34生活中的優(yōu)化問題舉例 1知識與技能了解導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，對給出的實際問題，如使利潤最大、效率最高、用料最省等問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用2過程與方法能利用導(dǎo)數(shù)求出某些特殊問題的最值 本節(jié)重點：利用導(dǎo)數(shù)知識解決實際中的最優(yōu)化問題本節(jié)難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)模型解決最優(yōu)化問題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，因此需先審清題意，細致分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大值或最小值的因變量y與自變量x，把實際問題化為數(shù)學(xué)問題，即列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，根據(jù)實際問題確定yf(x)的定義域 解應(yīng)用題的思路和方法解應(yīng)用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，就是從實際問題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)模型進行分析、研究，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實際問題中去，其思路如下： (1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對結(jié)果進行驗證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定其答案注意：實際應(yīng)用中，準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定函數(shù)定義域是關(guān)鍵 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題 例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？ 解析設(shè)箱高為xcm，則箱底邊長為(602x)cm，則得箱子容積V是x的函數(shù)，V(x)(602x)2x(0 x30)4x3240 x23600 x. V(x)12x2480 x3600，令V(x)0，得x10，或x30(舍去)當(dāng)0 x0，當(dāng)10 x30時，V(x)0.當(dāng)x10時，V(x)取極大值，這個極大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm 3) 答：當(dāng)箱子的高為10cm，底面邊長為40cm時，箱子的體積最大，最大容積為16000cm 3.點評在解決實際應(yīng)用問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只需根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值不必再與端點的函數(shù)值進行比較 已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y4x2在x軸上方的曲線上，求這個矩形面積最大時的長和寬解析如圖所示，設(shè)出AD的長，進而求出AB，表示出面積S，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值設(shè)AD2x(0 x2)，則ABy4x2，則矩形面積為S2x(4x2)(0 x2)，即S8x2x 3， 例2將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截法使正方形與圓面積之和最??？ 點評該題中涉及的量較多，一定要通過建立各個量之間的關(guān)系，通過消元法達到建立函數(shù)關(guān)系式的目的 已知圓柱的表面積為定值S，求當(dāng)圓柱的容積V最大時圓柱的高h的值 例3某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛，本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0 x1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加已知年利潤(每輛車的出廠價每輛車的投入成本)年銷售量 解析(1)由題意得：本年度每輛車的投入成本為10(1x)；出廠價為13(10.7x)，年銷售量為5000(10.4x)因此本年度的年利潤為：p13(10.7x)10(1x)5000(10.4x)(30.9x)5000(10.4x)1800 x21500 x15000(0 x1) (1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？ 例4甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 一、選擇題1三次函數(shù)當(dāng)x1時，有極大值4；當(dāng)x3時，有極小值0，且函數(shù)過原點，則此函數(shù)是()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29x答案B 答案A解析f(x)3x23b3(x2b)，令f(x)0，即x2b0， 答案D 答案C 二、填空題5面積為S的一切矩形中，其周長最小的是_ 故面積為S的一切矩形中，其周長最小的是以為邊長的正方形 6函數(shù)f(x)x2(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_ 三、解答題7用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接成水箱問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？ 令V(x)0得，x0(舍)或x80.當(dāng)x在(0,120)內(nèi)變化時，導(dǎo)數(shù)V(x)的正負如下表：答：水箱底邊長取80cm時，容積最大，最大容積為128000cm 3.x (0,80) 80 (80,120)V(x)0