課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算由定義求導(dǎo)數(shù) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)有如下步驟： (1)求函數(shù)的增量；(2)求比值；(3)求極限例一、求y=sinx 的導(dǎo)數(shù)？解：主頁下頁xyxf x 0lim)( .cos)sincos1cos(sinlim)(sin sincos1cossin sincos)1(cossin sinsincoscossinsin)sin( 0 xx xxxxxx x xxxxxxy xxxx xxxxxxxxy x 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算例二、設(shè)f(x) 在x=0處可導(dǎo)，求極限 解：由于函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，所以 例三、已知 ,求曲線在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率?解：由于所以曲線在點(diǎn) (1,f(1)處的切線斜率為-2。上頁下頁h hfhfh )3()2(lim0 ).0(5)0(3)0(2 )3(3 )0()30(lim22 )0()20(lim )0()30()0()20(lim)3()2(lim 00 00 fff h fhfh fhf h fhffhfh hfhf hh hh 12 )1()1(lim0 x fxfx .2)2(1)2(2 )1()1(lim )1()1(lim)1()1(lim)1( 0 00 x fxf x fxfx fxff x xx 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算基本導(dǎo)數(shù)公式與法則 (1)基本導(dǎo)數(shù)公式(2)四則運(yùn)算法則上頁下頁xxxx xxxx xxxx xxxx xxee xxC xx 2 1).(121)1.(11 1 1).(arctan101 1).(arcsin9 csc).(cot8sec).(tan7 sin).(cos6cos).(sin5 1).(ln4).(3 ).(20).(1 2 22 22 1 2).(3).(2).(1 v vuvuvuvuvuvuvuvu 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算例四、求下列導(dǎo)數(shù)： 解：上頁下頁xxyxxy xxyexy x cos.41ln.3 ln.212.1 22 .2 cossin22cossin.411.3 ln21ln2.222.1 32 2 x xxxx xxxxyxxy xxxxxxxyexy x 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)關(guān)于x可導(dǎo)，則說明：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵(1)分清函數(shù)的復(fù)合層次； (2)使用連鎖法則,各層求導(dǎo)相乘。例五、求導(dǎo)數(shù)：解：先分解：再求導(dǎo)數(shù)：上頁下頁)()( xgxgfy xy 3cos從外向內(nèi)引入中間變量u 3uy xu cos冪函數(shù)三角函數(shù)xy 3cos .sincos3sin3 )(cos)( 22 3 xxxu xuuyy xu 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算例六、求導(dǎo)數(shù)：解：先分解：再求導(dǎo)數(shù)：上頁下頁xey 2sinxey 2sin從外向內(nèi)引入中間變量u uey 2vu xv sin指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù) xx uxvu xexxe xvevuyy 22 sinsin 2sincossin2 cos2 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算例七、求導(dǎo)數(shù)：解：先分解：求導(dǎo)數(shù)：例八、求導(dǎo)數(shù)：解：上頁下頁)2cosln( 2 xxy xx xx xxxxy 2cos 2sin22 )2cos(2cos12 22 5)12( xy5)12( xy 5uy 12 xu 44 )12(52 25 xxxuuyy xu從外向內(nèi)引入變量u冪函數(shù)簡單函數(shù) 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)，則其求導(dǎo)方法： 在方程F(x,y)=0的兩邊各項關(guān)于x求導(dǎo)，遇到y(tǒng)時先對y求導(dǎo)數(shù)再乘y，最后解出y即可。例八、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y：解：兩邊各項關(guān)于x求導(dǎo)：解出y：說明：一般地，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是同時含有 x,y的表達(dá)式。上頁下頁xxyx cos2 23 xyxyyx sin423 22 xy xyxy 4 sin23 22 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算對數(shù)求導(dǎo)法 若求導(dǎo)函數(shù)是冪指函數(shù)或多項乘方、開方、乘除的形式時，可考慮使用對數(shù)求導(dǎo)法：先取對數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)。例九、求導(dǎo)數(shù)：解：兩邊取對數(shù)：兩邊求導(dǎo)數(shù)：解出y：說明：最后結(jié)果中，一定要將 y代回原來的表達(dá)式。上頁下頁xxy sin xxy lnsinln x xxxyy sinlncos1 ).sinln(cossin x xxxxy x 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算參數(shù)方程的求導(dǎo) 設(shè)參數(shù)方程為 ，則導(dǎo)數(shù)例十、求導(dǎo)數(shù)y：解：由公式得：說明：參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)中一定含有參變量。上頁下頁 )( )(ty tx )( )(ttdxdy tty ttx sincos t tttxydxdy tt sin1 cossin 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算微分法求導(dǎo) 根據(jù)微分的形式不變性求導(dǎo)數(shù)，特別適合隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。方法：方程的兩邊各項求微分，最后解出例十一、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：兩邊求微分：例十二、求導(dǎo)數(shù)：解：兩邊求微分：上頁下頁.dxdyyxexy yxyxyxyx yxyxyx ex yedxdydxyedyex dyedxexdyydxedxyd )()( )()( 2ln xyxy xyyxydxdyxdxdyyxdyydx 1221 2 課 題 六 、 導(dǎo) 數(shù) 的 計 算高階導(dǎo)數(shù)定義：n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為n階導(dǎo)數(shù).二階及以上稱高階導(dǎo)數(shù).求法：要求n階導(dǎo)數(shù)，先求n-1階導(dǎo)數(shù)；求導(dǎo)法同一階導(dǎo)數(shù)。例十三、求二階導(dǎo)數(shù)：解：求一階導(dǎo)數(shù)再求二階導(dǎo)數(shù)例十四、求二階導(dǎo)數(shù)：解：上頁主頁xexy 22 xexxy 22)22( xexxy 22)482( 0sin21 yyx .)cos2( sin4)cos2( sin2 cos2 20cos211 32 yyyyyy yyyyy