1函 數(shù) 模 型 的 應(yīng) 用 實(shí) 例（ 二 ） 樂 安 一 中 高 一 數(shù) 學(xué) 備 課 組 北 師 大 版 高 中 數(shù) 學(xué) 必 修1第 四 章 函 數(shù) 應(yīng) 用 2 一 、 教 學(xué) 目 標(biāo) ：(1)讓 大 家 進(jìn) 一 步 感 受 函 數(shù) 與 現(xiàn) 實(shí) 世 界 的 聯(lián) 系 ，強(qiáng) 化 大 家 用 數(shù) 學(xué) 解 決 實(shí) 際 問 題 的 意 識 。(2)讓 大 家 學(xué) 會 用 函 數(shù) 去 刻 畫 實(shí) 際 問 題 ， 通 過研 究 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 解 決 實(shí) 際 問 題 。(3)讓 大 家 了 解 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 去 解 決 實(shí) 際 問 題的 過 程 。二 、 教 學(xué) 重 難 點(diǎn) ： 建 立 恰 當(dāng) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 。三 、 教 學(xué) 方 法 ： 講 練 結(jié) 合 ， 探 究 交 流四 、 教 學(xué) 過 程 ： 3 解 答 應(yīng) 用 題 的 基 本 步 驟 ：（ 1） 審 題 ， 恰 當(dāng) 設(shè) 出 未 知（ 2） 抽 象 概 括 數(shù) 量 關(guān) 系 ， 建 立 數(shù) 學(xué)模 型 （ 3） 分 析 ， 解 決 數(shù) 學(xué) 問 題（ 4） 數(shù) 學(xué) 問 題 的 解 向 實(shí) 際 問 題 還 原 。 4 數(shù) 學(xué) 建 模 過 程 ：實(shí) 際 問 題 抽 象 概 括 數(shù) 學(xué) 模 型推理演算數(shù) 學(xué) 模 型 的 解還 原 說 明實(shí) 際 問 題 的 解 5 常 見 的 函 數(shù) 模 型 有 ： 一 次 函 數(shù) 模 型 : 二 次 函 數(shù) 模 型 : 正 比 例 函 數(shù) 模 型 : 反 比 例 函 數(shù) 模 型 : 分 段 函 數(shù) 模 型 : 指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 : 對 數(shù) 函 數(shù) 模 型 : 冪 函 數(shù) 模 型 : )0( abaxy )0(2 acbxaxy )0( kkxy )0( kxky )01,0()1( 且akaky x )10,0(log aakbxky a 且 )0,0( xkbkxy n 6 是 一 種 計(jì) 算 方 法 ，即 把 前 一 期 的 利 息 和 本金 加 在 一 起 算 做 本 金 再計(jì) 算 一 下 期 利 息 。 上 一 頁 7 例 1， 按 復(fù) 利 計(jì) 算 利 息 的 一 種 儲 蓄 ,本 金 為 a元 ,每 期 利 率 為 r，設(shè) 本 利 和 為 y,存 期 為 x,寫 出 本利 和 y隨 存 期 x變 化 的 函 數(shù) 式 ，如 果 存 入 本 金 1000元 ， 每 期利 率 2.25%， 試 計(jì) 算 5期 后 的本 利 和 是 多 少 。 下 一 頁 8 分 析 ： 1 此 題 已 知 條 件 中 出現(xiàn) 了 什 么 樣 的 新 概 念 、 新 字母 ？ 它 們 的 含 義 是 什 么 ？ (復(fù) 利 、 利 息 、 本 金 元 、 每 期利 率 、 本 利 和 、 存 期 ） 9 2 在 出 現(xiàn) 的 新 概 念 、 新 字 母 中 彼此 之 間 有 什 么 聯(lián) 系 和 制 約 ？ （ 本 利 和 是 本 金 與 利 息 的 求 和 ， 而利 息 與 本 金 、 存 期 以 及 按 復(fù) 利 計(jì) 算利 息 的 方 法 有 關(guān) ） 3 要 解 決 什 么 問 題 ？（ 寫 出 本 利 和 y隨 存 期 x變 化 的 函 數(shù) 式 ） 10 4。 要 寫 出 本 利 和 y， 關(guān) 鍵 是 什么 ？ （ 關(guān) 鍵 在 于 尋 找 第 x期 后 的 本 利 和與 第 x-1期 后 的 本 利 和 的 關(guān) 系 有 何規(guī) 律 ） 另 ： an=an-1(1+r) 11 在 實(shí) 際 問 題 中 ， 常 遇 到 有 關(guān) 平 均增 長 率 問 題 。 如 果 原 來 產(chǎn) 值 的 基礎(chǔ) 數(shù) 為 N， 平 均 增 長 率 為 P， 則 對于 時 間 X的 總 產(chǎn) 值 y， 滿 足 公 式 ：y=N（ 1+P） X例 如 12 例 2： 一 片 樹 林 中 現(xiàn) 有 木 材30000米 3， 如 果 每 年 平 均 增長 5%， 經(jīng) 過 X年 ， 樹 林 中 有木 材 y米 3， 試 寫 出 X， y的 函數(shù) 關(guān) 系 式 。答 ： y=30000（ 1+5%） x 13 例 3： 某 工 廠 制 定 了 從 1999年 底開 始 到 2005年 底 期 間 的 生 產(chǎn) 總 值持 續(xù) 增 長 的 兩 個 三 年 計(jì) 劃 ， 預(yù) 計(jì)生 產(chǎn) 總 值 年 平 均 增 長 率 為 p ，則 第 二 個 三 年 計(jì) 劃 生 產(chǎn) 總 值 與 第一 個 三 年 計(jì) 劃 生 產(chǎn) 總 值 相 比 ， 增長 率 r為 多 少 ? 14 1 一 種 產(chǎn) 品 的 年 產(chǎn) 量 是 a件 ， 在 今后 m年 內(nèi) ， 計(jì) 劃 使 年 產(chǎn) 量 平 均 每 年比 上 一 年 增 加 p%,那 么 年 產(chǎn) 量 y是經(jīng) 過 年 數(shù) x 的 函 數(shù) 式 是= .2 一 種 產(chǎn) 品 的 成 本 原 來 是 a元 ， 在今 后 m年 內(nèi) ， 計(jì) 劃 使 成 本 平 均 每 年比 上 一 年 降 低 p%,那 么 成 本 y是 經(jīng)過 年 數(shù) x的 函 數(shù) 式 是 = .xpay %)1( xpay %)1( 15 1.商 店 處 理 一 批 文 具 盒 ， 原 來 每 只 售 價12元 ， 降 價 后 每 只 售 價 9元 ， 則 降 價 的百 分 率 是 .2.某 工 廠 總 產(chǎn) 值 月 平 均 增 長 率 為 P，則 年 平 均 增 長 率 是 . 25 （ 1 P)12-1 16 3.某 廠 向 銀 行 申 請 甲 、 乙 兩 種 貸 款共 計(jì) 35萬 元 ， 每 年 需 付 出 利 息 4.4萬 元 ， 若 甲 種 貸 款 年 利 率 為 12%，乙 種 貸 款 年 利 率 為 13%， 這 兩 種 貸款 的 數(shù) 額 各 是 多 少 ？ x+y=35x12%+y13%=4.4 X=15Y=20 17 4.某 企 業(yè) 計(jì) 劃 在 20年 內(nèi) 總 產(chǎn) 值 要翻 兩 番 （ 即 增 長 為 原 來 的 4倍 ） ，設(shè) 20年 內(nèi) 每 年 總 產(chǎn) 值 比 上 一 年平 均 增 長 率 為 x， 求 x.(結(jié) 果 用 根式 表 示 ) a(1+x)20=4a 1210 x 18 5.李 師 傅 購 買 了 5000元 三 年 期 建設(shè) 債 券 ， 到 期 時 可 得 本 利 和 7250元 ， 問 所 購 買 的 債 券 的 年 利 率 是多 少 ？ 5000(1+x)3=7250 145.13 x 19 例 4 某 公 司 一 年 需 要 一 種 計(jì) 算 機(jī) 元件 個 ， 每 天 需 同 樣 多 的 元件 用 于 組 裝 整 機(jī) ， 該 元 件 每 年 分 n次進(jìn) 貨 ， 每 次 購 買 元 件 的 數(shù) 量 均 為 x,購一 次 貨 需 要 手 續(xù) 費(fèi) 元 ， 已 購進(jìn) 而 未 使 用 的 元 件 要 付 庫 存 費(fèi) ， 可以 認(rèn) 為 平 均 庫 存 量 為 x/2件 ， 每 個 元件 的 庫 存 費(fèi) 是 一 年 元 ， 請 核 算 一下 ， 每 年 進(jìn) 貨 幾 次 花 費(fèi) 最 小 ？ 20 分 析 ： ， 每 次 進(jìn) 貨 量 x與 進(jìn) 貨 次 數(shù) n有什 么 關(guān) 系 ：2,進(jìn) 貨 次 數(shù) 為 ：3,全 年 的 手 續(xù) 費(fèi) 是 ：4,一 年 的 總 庫 存 費(fèi) 為 ：5,其 它 費(fèi) 用 ： nx 8000 xn 8000 x8000500 x 212 21 例 5. 在 不 考 慮 空 氣 阻 力 的 條 件 下 ，火 箭 的 最 大 速 度 和 燃 料 的 質(zhì) 量Mkg 火 箭 （ 除 燃 料 外 ） 的 質(zhì) 量 mkg的 函 數(shù) 關(guān) 系 是 . 當(dāng)燃 料 質(zhì) 量 是 火 箭 質(zhì) 量 的 多 少 倍 時 ，火 箭 的 最 大 速 度 可 達(dá) 12 ？)( smv )mMln(v 12000 skm12000=2000ln(1+x)x=e6-1=402 22 練 習(xí) 練 習(xí) 題 ： 某 鄉(xiāng) 鎮(zhèn) 現(xiàn) 有 人 均 一 年 占 有糧 食 360千 克 ， 如 果 該 鄉(xiāng) 鎮(zhèn) 人 口 平 均每 年 增 長 率 1.2%。 糧 食 總 產(chǎn) 量 平 均每 年 增 長 4%。 那 么 X年 后 ， 若 人 均一 年 占 有 y千 克 糧 食 ， 求 出 函 數(shù) y關(guān)于 X的 解 析 式 。 23 課 時 小 結(jié) ：（ 1） 合 理 ， 恰 當(dāng) 假 設(shè)（ 2） 抽 象 概 括 數(shù) 量 關(guān) 系 ， 并 能 用 數(shù) 學(xué) 語 言 表示（ 3） 分 析 ， 解 決 數(shù) 學(xué) 問 題（ 4） 數(shù) 學(xué) 問 題 的 解 向 實(shí) 際 問 題 還 原 。解 應(yīng) 用 題 （ 數(shù) 學(xué) 建 模 ） 的 一 般步 驟 ：教 學(xué) 反 思 ：