第八節(jié) 二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)條件概率的定義: 設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)0,稱P(B|A)= 為在_發(fā)生的 條件下,_發(fā)生的條件概率.,事件A,事件B,(2)條件概率的性質(zhì): 條件概率具有一般概率的性質(zhì),即0P(B|A)1; 如果B,C是兩個(gè)互斥事件,則P(BC|A)=_+_. (3)相互獨(dú)立事件的定義及性質(zhì): 定義:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,若P(AB)=_,則稱事件A與事件B相 互獨(dú)立. 性質(zhì): 若事件A與B相互獨(dú)立,那么A與_,_與B, 與_也都相互獨(dú)立.,P(B|A),P(C|A),P(A)P(B),(4)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式: 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),若用Ai(i=1,2,n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果,則P(A1A2A3An)= _.,P(A1)P(A2)P(A3)P(An),(5)二項(xiàng)分布的定義: 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā) 生的概率為p,則P(X=k)=_,k=0,1,2,n.此時(shí)稱隨機(jī)變 量X服從二項(xiàng)分布,記作XB(n,p),并稱p為成功概率.,(6)正態(tài)曲線的定義: 函數(shù),(x)=_,x(-,+),其中實(shí)數(shù)和(0) 為參數(shù),稱,(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線. (7)正態(tài)分布的定義及表示: 如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(ab),隨機(jī)變量X滿足P(aXb)= 則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記作N(,2).,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)正態(tài)曲線的特點(diǎn): 曲線位于x軸的_,與x軸不相交; 曲線是單峰的,它關(guān)于直線_對(duì)稱; 曲線在_處達(dá)到峰值,上方,x=,x=,曲線與x軸之間的面積為1; 當(dāng)一定時(shí),曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿著_平 移; 當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀由確定.越小,曲線越“_”,表示 總體的分布越_;越大,曲線越“_”,表示總體的分布越_ _.,瘦高,集中,矮胖,x軸,分,散,(2)3原則: P(-X+)=_; P(-2X+2)=_; P(-3X+3)=_. (3)二項(xiàng)分布是在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中產(chǎn)生的,離開(kāi)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)不存在二項(xiàng)分布. (4)若XB(n,p),則當(dāng)k由0增大到n時(shí),P(X=k)先由小到大然后由大到小,且當(dāng)k取不超過(guò)(n+1)p的最大整數(shù)時(shí)P(X=k)最大.,0.6826,0.9544,0.9974,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:正難則反、待定系數(shù)法、圖象法. (2)數(shù)學(xué)思想:方程思想、數(shù)形結(jié)合.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)條件概率一定不等于它的非條件概率.( ) (2)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.( ) (3)對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (4)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,其中的a=p,b=1-p.( ),(5)在正態(tài)分布函數(shù),(x)= 中的是正態(tài)分布的期 望值,是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)A,B為相互獨(dú)立事件時(shí)P(B|A)=P(B).因此該說(shuō)法錯(cuò)誤. (2)錯(cuò)誤.兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響,兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥. (3)錯(cuò)誤.因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)事件是相互獨(dú)立事件時(shí),公式P(AB)=P(A)P(B)才成立.,(4)錯(cuò)誤.二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布,是一個(gè)用公式P(X=k)= pk(1- p)n-k,k=0,1,2,n表示的概率分布,其公式相當(dāng)于二項(xiàng)展開(kāi)式的通 項(xiàng)公式,其中的a=1-p,b=p. (5)正確.由正態(tài)分布函數(shù)可知,是正態(tài)分布的期望值,是正態(tài)分布 的標(biāo)準(zhǔn)差. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-3P58T1改編)某機(jī)械零件加工由2道工序組成,第1道工序的廢品率為a,第2道工序的廢品率為b,假定這2道工序出廢品的概率彼此無(wú)關(guān),那么產(chǎn)品的合格率是( ) A.ab-a-b+1 B.1-a-b C.1-ab D.1-2ab,【解析】選A.由于第一道工序與第二道工序出廢品的概率彼此無(wú)關(guān),故產(chǎn)品的合格率為P=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1.,(2)(選修2-3P54T2改編)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球, 它們大小形狀完全相同,現(xiàn)需一個(gè)紅球,甲每次從中任取一個(gè)不放回, 在他第一次拿到白球的條件下,第二次拿到紅球的概率為( ) 【解析】選B.事件A:“第一次拿到白球”,B:“第二次拿到紅球”,則 P(A)= P(AB)= 故P(B|A)=,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45,【解題提示】設(shè)出所求概率為p,然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于p的方程,求得p. 【解析】選A.設(shè)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,則隨后一天空氣質(zhì)量也優(yōu)良的概率為p,則得0.6=0.75·p,解得p=0.8,故選A.,(2)(2013·湖北高考改編)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服 從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量,記一天中從甲地去乙地的旅客人 數(shù)不超過(guò)900的概率為p0.則p0的值為( ) (參考數(shù)據(jù):若XN(,2),有P(-X+)=0.6826,P(-2 X+2)=0.9544,P(-3X+3)=0.9974) A.0.954 4 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.9772,【解析】選D.由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(800,502),故有=800, =50,P(700X900)=0.9544.由正態(tài)分布的對(duì)稱性,可得p0=P(X 900)=P(X800)+P(800X900)= + P(700X900)=0.9772.,(2014·湖南高考)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成 功的概率分別為 和 .現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B. 設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立. 求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率. 若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成 功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期 望.,【解題提示】利用對(duì)立事件求解;利用分布列、期望的定義求解. 【解析】記E=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功.由 題設(shè)知， P(E)= , 且事件E與F，E與 與F， 與 都相互獨(dú)立. 記H=至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，則 于是 = 故所求的概率為P(H)=1,設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元)，則X的可能取值為0，100，120，220， 因P(X=0)= P(X=100)= P(X=120)= P(X=220)=P(EF)=,故所求的分布列為 數(shù)學(xué)期望為 E(X)=,考點(diǎn)1 條件概率 【典例1】(1)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事件A:“取到的2個(gè) 數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B:“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=( ),(2)如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則P(B|A)= .,【解題提示】(1)先求出事件A與AB的概率,再由條件概率公式P(B|A) = 計(jì)算.(2)事件A與AB屬于幾何概型,先求出兩者的概率,再由 條件概率公式求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.P(A) P(AB) 由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A),【一題多解】本題還可以用如下方法解決： 選B.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，取到兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的 事件個(gè)數(shù)為n(A)= =4, 再者取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的事件個(gè)數(shù)為n(B)= =1, 故所求事件的概率,(2)由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A) 事 件AB表示“豆子落在EOH內(nèi)”，則P(AB) 故P(B|A) 答案:,【互動(dòng)探究】把第(1)題中的事件B:“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”改為 “事件B:取到的2個(gè)數(shù)均為奇數(shù)”,則P(B|A)= . 【解析】事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，所包含的基本事件有： (1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)，所以P(A)= . 事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為奇數(shù)”，所包含的基本事件有(1，3)， (1，5)，(3，5)，所以P(AB)= ,所以P(B|A)= 答案：,【規(guī)律方法】條件概率的求法 (1)定義法:先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)= 求P(B|A). (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件 數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)=,【變式訓(xùn)練】(1)10件產(chǎn)品中有2件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件.已知第一次抽到的是正品,則第二次抽到次品的概率為 . (2)市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中,甲廠占70%,乙廠占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則市場(chǎng)上燈泡的合格率是 .,【解析】(1)方法一：從10件產(chǎn)品中不放回抽取2次，記“第一次抽到 正品”為事件A，“第二次抽到次品”為事件B.“從10件產(chǎn)品中不放 回抽取2次”共包含 90個(gè)基本事件事件A包含8×972個(gè)基本 事件所以P(A) 事件AB，即“從10件產(chǎn)品中依次抽2件， 第一次抽到的是正品，第二次抽到的是次品”包含8×216個(gè)基本事 件，所以P(AB) 所以已知第一次抽到的是正品，第二次 抽到次品的概率P(B|A),方法二：因?yàn)橐阎谝淮纬榈降氖钦?，所以相?dāng)于“從9件產(chǎn)品(有 2件次品)，任取一件，求這件是次品的概率”由古典概型知其概率 為 (2)記A甲廠產(chǎn)品，B乙廠產(chǎn)品，C合格產(chǎn)品，則CAC BC，所以P(C)P(AC)P(BC)P(A)·P(C|A)P(B)·P(C|B)70% ×95%30%×80%0.90590.5%. 答案:(1) (2)90.5%,【加固訓(xùn)練】(2015·貴陽(yáng)模擬)袋中有5個(gè)球,其中3個(gè)白球,2個(gè)黑球,現(xiàn)不放回地每次抽取1個(gè)球,則在第一次取到白球的條件下,第二次取到白球的概率為 .,【解析】方法一：記第二次取到白球?yàn)槭录﨎，則P(B)= 方法二：第一次取到白球?yàn)槭录嗀，第二次取到白球?yàn)槭录﨎，則 答案：,考點(diǎn) 正態(tài)分布及其應(yīng)用 【典例】(1)設(shè)隨機(jī)變量XN(1,52),且P(X0)=P(Xa-2),則實(shí)數(shù)a 的值為( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(1,2),已知P(0)=0.3,則P(2) = .,【解題提示】(1)由概率P(X0)=P(Xa-2),可得0與a-2的均值為1.(2)可借助于正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.因?yàn)閄N(1,52)，P(X0)P(Xa2)， 所以 1，所以a4. (2)由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱， 所以P(2)P(0)P(01)P(12)， 又P(01)P(12)0.2， 所以P(2)0.7. 答案：0.7,【規(guī)律方法】正態(tài)分布下兩類(lèi)常見(jiàn)的概率計(jì)算 (1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題,涉及的知識(shí)主 要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱,及曲線與x軸之間的面積為1. (2)利用3原則求概率問(wèn)題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變 量的,進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系,確定它們屬于(-,+),(-2,+ 2),(-3,+3)中的哪一個(gè).,【變式訓(xùn)練】1.(2015·濟(jì)南模擬)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,1),若P(1)=p,則P(-10)=( ) A. +p B.1-p C.1-2p D. -p,【解析】選D.因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,1),所以正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱, 所以P(0)=P(1)=P(-1)=p, 所以P(-10) =P(0)-P(-1)= -p.,2.某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1000,502),且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為 .,【解析】因?yàn)槿齻€(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000,502), 所以三個(gè)電子元件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為P= .超過(guò)1000 小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率P1=1-(1-P)2= ,那么該部件的 使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為P2=P1×P= . 答案:,【加固訓(xùn)練】設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2),函數(shù)f(x)=x2+4x +沒(méi)有零點(diǎn)的概率是 ,則等于 . 【解析】根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x2+4x+沒(méi)有零點(diǎn)時(shí),=16-44,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,當(dāng)函數(shù)f(x)=x2+4x+沒(méi)有零點(diǎn)的概率 是 時(shí),=4. 答案:4,考點(diǎn)2 相互獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 知·考情 相互獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布,是高考考查的一個(gè)重要考向,常與概率及其概率分布列、期望值、現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用等知識(shí)綜合考查,經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:相互獨(dú)立事件的概率及其分布列 【典例2】(2014·山東高考)乒乓球臺(tái)面被網(wǎng)分成甲、乙兩部分,如圖, 甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D.某次 測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落,點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球,小 明回球的落點(diǎn)在C上的概率為 ,在D上的概率為 ;對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái) 球,小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為 ,在D上的概率為 .假設(shè)共有兩 次來(lái)球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求:,(1)小明的兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率. (2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【解題提示】(1)本題考查了相互獨(dú)立事件的概率. (2)本題考查的是隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,先列出的所有值,并求出每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)恰有一次的落點(diǎn)在乙上這一事件為E， P(E)= (2)的可能取值為0，1，2，3，4，6， P(=0)= P(=1)= P(=2)= P(=3)=,P(=4)= P(=6)= 所以的分布列為 所以其數(shù)學(xué)期望為E()=,命題角度2:獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及其應(yīng)用 【典例3】(2015·梅州模擬)甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中 目標(biāo)的概率為 ,乙每次擊中目標(biāo)的概率為 . 求(1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率. (2)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率. (3)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率.,【解題提示】(1)甲進(jìn)行3次射擊,服從二項(xiàng)分布.(2)至少擊中目標(biāo)2次,包含擊中目標(biāo)2次和擊中目標(biāo)3次.(3)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次,包含2個(gè)互斥事件.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)X為甲擊中目標(biāo)的次數(shù)，則： 故甲恰 好擊中目標(biāo)2次的概率為P(X2) (2)設(shè)Y為乙擊中目標(biāo)的次數(shù)，則： 故乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為P(Y2)P(Y2)P(Y3),(3)設(shè)“乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次”為事件A，包含以下2個(gè)互斥事 件，設(shè)B1為事件“乙恰好擊中目標(biāo)2次且甲恰好擊中目標(biāo)0次”，則 P(B1) 設(shè)B2為事件“乙恰好擊中目標(biāo)3次且甲 恰好擊中目標(biāo)1次”，則P(B2) 于是P(A)P(B1) P(B2) 即乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率為 .,悟·技法 1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法 (1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.,(3)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例(概率公式也是如此),就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣,只要有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單,就像有“至少”或“至多”字樣的題用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單一樣.,2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求解的策略 (1)首先判斷問(wèn)題中涉及的試驗(yàn)是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的,并且每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種,在任何一次試驗(yàn)中,某一事件發(fā)生的概率都相等,然后用相關(guān)公式求解. (2)解此類(lèi)題時(shí)常用互斥事件概率加法公式,相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式.,通·一類(lèi) 1.(2015·貴陽(yáng)模擬)已知P箱中有紅球1個(gè),白球9個(gè),Q箱中有白球7個(gè)(P,Q箱中所有的球除顏色外完全相同).現(xiàn)隨機(jī)從P箱中取出3個(gè)球放入Q箱,將Q箱中的球充分?jǐn)噭蚝?再?gòu)腝箱中隨機(jī)取出3個(gè)球放入P箱,則紅球從P箱移到Q箱,再?gòu)腝箱返回P箱中的概率等于( ),【解析】選B.可看作是兩個(gè)獨(dú)立事件.A：紅球從P箱移到Q箱，B：紅 球從Q箱返回P箱同時(shí)發(fā)生，可知P(A)= 對(duì)于B發(fā)生時(shí)，Q箱 中有紅球1個(gè)，白球9個(gè)，再?gòu)闹腥〕?白1紅，所以P(B)=P(A)= 根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式，有P=P(A)·P(B)= 故 選B.,2.(2015·棗莊模擬)一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè)，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，則他不超過(guò)2次就按對(duì)的概率是( ),【解析】選C.09中總共有5個(gè)偶數(shù)，他不超過(guò)2次就按對(duì)的概率是,3.(2015·太原模擬)某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是 ， 構(gòu)造數(shù)列an，使得an 記Sna1a2 an(nN*)，則S42的概率為( ) 【解析】選C.依題意得，“S42”表示在連續(xù)四次拋擲中恰有三次 出現(xiàn)正面，因此“S42”的概率為,【加固訓(xùn)練】1.(2014·陜西高考)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：,(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列. (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率.,【解題提示】(1)先由已知確定X所有可能的取值,再利用概率公式求出X對(duì)應(yīng)值的概率,從而得到X的分布列.(2)利用問(wèn)題(1)的結(jié)論得某1季此作物的利潤(rùn)不少于2000元的概率,再分類(lèi)求得這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率.,【解析】(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”,B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”, 由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因?yàn)槔麧?rùn)=產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格-成本. 所以X所有可能的取值為 500×10-1000=4000,500×6-1000=2000, 300×10-1000=2000,300×6-1000=800,P(X=4 000)= =(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)= =(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4) =0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2. 所以X的分布列為,(2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2000元”(i=1,2,3), 由題意知C1,C2,C3相互獨(dú)立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利潤(rùn)均不少于2000元的概率為 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512.,3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為 =3×0.82×0.2 =0.384, 所以這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.512+0.384=0.896.,2.(2014·煙臺(tái)模擬)設(shè)兩球隊(duì)A,B進(jìn)行友誼比賽,在每局比賽中A隊(duì)獲勝的概率都是p(0p1). (1)若比賽6局,且p= ,求其中A隊(duì)至多獲勝4局的概率是多少. (2)若比賽6局,求A隊(duì)恰好獲勝3局的概率的最大值是多少. (3)若采用“五局三勝”制,求A隊(duì)獲勝時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.,【解析】(1)設(shè)“比賽6局，A隊(duì)至多獲勝4局”為事件A， 則P(A)1P6(5)P6(6) 所以A隊(duì)至多獲勝4局的概率為,(2)設(shè)“若比賽6局，A隊(duì)恰好獲勝3局”為事件B，則P(B) 當(dāng)p0或p1時(shí)，顯然有P(B)0. 當(dāng)0p1時(shí)，P(B) 當(dāng)且僅當(dāng)p1p，即p 時(shí)取等號(hào) 故A隊(duì)恰好獲勝3局的概率的最大值是,(3)若采用“五局三勝”制，A隊(duì)獲勝時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)3,4,5. P(3)p3； P(4) p3(1p)3p3(1p)； P(5) p3(1p)26p3(1p)2， 所以的分布列為： E()3p3(10p224p15),規(guī)范解答20 與相互獨(dú)立事件有關(guān)概率綜合題 【典例】(12分)(2014·安徽高考)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連 勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多 者贏得比賽,假設(shè)每局甲獲勝的概率為 ,乙獲勝的概率為 ,各局 比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率. (2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).,解題導(dǎo)思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標(biāo)準(zhǔn) 體會(huì)規(guī)范 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”, Bk表示“第k局乙獲勝”,則P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)= P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) = = 5分,(2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , 6分 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 7分,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+ P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)= , 8分 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 9分,故X的分布列為 10分 E(X)= 12分,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭(zhēng)取滿分 1.注意答題的規(guī)范性 在解題過(guò)程中,注意答題要求,嚴(yán)格按照題目及相關(guān)知識(shí)的要求答題.如本題中用Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,并且將每個(gè)事件表示成幾個(gè)互斥事件的和事件.另外還要注意:,(1)X的可能取值為2,3,4,5時(shí)的概率不能寫(xiě)成P2,P3,P4,P5,要寫(xiě)成P(X=2),P(X=3),P(X=4),P(X=5). (2)注意分布列要用表格的形式列出來(lái),不要認(rèn)為求出各個(gè)相應(yīng)的概率就結(jié)束了.,2.關(guān)鍵步驟要全面 閱卷時(shí),主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn),有關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)則得分,沒(méi)有要相應(yīng)扣分,所以解題時(shí)要寫(xiě)全關(guān)鍵步驟、踩分點(diǎn),對(duì)于純計(jì)算過(guò)程等非得分點(diǎn)的步驟可簡(jiǎn)寫(xiě),如求概率值、期望值.,