C=180， 得 出 第 三 角 ,然后 用 正 弦 定 理 求 出 第 三 邊 。正 弦 定 理余 弦 定 理正 弦 定 理余 弦 定 理 由 A+B+C=180,求 出 另 一 角 ， 再用 正 弦 定 理 求 出 兩 邊 。用 余 弦 定 理 求 第 三 邊 ， 再 用 余 弦定 理 求 出 一 角 ， 再 由A+B+C=180得 出 第 三 角 。用 余 弦 定 理 求 出 兩 角 ， 再 由A+B+C=180得 出 第 三 角 。一邊和兩角(ASA或AAS)兩邊和夾角(SAS)三邊(SSS)兩邊和其中一邊的對(duì)角(SSA) :多 應(yīng) 用 實(shí) 際 測(cè) 量 中 有 許正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 在(1)測(cè) 量 距 離 .(2)測(cè) 量 高 度 .)3( 測(cè) 量 角 度 經(jīng) 緯 儀 ， 測(cè) 量 水 平 角 和 豎 直 角 的 儀 器 。是 根 據(jù) 測(cè) 角 原 理 設(shè) 計(jì) 的 。 目 前 最 常 用的 是 光 學(xué) 經(jīng) 緯 儀 。光 學(xué) 經(jīng) 緯 儀 鋼 卷 尺 解 斜 三 角 形 中 的 有 關(guān) 名 詞 、 術(shù) 語(yǔ) ： （ 1） 坡 度 ： 斜 面 與 地 平 面 所 成 的 角 度 。 （ 2） 仰 角 和 俯 角 ： 在 視 線 和 水 平 線 所 成 的 角 中 ，視 線 在 水 平 線 上 方 的 角 叫 仰 角 ， 視 線 在 水 平 線 下方 的 角 叫 俯 角 。 （ 3） 方 位 角 ： 從 正 北 方 向 順 時(shí) 針 轉(zhuǎn) 到 目 標(biāo) 方 向的 夾 角 。 （ 4） 視 角 ： 由 物 體 兩 端 射 出 的 兩 條 光 線 在 眼 球內(nèi) 交 叉 而 成 的 角 A CB 51o 55m75o 例 1.設(shè) A、 B兩 點(diǎn) 在 河 的 兩 岸 ， 要 測(cè) 量 兩 點(diǎn) 之 間 的 距 離 。測(cè) 量 者 在 A的 同 測(cè) ， 在 所 在 的 河 岸 邊 選 定 一 點(diǎn) C，測(cè) 出 AC的 距 離 是 55cm， BAC 51o， ACB 75o， 求 A、 B兩 點(diǎn) 間 的 距 離 （ 精 確 到 0.1m）分 析 ： 已 知 兩 角 一 邊 ， 可 以 用 正 弦 定 理 解 三 角 形 sin sinAB ACC B 解 ： 根 據(jù) 正 弦 定 理 ， 得答 ： A,B兩 點(diǎn) 間 的 距 離 為 65.7米 。sin sinsin 55sinsin sin55sin75 55sin75 65.7( )sin(180 51 75 ) sin54AB ACACB ABCAC ACB ACBAB ABC ABC m A BC D .,), (,2 兩 點(diǎn) 間 距 離 的 方 法設(shè) 計(jì) 一 種 測(cè) 量達(dá) 不 可 到兩 點(diǎn) 都 在 河 的 對(duì) 岸、 如 圖例 BABA A BCD a解 ： 如 圖 ， 測(cè) 量 者 可以 在 河 岸 邊 選 定 兩 點(diǎn)C、 D， 設(shè) CD=a， BCA=， ACD=， CDB=， ADB=分 析 ： 用 例 1的 方 法 ， 可 以 計(jì) 算 出 河 的 這 一 岸 的 一點(diǎn) C到 對(duì) 岸 兩 點(diǎn) 的 距 離 ， 再 測(cè) 出 BCA的 大 小 ，借 助 于 余 弦 定 理 可 以 計(jì) 算 出 A、 B兩 點(diǎn) 間 的 距 離 。 解 ： 測(cè) 量 者 可 以 在 河 岸 邊 選 定 兩 點(diǎn) C、 D， 測(cè) 得 CD=a,并且 在 C、 D兩 點(diǎn) 分 別 測(cè) 得 BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在 ADC和 BDC中 ， 應(yīng) 用 正 弦 定 理 得計(jì) 算 出 AC和 BC后 ， 再 在 ABC中 ， 應(yīng) 用 余 弦 定 理 計(jì)算 出 AB兩 點(diǎn) 間 的 距 離sin( ) sin( )sin( )sin 180 ( )sin sinsin( )sin 180 ( )a aAC a aBC 2 2 2 cosAB AC BC AC BC 變 式 訓(xùn) 練 ： 若 在 河 岸 選 取 相 距 40米 的 C、 D兩點(diǎn) ， 測(cè) 得 BCA= ， ACD= ， CDB= ，BDA= 60 30 4560 求 A、 B兩 點(diǎn) 間 距 離 . 練 習(xí) 1.一 艘 船 以 32.2n mile / hr的 速 度 向 正北 航 行 。 在 A處 看 燈 塔 C在 船 的 北 偏 東 20o的 方 向 ， 30min后 航 行 到 B處 ， 在 B處 看 燈塔 在 船 的 北 偏 東 65o的 方 向 ， 已 知 距 離 此 燈塔 6.5n mile 以 外 的 海 區(qū) 為 航 行 安 全 區(qū) 域 ，這 艘 船 可 以 繼 續(xù) 沿 正 北 方 向 航 行 嗎 ？11545 sin20 16.1sin20 7.787( )sin45 sin45 ,sin65 7.06( )6.5ACB CBAC ABCB n mileC AB hh CB n mileh n mile 解 ： 在 中 ， ， 由 正 弦 定 理 得設(shè) 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 為 則此 船 可 以 繼 續(xù) 沿 正 北 方 向 航 行答 ： 此 船 可 以 繼 續(xù) 沿 正 北 方 向 航 行 C 變 式 練 習(xí) ： 兩 燈 塔 A、 B與 海 洋 觀 察 站 C的 距 離 都等 于 a km,燈 塔 A在 觀 察 站 C的 北 偏 東 30o， 燈 塔 B在 觀 察 站 C南 偏 東 60o， 則 A、 B之 間 的 距 離 為 多少 ？ 練 習(xí) 2 自 動(dòng) 卸 貨 汽 車 的 車 廂 采 用 液 壓 機(jī) 構(gòu) 。 設(shè) 計(jì) 時(shí) 需 要 計(jì) 算油 泵 頂 桿 BC的 長(zhǎng) 度 已 知 車 廂 的 最 大 仰 角 是 60 ， 油 泵 頂 點(diǎn) B與 車 廂 支 點(diǎn) A之 間 的 距 離 為 1.95m， AB與 水 平 線 之 間 的 夾 角 為6 20， AC長(zhǎng) 為 1.40m， 計(jì) 算 BC的 長(zhǎng) （ 精 確 到 0.01m） 最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度C A B 練 習(xí) 2 自 動(dòng) 卸 貨 汽 車 的 車 廂 采 用 液 壓 機(jī) 構(gòu) 。 設(shè) 計(jì) 時(shí) 需 要 計(jì) 算油 泵 頂 桿 BC的 長(zhǎng) 度 已 知 車 廂 的 最 大 仰 角 是 60 ， 油 泵 頂 點(diǎn) B與 車 廂 支 點(diǎn) A之 間 的 距 離 為 1.95m， AB與 水 平 線 之 間 的 夾 角 為6 20， AC長(zhǎng) 為 1.40m， 計(jì) 算 BC的 長(zhǎng) （ 精 確 到 0.01m） 最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度 已 知 ABC中 AB 1.95m， AC 1.40m， 夾 角 CAB 66 20， 求 BC解 ： 由 余 弦 定 理 ， 得 答 ： 頂 桿 BC約 長(zhǎng) 1.89m。 CA B2 2 22 2 2 cos 1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BC AB AC AB AC ABC 測(cè) 量 垂 直 高 度 1、 底 部 可 以 到 達(dá) 的 測(cè) 量 出 角 C和 BC的 長(zhǎng) 度 ， 解 直角 三 角 形 即 可 求 出 AB的 長(zhǎng) 。 . . ,.3 的 方 法物 高 度 設(shè) 計(jì) 一 種 測(cè) 量 建 筑為 建 筑 物 的 最 高 點(diǎn)不 可 到 達(dá) 的 一 個(gè) 建 筑 物是 底 部例 ABA BAB圖 中 給 出 了 怎 樣 的 一 個(gè)幾 何 圖 形 ？ 已 知 什 么 ，求 什 么 ？想 一 想 BEAG HD C2、 底 部 不 能 到 達(dá) 的 例 3 AB是 底 部 B不 可 到 達(dá) 的 一 個(gè) 建 筑 物 ， A為 建 筑物 的 最 高 點(diǎn) ， 設(shè) 計(jì) 一 種 測(cè) 量 建 筑 物 高 度 AB的 方 法分 析 ： 由 于 建 筑 物 的 底 部 B是 不 可 到 達(dá) 的 ， 所 以 不 能 直接 測(cè) 量 出 建 筑 物 的 高 。 由 解直 角 三 角 形 的 知 識(shí) ， 只 要 能測(cè) 出 一 點(diǎn) C到 建 筑 物 的 頂 部A的 距 離 CA,并 測(cè) 出 由 點(diǎn) C觀 察 A的 仰 角 ， 就 可 以 計(jì) 算出 建 筑 物 的 高 。 所 以 應(yīng) 該 設(shè)法 借 助 解 三 角 形 的 知 識(shí) 測(cè) 出CA的 長(zhǎng) 。 BEAG HD C )sin(sin aAC hahAChAEAB )sin( sinsinsin 解 ： 選 擇 一 條 水 平 基 線 HG,使H,G,B三 點(diǎn) 在 同 一 條 直 線 上 。 由在 H,G兩 點(diǎn) 用 測(cè) 角 儀 器 測(cè) 得 A的仰 角 分 別 是 ， ， CD=a,測(cè) 角 儀器 的 高 是 h.那 么 ， 在 ACD中 ，根 據(jù) 正 弦 定 理 可 得例 3. AB是 底 部 B不 可 到 達(dá) 的 一 個(gè) 建 筑 物 ， A為 建 筑物 的 最 高 點(diǎn) ， 設(shè) 計(jì) 一 種 測(cè) 量 建 筑 物 高 度 AB的 方 法 BEAG HD C ).1( ,3.27 .150 ,4054 ,.4 00 mD CmBC AC AB精 確 到求 出 山 高部 分 的 高 為塔 已 知 鐵角 處 的 俯處 測(cè) 得 在 塔 底的 俯 角面 上 一 點(diǎn) 處 測(cè) 得 地鐵 塔 上 在 山 頂如 圖例 分 析 ： 根 據(jù) 已 知 條 件 ， 應(yīng) 該 設(shè)法 計(jì) 算 出 AB或 AC的 長(zhǎng) ABCD )(177 )1504054sin( 4054sin150cos3.27 )sin( sincossin, m BCBADABBD ABDRt 得解 CD=BD-BC177-27.3=150(m)答 ： 山 的 高 度 約 為 150米 。 )sin( cos)sin( )90sin( BCBCAB 所 以 ， )90sin()sin( ABBC解 ： 在 ABC中 ， BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根 據(jù) 正 弦 定 理 ， ABCD 例 3： 如 圖 ,一 輛 汽 車 在 一 條 水 平 的 公 路 上 向正 西 行 駛 ,到 A處 時(shí) 測(cè) 得 公 路 北 側(cè) 遠(yuǎn) 處 一 山 頂 D在 西 偏 北 150的 方 向 上 ,行 駛 5km后 到 達(dá) B處 ,測(cè)得 此 山 頂 在 西 偏 北 250的 方 向 上 ,仰 角 為 80,求此 山 的 高 度 CD 例 5 一 輛 汽 車 在 一 條 水 平 的 公 路 上 向 正 東 行 駛 ， 到 A處 時(shí) 測(cè) 得公 路 南 側(cè) 遠(yuǎn) 處 一 山 頂 D在 東 偏 南 15 的 方 向 上 ， 行 駛 5km后 到達(dá) B處 ， 測(cè) 得 此 山 頂 在 東 偏 南 25 的 方 向 上 ， 仰 角 8 ， 求 此 山的 高 度 CD.解 ： 在 ABC中 ， A=15 , C= 25 15 =10 .根 據(jù) 正 弦 定 理 ，CABABC sinsin ).(4524.710sin 15sin5sinsin kmCAABBC CD=BC tan DBCBC tan8 1047(m) 答 ： 山 的 高 度 約 為 1047米 。 變 式 ： 某 人 在 M汽 車 站 的 北 偏 西 200的 方向 上 的 A處 ， 觀 察 到 點(diǎn) C處 有 一 輛 汽 車沿 公 路 向 M站 行 駛 。 公 路 的 走 向 是 M站的 北 偏 東 400。 開(kāi) 始 時(shí) ， 汽 車 到 A的 距 離為 31千 米 ， 汽 車 前 進(jìn) 20千 米 后 ， 到 A的距 離 縮 短 了 10千 米 。 問(wèn) 汽 車 還 需 行 駛多 遠(yuǎn) ， 才 能 到 達(dá) M汽 車 站 ？ .)3( 測(cè) 量 角 度 ).01.0 ,1.0(, , .0.5432 ,5.67 75,.6 00 0nmile CA Cnmile BBnmile A確 到 距 離 精角 度 精 確 到需 要 航 行 多 少 距 離航 行 此 船 應(yīng) 該 沿 怎 樣 的 方 向出 發(fā) 到 達(dá)航 行 直 接 從 如 果 下 次后 到 達(dá) 海 島的 方 向 航 行東 沿 北 偏出 發(fā)然 后 從后 到 達(dá) 海 島航 行 的 方 向沿 北 偏 東出 發(fā)一 艘 海 輪 從如 圖例 例 6 一 艘 海 輪 從 A出 發(fā) ， 沿 北 偏 東 75 的 方 向 航 行 67.5n mile后 到 達(dá) 海 島 B,然 后 從 B出 發(fā) ， 沿 北 偏 東 32 的 方 向 航 行 54.0n mile后 到 達(dá) 海 島 C.如 果 下 次 航 行 直 接 從 A出 發(fā) 到 達(dá) C,此 船 應(yīng) 該沿 怎 樣 的 方 向 航 行 ， 需 要 航 行 多 少 距 離 （ 角 度 精 確 到 0.1 ,距離 精 確 到 0.01n mile） ?解 ： 在 ABC中 ， ABC180 75 32 137 ，根 據(jù) 余 弦 定 理 ，15.113 137cos0.545.6720.545.67 cos222 22 ABCBCABBCABAC 練 習(xí)1 如 下 圖 是 曲 柄 連 桿 機(jī) 構(gòu) 的 示 意 圖 ， 當(dāng) 曲 柄 CB繞 C點(diǎn) 旋 轉(zhuǎn)時(shí) ， 通 過(guò) 連 桿 AB的 傳 遞 ， 活 塞 作 直 線 往 復(fù) 運(yùn) 動(dòng) ， 當(dāng) 曲 柄 在 CB位 置 時(shí) ， 曲 柄 和 連 桿 成 一 條 直 線 ， 連 桿 的 端 點(diǎn) A在 A處 ， 設(shè) 連桿 AB長(zhǎng) 為 340mm， 由 柄 CB長(zhǎng) 為 85mm， 曲 柄 自 CB按 順 時(shí) 針 方向 旋 轉(zhuǎn) 80 ， 求 活 塞 移 動(dòng) 的 距 離 （ 即 連 桿 的 端 點(diǎn) A移 動(dòng) 的 距離 ） （ 精 確 到 1mm） AA0 已 知 ABC中 ， BC 85mm， AB 340mm， C 80 ，求 AC 解 ： （ 如 圖 ） 在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ： 2462.034080sin85sinsin AB CBCA因 為 BC AB， 所 以 A為 銳 角 ， A 14 15 B 180 （ A C） 85 45 又 由 正 弦 定 理 ： )(3.3449848.0 5485sin340sinsin mm CBABAC 解 題 過(guò) 程 )(817.80 3.344)85340( )( 00 mm ACBCAB ACCAAA答 ： 活 塞 移 動(dòng) 的 距 離 為 81mm 解 題 過(guò) 程 解 ： 如 圖 ， 在 ABC中 由 余 弦 定 理 得 ：784 )21(201221220 cos222 222 BACACABABACBC A 2.我 艦 在 敵 島 A南 偏 西 50 相 距 12海 里 的 B處 ， 發(fā) 現(xiàn) 敵 艦 正由 島 沿 北 偏 西 10 的 方 向 以 10海 里 /小 時(shí) 的 速 度 航 行 問(wèn) 我 艦 需以 多 大 速 度 、 沿 什 么 方 向 航 行 才 能 用 2小 時(shí) 追 上 敵 艦 ？ CB 40 50 10 我 艦 的 追 擊 速 度 為 14海 里 /小 時(shí) ，28 BC 練 習(xí) 又 在 ABC中 由 正 弦 定 理 得 ： 1435sinsinsinsin BC AACBABCBAC 故 38B 故 我 艦 航 行 的 方 向 為 北 偏 東 50 38 12 3. 3.5m長(zhǎng) 的 木 棒 斜 靠 在 石 堤 旁 ， 棒的 一 端 離 堤 足 1.2m的 地 面 上 ， 另 一端 沿 堤 上 2.8m的 地 方 ， 求 堤 對(duì) 地 面的 傾 斜 角 。 63.77 總 結(jié)實(shí) 際 問(wèn) 題 抽 象 概 括示 意 圖 數(shù) 學(xué) 模 型推理 演算數(shù) 學(xué) 模 型 的 解實(shí) 際 問(wèn) 題 的 解 還 原 說(shuō) 明