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1、2009.2.6北京工商大學7-5-1 7.5 平 面 及 其 方 程平 面 的 各 種 方 程 形 式兩 平 面 的 夾 角點 到 平 面 的 距 離小 結(jié) 思 考 題 作 業(yè) 2009.2.6北京工商大學7-5-2 一、平面的點法式方程1. 點法式方程x yz O n如果一非零向量垂直于法線向量的特征垂直于平面內(nèi)的任一向量.設有法向量)C,B,A(n ),z,y,x(M 0000任取平面上一點 ，),( zyxM 0M M一平面,稱此向量為該平面的法線向量(法向量). 平 面 及 其 方 程及平面上的定點定義 2009.2.6北京工商大學7-5-3 x yz OMM0平面的點法式方程平面稱

2、為方 CBAn ,法向量0)()()( 000 zzCyyBxxA n0M M平面上的點都滿足上方程,不在平面上的點都不滿足上方程,上述方程稱為平面的方程,平 面 及 其 方 程 ),( 000 zzyyxx 于是,則有程的圖形. nMM 0則必有 00 nMM (1) 2009.2.6北京工商大學7-5-4 2. 三點式方程平 面 及 其 方 程解 12121221 zz,yy,xxPP 取 131313 121212 zzyyxx zzyyxx kji n)z,y,x(P),z,y,x(P),z,y,x(P 333322221111設一平面過 ，n 3121 PPPP 1P 2P 3P求此

3、平面方程. 13131331 zz,yy,xxPP 2009.2.6北京工商大學7-5-5 顯然，nPP 1由點法式得 0131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzzyxx平面的三點式方程(2)平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-6 例平 面 及 其 方 程 3P解 21PP取n平面方程為,0)1(4)1()1( zyx化簡得.024 zyx ),4,1,1( 0)()()( 000 zzCyyBxxA 122 011 kji n求過P1(1,1,1), P2(2,0,1), P3(-1,-1,0)的平面方程.)0,1,1( )1,2,2( 3

4、1PP3121 PPPP 1P 2P 4,1,1, CBA法一 2009.2.6北京工商大學7-5-7 求過P1(1,1,1), P2(2,0,1), P3(-1,-1,0)的平面方程解所求方程的三點式為0122 011 111 zyx平面方程為.024 zyx 1P 2P 3P ),( zyxP法二平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-8x軸上截距y軸上截距z軸上截距 3. 截距式方程平 面 及 其 方 程解由三點式得，),b,(B),a(A 0000一平面與坐標軸的交點分別為求此平面方程.),c,(C 00所求平面方程為00 0 ca ba zyax整理得 1 czb

5、yax平面的截距式方程),0,0,0( cba其中 當平面不與任何坐標面平行,且不過原點時,才有截距式方程.(3) 2009.2.6北京工商大學7-5-9 平面的點法式方程0)()()( 000 zzCyyBxxA CzByAx D0 DCzByAx 平面的一般式方程法向量 CBAn ,二、平面的一般方程 任意一個形如上式0)( 000 CzByAx的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平 面 及 其 方 程 (4) 2009.2.6北京工商大學7-5-10 平面一般方程的幾種情況,0)1( D平面通過坐標原點；,0)2( A ,0D平面通過 軸；x平面平行于 軸；x,0)3( BA平面平行

6、于xOy 坐標面；類似地可討論0,0 CBCA 0,0 CB類似地可討論y軸軸zxOz面 yOz面(由柱面可知)0 DCzByAx 平面的一般方程平 面 及 其 方 程 ,0D 2009.2.6北京工商大學7-5-11 例 設平面過點M0(-3,1,-2)及x軸,求此平面方程.平 面 及 其 方 程 3P0)()()( 000 zzCyyBxxA用平面的點法式方程. 由點法式方程得平面方程: 求法向量解法一kjkji 2213 001 0)2(1)1(2 zy即02 zy 0OMin x yz O n 0M 2009.2.6北京工商大學7-5-12 用待定常數(shù)法. 即 法二0 DCzByAx設

7、平面方程是0CzBy從而平面方程是02 CB 即從而平面方程是.2CB .02 CzCy.02 zy得平 面 及 其 方 程點(0,0,0)及(1,0,0)在平面上, ,0D A 2009.2.6北京工商大學7-5-13 易知平面上三點 O(0,0,0), P(1,0,0), 設M(x,y,z)為平面上的任意一點, 可得其方程 想一想 還有別的方法嗎?答 有! 法三)2,1,3(0 M平 面 及 其 方 程根據(jù)三向量 OM, 共面的充要條件,有 OM0, OP 0001 213 zyx 02 zy0 0 OPOMOM即 2009.2.6北京工商大學7-5-14 求平面方程常用兩種方法: 利用條

8、件定出其中的待定的常數(shù), 此方法也稱待定常數(shù)法. 主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出平面的一個法向量.(1) 用平面的點法式方程.(2) 用平面的一般方程.平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-151 2定 義 (取銳角)兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平 面 及 其 方 程兩平面的夾 角 . 0: 11111 DzCyBxA 0: 22222 DzCyBxA1n2n ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 根據(jù)向量夾角余弦公式有|cos 21 21 nn nn 兩平面夾角余弦公式222222212121 212121 | CBACBA CCBBAA

9、 取銳角 2009.2.6北京工商大學7-5-16 兩平面位置特征 21)1( 0212121 CCBBAA21)2( / 212121 CCBBAA 兩平面垂直、平行的充要條件平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-17 例 研究以下各組里兩平面的位置關系: 013,012)1( zyzyx解 cos 601cos 兩平面相交,.601arccos夾角平 面 及 其 方 程 ,31)1(2)1( |311201| 22222 ),(n 1211 ),(n 3102 2009.2.6北京工商大學7-5-18 ,)0,1,1( 1M兩平面平行但不重合.,212142 ,)0,

10、1,1( 1M兩平面平行兩平面重合 02224,012)3( zyxzyx解 01224,012)2( zyxzyx解 ),1,1,2(1 n )2,2,4(2 n,212142 兩平面平行2)0,1,1( M 2)0,1,1( M平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-19 例解 ),()0,(),0,0,0( 21 aaaMaaMO和平面通過點 ).0( axOy面的交角求該平面與所求方程的三點式為00 aaa aa zyx21, MMO故過三點的平面方程為02 zyx的方程為平面xOy .0z設兩平面的交角為,則cos 222222212121 212121 |cos

11、 CBACBA CCBBAA 36.36arccos平 面 及 其 方 程 222222 100)2(11 |1)2(0101| 2009.2.6北京工商大學7-5-20 例設平面為,0 DCzByAx,0D 0236 CBA )2,1,4( n 024 CBA ,32CBA .0322 zyx所求平面方程為解 一平 面 及 其 方 程 與平面 824 zyx 垂直且過原點及點 )2,3,6( 的平面方程為( ). nx yzO ),( CBA 2009.2.6北京工商大學7-5-21 平 面 及 其 方 程 與平面 824 zyx 垂直且過原點及點 )2,3,6( 的平面方程為( ). 解

12、二 )2,1,4()2,3,6( n )6,4,4( )3,2,2( 平面的點法式方程0322 zyx n x yzO 2009.2.6北京工商大學7-5-22 設所求平面為1 czbyax1V 12131 abc由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件解 平 面 及 其 方 程所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.0566 zyx而與三個坐標面cba 61161 t x yz Oa bc611161 cba 例 求平行于平面 2009.2.6北京工商大學7-5-23 ,61ta ,1tb tc 61ttt 61161611 代入體積式61 t 1,6,1 cba .666 zyx所求平

13、面方程為12131 abc平 面 及 其 方 程 cba 61161 t所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面而與三個坐標面 2009.2.6北京工商大學7-5-24 例 求過點(1,1,1)且與平面 和平面),1,1,1(1 n )12,2,3(2 n取法向量21 nnn )5,15,10( 0)1(1)1(3)1(2 zyx化簡得.0632 zyx平面方程為解 )1,3,2( .平 面 及 其 方 程 7 zyx051223 zyx都垂直的平面方程. 2009.2.6北京工商大學7-5-25 四、點到平面的距離平 面 及 其 方 程點到平面的垂直距離 設P0

14、(x0, y0, z0)是平面:Ax+By+Cz+D=0外一點,求P0到平面的距離. ,),( 1111 zyxP n 0P),( CBAn 1P d并作向量.01PPd |cos| 01 PP ),( 01之夾角的法向量與是nPP 即d | 01 PP |n |cos| |n | 01 n nPP 由于nPP 01 ),( 111000 CzByAxCzByAx D1PP0到平面的距離 2009.2.6北京工商大學7-5-26 平 面 及 其 方 程 222 000 | CBA DCzByAxd 0:),( 0000 DCzByAxzyxP 到平面點的距離公式為313 填空的到平面點0102

15、2)1,1,1(0 zyxM ).(距離為解 222 )1(22 |101)1(1212| d 313 2009.2.6北京工商大學7-5-27 解例平行且一平面與平面075420 zyx,6個單位相距求這平面方程.設所求平面為05420 zyx D在平面075420 zyx上任取一點).0,47,0( 222 000 | CBA DCzByAxd ,62516400 |7| D .126|7| D133D 119D或故所求平面為01335420 zyx或01195420 zyx平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-28 1 . 兩平行平面 與 間距離為( ),其 的方程

16、分別為:(A) 1 (B) 21(C) 2 (D) 21 A 選擇題,0218419 zyx 0428419 zyx21,1 2提示,21 ).821,0,0(1 上任取一點可在平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-29 2.已知平面通過點(k, k, 0)與(2k, 2k, 0),其中k0,且垂直于xOy平面,則該平面的一般式方程Ax + By + Cz + D = 0的系數(shù)必滿足( ).a;0,)( DCBAa ;0,)( DACBb;0,)( DBACc .0,)( DBACd解 答代入與將)0,2,2()0,( kkkk ,0中 DCzByAx分別得0 DBkAk

17、022 DBkAk ,0 D.0C ,BA 平 面 及 其 方 程 2009.2.6北京工商大學7-5-30 (熟記平面的幾種特殊位置兩平面的夾角點到平面的距離公式平面的點法式方程(兩平面垂直、平行的充要條件)四、小結(jié)平 面 及 其 方 程 (關鍵確定平面的法向量)平面的一般方程的方程)平面的截距式方程(研究幾何圖形) 2009.2.6北京工商大學7-5-31 思 考 題 1平 面 及 其 方 程如何確定平面的法向量?解 答確定平面的法向量是建立平面方程的關鍵所在,平面法向量的確定要根據(jù)不同的條件采用不同方法(1)如果已知點M0(x0, y0, z0)在平面 上的垂足為M1(x1, y1, z1),則);,( 010101 zzyyxxn (2)如果平面 與已知平面0 DCzByAx平行,則);,( CBAn (3)如果平面 過三點 A, B, C,則.ACABn 2009.2.6北京工商大學7-5-32 思 考 題 2 (是 非 題 )平 面 及 其 方 程非平面0 czbyax在x、y、z 軸的截距分別是a 、b、c.因為這是一過原點的平面. 2009.2.6北京工商大學7-5-33 作 業(yè)習 題 7-5(329頁 ) 1. 5. 8. 9.平 面 及 其 方 程