第七節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列,【知識梳理】 1.必會(huì)知識 教材回扣 填一填 (1)隨機(jī)變量: 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化_的變量,常用字母X,Y,表示. (2)離散型隨機(jī)變量: 所有取值可以_的隨機(jī)變量.,而變化,一一列出,(3)離散型隨機(jī)變量分布列的概念: 若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,xi,xn,X取每一個(gè) 值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,則表 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,有時(shí)也用等式 _表示X的分布列.,P(X=xi)=pi,i=1,2,n,(4)離散型概率分布列的性質(zhì): _; =1. (5)兩點(diǎn)分布列: 若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,即其分布列為 其中p= _稱為成功概率.,pi0(i=1,2,n),1-p,P(X=1),(6)超幾何分布: 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件X=k 發(fā)生的概率為P(X=k)=_,k=0,1,2,m,其中m= _, 且nN,MN,n,M,NN*,如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表形式 則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.,minM,n,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系: 兩點(diǎn)分布實(shí)際上是n=1時(shí)的二項(xiàng)分布. (2)某指定范圍的概率: 某指定范圍的概率等于本范圍內(nèi)所有隨機(jī)變量的概率和.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:列表法,模型法. (2)數(shù)學(xué)思想:分類討論思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是明確的,并且不止一個(gè).( ) (2)離散型隨機(jī)變量的所有取值有時(shí)無法一一列出.( ) (3)離散型隨機(jī)變量的分布列中pi0(i=1,2,n).( ) (4)離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.( ),【解析】(1)正確.根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的條件可知正確. (2)錯(cuò)誤.離散型隨機(jī)變量的所有取值可以一一列出. (3)錯(cuò)誤.離散型隨機(jī)變量的分布列中pi0(i=1,2,3,n). (4)正確.由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知該命題正確. 答案:(1) (2)× (3)× (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-3P45T1改編)拋擲甲、乙兩顆骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和為X,那么X=4表示的事件是( ) A.一顆是3點(diǎn),一顆是1點(diǎn) B.兩顆都是2點(diǎn) C.甲是3點(diǎn),乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn),乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) D.以上答案都不對,【解析】選C.甲是3點(diǎn),乙是1點(diǎn)與甲是1點(diǎn),乙是3點(diǎn)是試驗(yàn)的兩個(gè)不同結(jié)果,故應(yīng)選C.,(2)(選修2-3P49T4改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下: 則p為( ) 【解析】選C.由 得p= .,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·鄭州模擬)已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)= (i=1,2, 3,4),則P(2X4)等于( ),【解析】選B.由分布列的性質(zhì)得 =1,則a=5. 所以,P(2X4)=P(X=3)+P(X=4)=,(2)(2015·太原模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 【解析】選C.P(X7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79.,(3)(2014·江西高考)10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件, 則恰好取到1件次品的概率是 . 【解析】從10件產(chǎn)品中取4件所包含的所有結(jié)果為 種,恰好取到1件 次品所包含的結(jié)果有 種,故所求概率為 計(jì)算得 . 答案:,(4)(2014·長沙模擬)某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù): 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件,當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存量少于2件,則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件,否則不進(jìn)貨,將頻率視為概率. 求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率. 記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù),求X的分布列.,【解析】P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)=P(當(dāng)天商品銷售量為0件)+P(當(dāng)天商 品銷售量為1件)= 由題意知,X的可能取值為2,3. P(X=2)=P(當(dāng)天商品銷售量為1件)= P(X=3)=P(當(dāng)天商品銷售量為0件)+P(當(dāng)天商品銷售量為2件)+P(當(dāng)天 商品銷售量為3件)= 所以X的分布列為,考點(diǎn)1 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) 【典例1】(1)(2015·岳陽模擬)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為: 則q等于( ),(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 求|X-1|的分布列. 【解題提示】(1)可利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得出關(guān)于q的不等式組.(2)可利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求出m的值,再求出|X-1|的分布列.,【規(guī)范解答】(1)選C.由分布列的性質(zhì)知 所以q=1- . (2)由分布列的性質(zhì),知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 所以m=0.3. 列表,所以P(=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3. P(=0)=P(X=1)=0.1,P(=2)=0.3,P(=3)=0.3. 因此=|X-1|的分布列為:,【易錯(cuò)警示】解答本例(1)有兩點(diǎn)容易出錯(cuò): (1)易忽略1-2q0,q20這兩個(gè)條件,從而結(jié)果出錯(cuò). (2)解方程 +1-2q+q2=1時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤.,【互動(dòng)探究】本題(2)中條件不變,求P(12X+19). 【解析】P(12X+19)=P(2X+1=3)+P(2X+1=5)+P(2X+1=7) =0.1+0.1+0.3=0.5.,【規(guī)律方法】分布列的兩條重要性質(zhì)應(yīng)用 (1)檢查分布列的正確性. (2)求參數(shù)值.,【變式訓(xùn)練】1.(2015·廣州模擬)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為: 則k的值為( ) A. B.1 C.2 D.3 【解析】選B.由 =1,解得k=1.,2.隨機(jī)變量X的分布列如下: 其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)= .,【解析】由題意知 則2b=1-b,則b= ,a+c= , 所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c= . 答案:,【加固訓(xùn)練】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(=k)= ,k=1,2,3,則 a的值為( ),【解析】選D.因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為P(=k)= (k=1,2,3), 所以根據(jù)分布列的性質(zhì)有 所以 所以a= .,考點(diǎn)2 超幾何分布 【典例2】(2014·天津高考改編)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同). (1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率. (2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.,【解題提示】(1)由于每位學(xué)生被選到的機(jī)會(huì)均等,且所有選法是一定的,因此所求概率符合古典概型.(2)該問題符合超幾何分布的定義,為超幾何分布.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件 A,則P(A)= 所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為 .,(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3), 所以隨機(jī)變量X的分布列是,【規(guī)律方法】 1.超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn) (1)超幾何分布是不放回抽樣問題. (2)隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù). 2.超幾何分布的應(yīng)用條件 (1)兩類不同的物品(或人、事). (2)從中抽取若干個(gè).,【變式訓(xùn)練】(2015·張掖模擬)袋中裝有編號為1的球5個(gè),編號為2的球3個(gè),這些球的大小完全一樣. (1)從中任意取出四個(gè),求剩下的四個(gè)球都是1號球的概率. (2)從中任意取出三個(gè),記為這三個(gè)球的編號之和,求隨機(jī)變量的分布列.,【解析】(1)記“任意取出四個(gè),剩下的四個(gè)球都是1號球”為事件A, 則P(A)= (2)的可能取值為3,4,5,6,則P(=3)= P(=4)= P(=5)= P(=6)= 概率分布列如下:,【加固訓(xùn)練】帶活動(dòng)門的小盒子里有來自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂,現(xiàn)隨機(jī)地放出5只做實(shí)驗(yàn),X表示放出的蜂中工蜂的只數(shù),則X=2時(shí)的概率是( ) 【解析】選B.依題意可知:X服從超幾何分布,P(X=2)=,考點(diǎn)3 與離散型隨機(jī)變量的概率分布列有關(guān)的問題 知·考情 求離散型隨機(jī)變量的概率分布列,是高考考查的一個(gè)重要考向,常由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列,或借助互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,有時(shí)會(huì)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)表求離散型隨機(jī)變量的分布列,它們經(jīng)常是以解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:求離散型隨機(jī)變量的分布列 【典例3】(2013·天津高考改編)一個(gè)盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同). (1)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率. (2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.,【解題提示】(1)根據(jù)組合數(shù)原理求出符合條件的取法及總?cè)》?再求 概率. (2)根據(jù)隨機(jī)變量X所有可能取值列出分布列. 【規(guī)范解答】(1)設(shè)“取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片”為事件 A,則P(A)= 所以,取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率為 .,(2)由題意隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. 所以隨機(jī)變量X的分布列是,命題角度2:與古典概型有關(guān)的分布列問題 【典例4】(2014·重慶高考)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率. (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望(注:若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足abc,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)).,【解題提示】利用古典概型的概率公式求解概率以及分布列和數(shù)學(xué)期望. 【規(guī)范解答】(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率為 P=,(2)X的所有可能值為1,2,3,且P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 故X的分布列為 從而E(X)=,悟·技法 求隨機(jī)變量的分布列的三個(gè)步驟 (1)找:理解并確定=xi的意義,找出隨機(jī)變量的所有可能的取值xi(i=1,2,n). (2)求:借助概率的有關(guān)知識求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率P(=xi)=pi(i=1,2,n).注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識. (3)列:列出表格并檢驗(yàn)所求的概率是否滿足分布列的兩條性質(zhì).,通·一類 1.(2015·青島模擬)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球,且規(guī)定:取出一個(gè)白球得2分,取出一個(gè)黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和,求X的分布列.,【解析】由題意得X取3,4,5,6, 且 所以X的分布列為,2.(2015·聊城模擬)某校校慶,各屆校友紛至沓來,某班共來了n位校 友(n8且nN*),其中女校友6位,組委會(huì)對這n位校友登記制作了一份 校友名單,現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表,若選出的2位校友是一男一女, 則稱為“最佳組合”. (1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于 ,求n的 最大值. (2)當(dāng)n=12時(shí),設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X,求X的分布列.,【解析】(1)由題意可知,所選2人為“最佳組合”的概率為= 則 化簡得n2-25n+1440,解得9n16,故n的最大值為16. (2)由題意得,X的可能取值為0,1,2, 則 X的分布列為,3.(2015·張掖模擬)某市公租房的房源位于A,B,C三個(gè)片區(qū),設(shè)每位申請人只申請其中一個(gè)片區(qū)的房源,且申請其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的,求該市的任意4位申請人中: (1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率. (2)申請的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列.,【解析】(1)所有可能的申請方式有34種,恰有2人申請A片區(qū)房源的申 請方式有 22種,從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 (2)的所有取值為1,2,3,P(=1)= 所以的分布列為,自我糾錯(cuò)29 求隨機(jī)變量的分布列 【典例】已知隨機(jī)變量X的分布列為: 則隨機(jī)變量1= X的分布列為 ( ),【解題過程】,【錯(cuò)解分析】分析以上解題過程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:上述解題錯(cuò)在誤認(rèn)為1= X對應(yīng)取值的概率也為原來的 ,而 誤選A.,【規(guī)避策略】 1.準(zhǔn)確理解隨機(jī)變量的表達(dá)式的意義,這就要求不能把隨機(jī)變量表達(dá)式和概率的表達(dá)式混為一談. 2.掌握隨機(jī)變量組合的隨機(jī)變量的分布列的求法,會(huì)用分布列來計(jì)算這類事件的概率,要求準(zhǔn)確理解和應(yīng)用.,【自我矯正】選C.由于1= X對于不同的X取值-2,-1,0,1,2,可得到 1的不同取值-1,- ,0, ,1,相應(yīng)的概率不變.所以1= X的分布 列為:,