1數(shù) 列 的 概 念收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì)小 結(jié) 思 考 題 作 業(yè) 數(shù) 列 極 限 的 概 念 概 念 的 引 入第 一 節(jié) 數(shù) 列 的 極 限 第 三 章 極 限 與 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 2 一 、 概 念 的 引 入 極 限 概 念 是 從 常 量 到 變 量 ,從 有 限 到 無 限 , 即 從 初 等 數(shù) 學(xué) 過 渡 到 高 等 數(shù) 學(xué) 的 關(guān) 鍵 . 極 限 的 思 想 源 遠(yuǎn) 流 長(zhǎng) .莊 子 (約 公 元 前 355275年 )在 天 下 篇 “一 尺 之 棰 ,日 取 其 半 ,萬 世 不 竭” .意 思 是 :一 尺 長(zhǎng) 的 棍 子 ,第 一 天 取 其 一 半 , 第 二天 取 其 剩 下 的 一 半 ,以 后 每 天 都 取 其 剩 下 的 一半 ,這 樣 永 遠(yuǎn) 也 取 不 完 .數(shù) 列 的 極 限 中 寫 道 : 3 劉 徽 (三 世 紀(jì) )的 “ 割 圓 術(shù) ” 中 說 :意 思 是 :設(shè) 給 定 半 徑 為 1尺 的 圓 ,從 圓 內(nèi) 接 正 6邊形 開 始 ,每 次 把 邊 數(shù) 加 倍 ,屢 次 用 勾 股 定 理 .求 出正 12邊 形 、 等 等 正 多 邊 形 的 邊 長(zhǎng) ,正 24邊 形 .邊 數(shù) 越 多 , 圓 內(nèi) 接 正 多 邊 形 越 與 圓 接 近 ,最 后 與圓 周 重 合 , 則 正 多 邊 形 周 長(zhǎng) 與 圓 周 長(zhǎng) 就 沒 有 誤差 了 .數(shù) 列 的 極 限 “割 之 彌 細(xì) ,所 失 彌 少 .割 之 又 割 ,以 至 不 可割 ,則 與 圓 周 合 體 ,而 無 所 失 矣 .” 4 正 六 邊 形 的 面 積 1A正 十 二 邊 形 的 面 積 2A正 形 的 面 積126 n nA , 321 nAAAA S R數(shù) 列 的 極 限 5如 ;,2,8,4,2 n ;,21,81,41,21 n 2 n 21 n 定 義 按 照 自 然 數(shù) 的 順 序 排 列 的 一 列 數(shù) , 21 nxxx簡(jiǎn) 記 為 的稱 為 數(shù) 列其 中 nn xx 通 項(xiàng) (generalterm),或 者 一 般 項(xiàng) ., nx數(shù) 列 的 極 限二 、 數(shù) 列 (sequence of number) 的 概 念 6可 看 作 一 動(dòng) 點(diǎn) 在 數(shù) 軸 上 依 次 取 ., 21 nxxx1x 2x3x 4x nx ;,)1(,1,1,1 1 n )1( 1 n;,)1(,34,21,2 1 nn n )1( 1nn n數(shù) 列 的 (兩 種 )幾 何 表 示 法 :數(shù) 列 可 看 作 自 變 量 為 正 整 數(shù) n的 函 數(shù) : )(nfxn 整 標(biāo) 函 數(shù) 或 下 標(biāo) 函 數(shù)(1)數(shù) 列 對(duì) 應(yīng) 著 數(shù) 軸 上 一 個(gè) 點(diǎn) 列 . 數(shù) 列 的 極 限 7 (2) 在 平 面 上 畫 出 自 變 量 坐 標(biāo) 軸 和 因 變 量 坐 標(biāo) 軸 ,注 不 可 將 這 串 點(diǎn) 連 成 曲 線 .o nxn 1 2 3 4則 數(shù) 列 的 幾 何 意 義 是數(shù) 列 的 極 限 平 面 上 一 串 分 離 的 點(diǎn) . 8 三 、 數(shù) 列 極 限 的 概 念 .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢(shì)當(dāng)研 究 數(shù) 列 nnn即 ,511,411,311,211,11 56,43,34,21,2問 題 當(dāng) 無 限 增 大 時(shí) , 是 否 無 限 接 近 于 某 一確 定 的 數(shù) 值 ? nxn 如 果 是 ,當(dāng) n無 限 增 大 時(shí) , nx 無 限 接 近 于 1. 數(shù) 列 的 極 限 如 何 確 定 ? 9如 何 用 數(shù) 學(xué) 語 言 刻 劃 它 .1nx 1)1)1(1( 1 nn1nx 可 以 要 多 么 小 就 多 么 小 ,則 要 看 1nx “無 限 接 近 ” 意 味 著 什 么 ?| .)1(1 1 時(shí) 的 變 化 趨 勢(shì)當(dāng)研 究 數(shù) 列 nnn n1 只 要 n充 分 大 ,小 到 什 么 要 求 .數(shù) 列 的 極 限 當(dāng) n無 限 增 大 時(shí) , 無 限 接 近 于 1.nx 10 ,1001給 定 ,10011 n由 ,100時(shí)只 要 n ,10011 nx有,10001給 定 ,1000時(shí)只 要 n ,1000011 nx有,100001給 定 ,10000時(shí)只 要 n ,100011 nx有,0給 定 ,)1( 時(shí)只 要 Nn .1 成 立有 nxnxn 1|1| 數(shù) 列 的 極 限 11 定 義 如 果 對(duì) 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) (不 論 它 多 么 小 ),總 存 在 正 整 數(shù) N, 使 得 對(duì) 于 時(shí) 的 一 切Nn ,nx不 等 式 axn成 立 . 收 斂 于 a (converge to a) . nx或 稱 數(shù) 列 記 為 ,lim axnn 或 ).( naxn那 末 就 稱 常 數(shù) a是 數(shù) 列 nx 的 極 限 (limit),如 果 數(shù) 列 沒 有 極 限 , 就 說 數(shù) 列 發(fā) 散 (diverge). 數(shù) 列 的 極 限 12 ;的 無 限 接 近與刻 劃 了不 等 式 axax nn ,有 關(guān)與 給 定 的 N 注xn有 沒 有 極 限 , 一 般 地 說 , ;, 將 越 大越 小 N,是 任 意 給 定 的正 數(shù) 但 是 一 旦 給 出 之 后 ,它 就 是 確 定 了 ;主 要 看 “ 后 面 ” 的 無 窮 多 項(xiàng) . .axn有 ,時(shí)當(dāng) Nn,0 ,0NN 定 義 采 用 邏 輯 符 號(hào) 將 axnn lim 的 定 義 可 縮 寫 為 : 數(shù) 列 的 極 限(1)(2)(3)(4) “前 面 ” 的 有 限 項(xiàng) 不 起 作 用 , 13 x1x2x 2Nx1Nx 3x數(shù) 列 極 限 的 幾 何 意 義 2a aa,時(shí)當(dāng) Nn 數(shù) 列 極 限 的 定 義 通 常 是 用 來 進(jìn) 行 推 理注 需 要 預(yù) 先 知 道 極 限 值 是 多 少 .和 證 明 極 限 ,而 不 是 用 來 求 極 限 , 因 為 這 里.)( 落 在 其 外個(gè)至 多 只 有只 有 有 限 個(gè) N數(shù) 列 的 極 限 axa n )( Nn ),( aUxn axn即 ,),( 內(nèi)都 落 在所 有 的 點(diǎn) aaxn )( Nn 14 無 窮 小 量 Def 3.3 極 限 為 0的 數(shù) 列 稱 為 無 窮 小量 Prop 3.1 以 下 三 個(gè) 命 題 等 價(jià) ：（ 1）（ 2） 為 無 窮 小 量 ；（ 3） 存 在 無 窮 小 量 使;lim ax nn axn , n .nn ax 15 例 .1)1(lim 1 nn nn證 明 1)1( 1 nn n n1,0 ,1 nx要 ,1 n只 要 1n或所 以 , ,1N取 ,時(shí)則 當(dāng) Nn 1)1( 1nn n有 .1)1(lim 1 nn nn即證 1nx 雖 然 是 可 以 任 意 小 的 正 數(shù) ,但 使 用 定 義 證 題時(shí) ,對(duì) 于 給 定 的 總 暫 時(shí) 認(rèn) 為 它 是 固 定 的 ,按 照 這個(gè) 找 出 使 不 等 式 成 立 的 N. , 解 不 等 式 數(shù) 列 的 極 限 16 例 證 明 數(shù) 列 以 0為極 限 . ）、 321(2cos1 nnnxn ,0證 要 使 02cos10 nnxn由 于 02cos1 nn ,1 n只 要 ,1n或 ,1N取 ,時(shí)則 當(dāng) Nn有 .0 2cos1 nn 02cos1lim nnn即 為 了 簡(jiǎn) 化 解 不 等 式 的 運(yùn) 算 ,常常 把 作 適 當(dāng) 地 放 大 .axn .2cos1 nn n1 數(shù) 列 的 極 限 用 定 義 證 數(shù) 列 極 限 存 在 時(shí) ,關(guān) 鍵 是 任 意 給定 尋 找 N,但 不 必 要 求 最 小 的 N.,0 17 例 .lim),( CxCCx nnn 證 明為 常 數(shù)設(shè)證 Cxn CC ,成 立,0任 給所 以 , 0 ,n對(duì) 于 一 切 自 然 數(shù).lim Cxnn 說 明 常 數(shù) 列 的 極 限 等 于 同 一 常 數(shù) .數(shù) 列 的 極 限 18 例 .10,0lim qqnn 其 中證 明證 0 ,0 nn qx ,lnln qn,lnln qN 取 ,時(shí)則 當(dāng) Nn,0 nq有 .0lim nn q,lnlnqn 為 了 使 只 需 使 ),10( 不 妨 設(shè)數(shù) 列 的 極 限 19 1. 有 界 性如 , 1 nnx n數(shù) 列 nnx 2數(shù) 列有 界 ; 無 界 .定 義 ,nx對(duì) 數(shù) 列 若 存 在 正 數(shù) M,| 成 立Mxn 數(shù) n,恒 有稱 為 無 界 . 則 稱 數(shù) 列 有 界 ;nx 數(shù) 軸 上 對(duì) 應(yīng) 于 有 界 數(shù) 列 的 點(diǎn) 都 落 在nx, MM閉 區(qū) 間 上 . 否 則 ,使 得 一 切 自 然 數(shù) 列 的 極 限四 、 收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì) 20 定 理 1證 ,lim axnn 設(shè) 由 定 義 , ,1取 ,1, axNnN n時(shí) 恒 有使 得 當(dāng)則 .11 axa n即 有 ,max ,n則 對(duì) 一 切 自 然 數(shù) .有 界故 nx有 界 性 是 數(shù) 列 收 斂 的 必 要 條 件 , 推 論注 收 斂 的 數(shù) 列 必 定 有 界 .數(shù) 列 的 極 限 無 界 數(shù) 列 必 定 發(fā) 散 . 不 是 充 分 條 件 .,1a 1aM記 ,|,| 1x |,| 2x |,| Nx ,Mxn 皆 有 21 2. 唯 一 性定 理 2證 ,lim axnn 設(shè) 由 定 義 , ;1 axNn n時(shí) 恒 有當(dāng) ;2 bxNn n時(shí) 恒 有當(dāng) ,max 21 NNN 取時(shí) 有則 當(dāng) Nn | ba axbx nn .2 時(shí)僅 當(dāng) ba 故 收 斂 數(shù) 列 極 限 唯 一 . 每 個(gè) 收 斂 的 數(shù) 列 只 有 一 個(gè) 極 限 . )()( axbx nn ,lim bxnn 又 數(shù) 列 的 極 限 才 能 成 立 .,0 21 NN 使 得 22 例 .)1( 1是 發(fā) 散 的數(shù) 列證 明 nnx證 ,21取 ,0N則 ,時(shí)即 當(dāng) Nn 區(qū) 間 長(zhǎng) 度 為 1.,1,1 兩 個(gè) 數(shù)無 休 止 地 反 復(fù) 取而 nx不 可 能 同 時(shí) 位 于 長(zhǎng) 度 為 1的 區(qū) 間 內(nèi) ., 是 有 界 的nx數(shù) 列 的 極 限 21a 21aa,時(shí)當(dāng) Nn ,21成 立有 axn 反 證 法假 設(shè) 數(shù) 列 nx 收 斂 ， 則 有 唯 一 極 限 a 存 在 .),21,21( aaxn但 卻 發(fā) 散 . 23 數(shù) 列 的 極 限3. 保 號(hào) 性定 理 3 如 果 ,lim axnn 且 0a ,0N則,Nn當(dāng) 0nx有 ),0( a).0( nx證 0a 由 定 義 , ,02 a ,時(shí)當(dāng) Nn對(duì) ,0N,2aaxn 有 從 而 nx 2aa 2a .0推 論 如 果 數(shù) 列 nx 從 某 項(xiàng) 起 有 0nx ),0( nx且 ,lim axnn 那 么 0a ).0( a 用 反 證 法 24 定 理 3.3 若 則 存 在 當(dāng) 時(shí) ， 有 Corollary 3.2 設(shè)i） 若 則 存 在 當(dāng) 時(shí) ， 有ii） 若 則 存 在 當(dāng) 時(shí) ， 有,0lim axnn ,NNn .02 ax n ,lim axnn ,0a ,N Nn ;02 ax n,0a Nn .02 | axn,N 25 極 限 與 四 則 運(yùn) 算 及 與 不 等 式 的 關(guān) 系 Thm 3.1 設(shè) 則,lim,lim byax nnnn ;)(lim) bayxi nnn ;)(lim) bayxii nnn .)0(lim) bbayxiii nnn 26 Thm 3.4 若 是 無 窮 小 量 是 有界 數(shù) 列 ， 則 是 無 窮 小 量 . Corollary 3.3 若 為 常 數(shù) ，則 Thm 3.5（ 保 序 性 ） 若 且 則 存 在 當(dāng) 時(shí) ， 有cbynn ,lim .)(lim bcyc nn nx , ny nn yx ,lim,lim byax nnnn ,ba ,N Nn .nn yx 27 Thm 3.6 若 對(duì) 任 意 正 整 數(shù) 有 且 則 Remark（ 1） 因 為 數(shù) 列 的 前 有 限 項(xiàng) 不 影 響 數(shù) 列 的極 限 ， 故 上 不 等 式 的 條 件 可 減 弱 為 ：“ 若 當(dāng) 時(shí) ， ” ；（ 2） 若 條 件 加 強(qiáng) 為 結(jié) 論 是 否 可 以加 強(qiáng) 為 ,n ,nn yx ,lim,lim byax nnnn .baNn,0N nn yx ,nn yx ?ba 28 Thm 3.7(唯 一 性 ) 若 數(shù) 列 有 極 限 存 在 ，則 極 限 是 唯 一 的 Thm 3.8(夾 迫 性 ) 如 果 對(duì) 任 意 正 整 數(shù)（ 或 減 弱 為 “ 若 當(dāng) 時(shí) ” ） ， 有 且 則 存 在 且 等 于 Thm 3.9 單 調(diào) 有 界 數(shù) 列 必 有 極 限 nNn,0 N, nnn zyx ,limlim azx nnnn nn ylim .a 29 無 窮 大 量 Def 3.4 設(shè) 是 一 數(shù) 列 若 對(duì) 于 任意 給 定 的 存 在 正 整 數(shù) 當(dāng)時(shí) ， 有 則 稱 是 無 窮 大 量 ，記 為 或 Def 3.4 設(shè) 是 一 數(shù) 列 若 對(duì) 于 任意 給 定 的 存 在 正 整 數(shù) 當(dāng)時(shí) ， 有 則 稱 是 正 無 窮 大 量 ，記 為 或 類 似 的 請(qǐng) 給 出 負(fù) 無 窮 大 量 的 定 義 . nx,0G ,N Nn ,| Gxn nx nn xlim .)( nxn nx,0G ,N Nn ,Gxn nx nn xlim .)( nxn 30 在 同 一 過 程 中 ,無 窮 大 的 倒 數(shù) 為 無 窮 小 ;證 )(lim0 xfxx設(shè) ,0 .)(1 xf即.)(1,0 為 無 窮 小時(shí)當(dāng) xfxx 定 理 4 恒 不 為 零 的 無 窮 小 的 倒 數(shù) 為 無 窮 大 .,0,0 0 時(shí) xx ,1)( Mxf有無 窮 小 與 無 窮 大三 、 無 窮 小 與 無 窮 大 的 關(guān) 系,1M此 時(shí) 對(duì) 使 得 當(dāng) 31 ,0)(lim, 0 xfxx設(shè)反 之 ,0 M .)(1 Mxf 從 而 .)(1,0 為 無 窮 大時(shí)當(dāng) xfxx ,0)( xf由 于關(guān) 于 無 窮 大 的 討 論 , .0)( xf且 ,0,0 0 時(shí) xx ,1)( Mxf 有意 義 無 窮 小 的 討 論 . 都 可 歸 結(jié) 為 關(guān) 于 在 同 一 過 程 中 ,無 窮 大 的 倒 數(shù) 為 無 窮 小 ;定 理 4 恒 不 為 零 的 無 窮 小 的 倒 數(shù) 為 無 窮 大 .無 窮 小 與 無 窮 大 ,1M此 時(shí) 對(duì) 使 得 當(dāng) 32 兩 個(gè) 正 (負(fù) )無 窮 大 之 和 仍 為 正 (負(fù) )無 窮 大 ; 有 界 變 量 與 無 窮 大 的 和 、 差 仍 為 無 窮 大 ; 有 非 零 極 限 的 變 量 (或 無 窮 大 )與 無 窮 大 之 積 仍 為 無 窮 大 ; 用 無 零 值 有 界 變 量 去 除 無 窮 大 仍 為 無 窮大 .容 易 證 明例 )1(lim xxx 求解 )1(lim xxx 無 窮 小 與 無 窮 大 33 (1) 無 窮 大 是 變 量 ,不 能 與 很 大 的 數(shù) 混 淆 ;無 窮 大 一 定 是 無 界 函 數(shù) , .)(lim)2( 0 認(rèn) 為 極 限 存 在切 勿 將 xfxx注 (3) 無 窮 大 與 無 界 函 數(shù) 的 區(qū) 別 :它 們 是 兩 個(gè) 不 同 的 概 念 .未 必 是 某 個(gè) 過 程 的 無 窮 大 .但 是 無 界 函 數(shù)無 窮 小 與 無 窮 大 34 如 xxy sin 是 無 界 函 數(shù) , 但 不 是 無 窮 大 .因 為 取 ,22 時(shí) nxx n 22)22( nnf 而 取 ,2 時(shí)nxx n .0)2( nf無 窮 小 與 無 窮 大 )( n當(dāng)所 以 ,時(shí)x f (x)不 是 無 窮 大 ! 35 11lim1 xx證 明 11 xy1證 ,0 M ,11 Mx 要 使 ,11 Mx 只 要 ,1M取,10 時(shí)當(dāng) x .11 Mx 有 .11lim1 xx,)(lim 0 xfxx如 果 例 |1| x解 出 )( 0 xfyxx 是 函 數(shù)則 直 線的 圖 形 的 鉛 直 漸 近 線 (vertical asymptote). 無 窮 小 與 無 窮 大結(jié)論 xyO 1 36 無 窮 小 與 無 窮 大思 考 題 ).(1sin1,0 2 是時(shí)當(dāng) xxx A. 無 窮 小 量 B.無 窮 大 量C. 有 界 量 非 無 窮 小 量 D.無 界 但 非 無 窮 大 量D 37 在 數(shù) 列 中 依 次 任 意 抽 出 無 窮 多 項(xiàng) : nx , 21 knnn xxx 所 構(gòu) 成 的 新 數(shù) 列)( 21 knnn其 下 標(biāo) knx這 里 是 原 數(shù) 列 中 的 第 項(xiàng) ,kn 在 子 數(shù) 列 中 是第 k項(xiàng) , k 4. 收 斂 數(shù) 列 與 其 子 數(shù) 列 (subsequence)間 的 關(guān) 系 knx 的 nx 子 數(shù) 列 .叫 做 數(shù) 列數(shù) 列 的 極 限 kn 38*,ax kn 證 knx 是 數(shù) 列 nx 的 任 一 子 數(shù) 列 .若 ,lim axnn 則 ,0 ,N ,Nn當(dāng)axn 成 立 .現(xiàn) 取 正 整 數(shù) K,使 ,N 于 是 當(dāng) k 時(shí) , 有kn N從 而 有 由 此 證 明 .lim ax knk NNx 定 理 4設(shè) 數(shù) 列數(shù) 列 的 極 限正 整 數(shù) Kn KKn Knx Kn收 斂 數(shù) 列 的 任 一 子 數(shù) 列 收 斂 于 同 一 極 限 . 39 由 此 定 理 可 知 ,但 若 已 知 一 個(gè) 子 數(shù) 列 發(fā) 散 , 或 有 兩 個(gè) 子 數(shù) 列斂 于 a . nx 12 kx 2kx收 斂 于 不 同 的 極 限 值 ,可 斷 定 原 數(shù) 列 是 發(fā) 散 的 .數(shù) 列 的 極 限一 般 不 能 斷 定 原 數(shù) 列 的 收 斂 性 ;還 可 以 證 明 :數(shù) 列 的 奇 子 數(shù) 列 和 偶 子 數(shù) 列均 收 斂 于 同 一 常 數(shù) a 時(shí) ,則 數(shù) 列 nx 也 收僅 從 某 一 個(gè) 子 數(shù) 列 的 收 斂(證 明 留 給 做 作 業(yè) ) 40 例 試 證 數(shù) 列 不 收 斂 . ncos證 因 為 的 奇 子 數(shù) 列 ncos 不 收 斂 .收 斂 于 ,1,1,1 而 偶 子 數(shù) 列 ,1,1,1 ncos所 以 數(shù) 列數(shù) 列 的 極 限 收 斂 于,1 ,1 41 一 些 常 用 極 限1lim)3( nn n en nn 11lim)4( 1|,0lim)2( qq nn 0,01lim)1( pn pn 42 lk lk lkbabnbnb anana lll kkkn ,0 ,lim)5( 00110 110 其 中 .0,0 00 ba（ 6） 設(shè) 有,lim aa nn ;lim 21 an aaa nn （ i）（ ii） 若 則 .lim 21 aaaan nn ,0na 43 數(shù) 列數(shù) 列 極 限收 斂 數(shù) 列 的 性 質(zhì)收 斂 數(shù) 列 與 其 子 數(shù) 列 間 的 關(guān) 系 .五 、 小 結(jié)數(shù) 列 的 極 限 研 究 其 變 化 規(guī) 律 ;極 限 思 想 , 精 確 定 義 , 幾 何 意 義 ;有 界 性 , 唯 一 性 ,保 號(hào) 性 , 44 數(shù) 列 極 限的 定 義 有 界 性數(shù) 列 保 號(hào) 性極 限 保 序 性的 性 質(zhì) 不 等 式 性唯 一 性夾 迫 性實(shí) 數(shù) 連 續(xù)性 定 理 單 調(diào) 有 界 原 理 en n n 11lim 45 數(shù) 列 的 極 限思 考 題 31axn ,時(shí)當(dāng) Nn,0 ,0N“ ” 恒 有是 數(shù) 列 nx 收 斂 于 a的 ( ). A. 充 分 但 非 必 要 條 件 B. 必 要 但 非 充 分 條 件C. 充 分 必 要 條 件 D. 既 非 充 分 也 非 必 要 條 件(1) C (2) ).(lim,lim 2 nnnn aKa 則若KA. KB 2. 2. KC D. 不 確 定A 46 作 業(yè)習(xí) 題 1-2 (頁 ) 2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6. 數(shù) 列 的 極 限