第十節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù): 定義:稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率 _= 為y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 f(x0)或 即f(x0)= =_.,幾何意義:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線 y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0)處的_.相應(yīng)地,切線方程為_ _. (2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù): 稱函數(shù)f(x)=_為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y.,切線的斜率,y-f(x0),=f(x0)(x-x0),(3)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:,0,x-1,cosx,-sinx,axlna,ex,(4)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則: f(x)±g(x)=_. f(x)·g(x)=_. _(g(x)0).,f(x)±g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),(5)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx=_.,yu·ux,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是以點(diǎn)P(x0,y0)為切點(diǎn),以f(x0)為斜率的直線,而曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線,點(diǎn)P(x0,y0)不一定是切點(diǎn). (2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì),其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向,其大小|f(x)|反映了變化的快慢, |f(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:利用導(dǎo)數(shù)求切線的方法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合. (3)記憶口訣: 導(dǎo)數(shù)概念要理清,專門刻畫變化量, 放大放大再放大,逼近逼近再逼近. 幾何意義在切線,物理應(yīng)用求速度. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定義證明會(huì)推導(dǎo). 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算,記住法則計(jì)算巧. 簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合,記住公式會(huì)運(yùn)算.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)求f(x0)時(shí),可先求f(x0)再求f(x0).( ) (2)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).( ) (3)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.( ) (4)若f(x)=f(a)x2+ln x(a0),則f(x)=2xf(a)+ .( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.應(yīng)先求f(x),再求f(x0). (2)正確.如y=1是曲線y=sin x的切線,但其交點(diǎn)個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè). (3)錯(cuò)誤.如y=0與拋物線y2=x只有一個(gè)公共點(diǎn),但是y=0不是拋物線y2=x的切線. (4)正確.f(x)=(f(a)x2+ln x)=(f(a)x2)+(ln x) =2xf(a)+ . 答案:(1)× (2) (3)× (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-2P11T1改編)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,t s時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.則運(yùn)動(dòng)員的速度v= ,加速度a= . 【解析】v=h(t)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8. 答案:-9.8t+6.5 -9.8,(2)(選修2-2P18T3改編)已知函數(shù)r(V)= ,則r( )=_. 【解析】因?yàn)閞(V)= 所以r( )= 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·廣東高考)曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為 . 【解析】因?yàn)閥=-5ex,y|x=0=-5,即在點(diǎn)(0,-2)處的切線斜率為-5,所以切線方程為y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0,(2)(2013·江西高考)若曲線y=x+1(R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則= . 【解析】因?yàn)閥=·x-1,所以在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率k=,則切線方程為y-2=(x-1),又切線過(guò)原點(diǎn),故0-2=(0-1),解得=2. 答案:2,(3)(2015·陽(yáng)泉模擬)直線y= x+b是曲線y=ln x(x0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b= . 【解析】y= ,令 = ,得x=2, 因此切點(diǎn)為(2,ln2),代入直線方程 y= x+b得b=ln2-1. 答案:ln2-1,考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 【典例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=exsin x.(2)y=x( ). (3)y=x- (4)y=ln(1-2x).,【解題提示】(1)利用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解. (2)(3)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo).(4)y=ln(1-2x)是由y=ln u與u=1-2x復(fù)合而成.,【規(guī)范解答】(1)y=(ex)sin x+ex(sin x)=exsin x+excos x. (2)因?yàn)?所以y= (3)因?yàn)閥=x- sin x, 所以y=1- cos x. (4)設(shè)y=ln u,則y=ln(1-2x)是由y=ln u,與u=1-2x復(fù)合而成. 所以yx=yu·ux=(ln u)·(1-2x)= ·(-2),【易錯(cuò)警示】解答本題有三點(diǎn)容易出錯(cuò)： (1)解答本題(2)時(shí)，若直接使用積的運(yùn)算法則求導(dǎo),則運(yùn)算煩瑣，易出錯(cuò). (2)解答本題(3)時(shí)，若不先化簡(jiǎn)，直接使用積的運(yùn)算法則求導(dǎo)，易導(dǎo)致錯(cuò)誤答案. (3)解答(4)時(shí)，易因搞不清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成而解答失誤.,【規(guī)律方法】導(dǎo)數(shù)計(jì)算的原則和方法 (1)原則：先化簡(jiǎn)解析式，使之變成能用八個(gè)求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商，再求導(dǎo). (2)方法： 連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)； 分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)； 對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；,根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)； 三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)； 復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).,【變式訓(xùn)練】求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=(3x2-4x)(2x+1). (2)y=x2sin x. (3)y= (4),【解析】(1)因?yàn)閥=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x， 所以y=18x2-10x-4. (2)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x. (3)y=,(4) 所以y=,【加固訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=3xex-2x+e. (2)y= (3)y=,【解析】(1)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln(3e)-2xln2. (2)先化簡(jiǎn), 所以 (3)設(shè)u=1-3x，則y=u-4， 則yx=yu·ux=,考點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 知·考情 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,主要考查求曲線的切線斜率、切線方程或已知曲線的切線斜率、切線方程求參數(shù)的值或范圍等問(wèn)題.,明·角度 命題角度1:求切點(diǎn)坐標(biāo)或切線方程 【典例2】(2014·江西高考)若曲線y=e-x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 . 【解題提示】切線問(wèn)題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.,【規(guī)范解答】設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),因?yàn)閥=-e-x, 所以曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為 又因?yàn)榍芯€平行于直線2x+y+1=0,所以 解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2, 所以點(diǎn)P(-ln2,2). 答案:(-ln2,2),命題角度2:求參數(shù)的值 【典例3】(2014·陜西高考)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切),已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分,則該函數(shù)的解析式為( ),【解題提示】根據(jù)已知圖像可以得到函數(shù)圖像在與x軸交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)列出三元一次方程組,解之即得所求.,【規(guī)范解答】選A.由已知可得此函數(shù)為三次函數(shù)且過(guò)原點(diǎn),故可設(shè)函數(shù)解析式為y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f(x)=3ax2+2bx+c, 由題意知f(0)=-1,f(2)=3,f(2)=0,即c=-1, 12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0, 解之得a= ,b=- ,c=-1. 所以y= x3- x2-x.,悟·技法 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用及解法 (1)已知切點(diǎn)A(x0,y0)求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值k=f(x0). (2)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k. (3)求過(guò)某點(diǎn)M(x1,y1)的切線方程時(shí),需設(shè)出切點(diǎn)A(x0,f(x0),則切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0),再把點(diǎn)M(x1,y1)代入切線方程,求x0.,(4)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值時(shí),一般是利用切點(diǎn)P(x0,y0)既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程組求解. 提醒:當(dāng)切線方程中x(或y)的系數(shù)含有字母參數(shù)時(shí),則切線恒過(guò)定點(diǎn).,通·一類 1.(2015·昆明模擬)若曲線f(x)=acos x與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(diǎn)(0,m)處有公切線,則a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】選C.f(x)=-asin x,g(x)=2x+b,由題意知f(0)=a=g(0) =1,且f(0)=0=g(0)=b,即a=1,b=0,所以a+b=1.,2.(2014·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y=ax2+ (a，b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2,-5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行，則a+b的值是_.,【解析】曲線y=ax2+ (a，b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2,-5), 則有4a+ =-5, 又該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行， 由y=2ax- 得 聯(lián)立兩式得 則a+b=-3. 答案：-3,3.(2014·廣東高考)曲線y=e-5x+2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為_. 【解析】因?yàn)閥=-5e-5x,y|x=0=-5, 即在點(diǎn)(0,3)處的切線斜率為-5, 所以切線方程為y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0. 答案:5x+y-3=0,4.(2015·無(wú)錫模擬)拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線:x-y-2=0的最短距離為_. 【解析】y=2x,根據(jù)題意可知與直線x-y-2=0平行的拋物線y=x2的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x02)，則 所以x0= ,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為( ),切點(diǎn)到直線x-y- 2=0的距離d= ,所以拋物線上的點(diǎn)到直線x-y-2=0的 最短距離為 答案：,創(chuàng)新體驗(yàn)2 導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的創(chuàng)新問(wèn)題 【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.高考考情:導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用中的創(chuàng)新問(wèn)題是近幾年高考命題的一個(gè)增長(zhǎng)點(diǎn),此類問(wèn)題以新定義、新情境為依托,考查學(xué)生理解問(wèn)題、解決創(chuàng)新問(wèn)題的能力. 2.命題形式:常見的有新概念、新情境、新法則等.,【新題快遞】 1.(2014·陜西高考)如圖,某飛行器在4千米高空水平飛行,從距著陸點(diǎn)A的水平距離10千米處下降,已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分,則函數(shù)的解析式為( ),【解題提示】根據(jù)函數(shù)的圖象可以得到函數(shù)的極值點(diǎn),再利用導(dǎo)數(shù)求得解析式的極值點(diǎn),二者能夠統(tǒng)一的即為所求.,【解析】選A.由函數(shù)圖象可得函數(shù)的極值點(diǎn)為±5,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo),只有選項(xiàng)A的函數(shù)解析式求導(dǎo)得y=3× x2- ,令y=0得x=±5,所以只有選項(xiàng)A的解析式與圖象相統(tǒng)一.,2.(2014·安徽高考)若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件: (1)直線l在點(diǎn)P(x0,y0)處與曲線C相切. (2)曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C. 下列命題正確的是 (寫出所有正確命題的編號(hào)). 直線l:y=0在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C:y=x3; 直線l:x=-1在點(diǎn)P(-1,0)處“切過(guò)”曲線C:y=(x+1)2; 直線l:y=x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C:y=sin x; 直線l:y=x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C:y=tan x; 直線l:y=x-1在點(diǎn)P(1,0)處“切過(guò)”曲線C:y=ln x.,【解析】根據(jù)題意滿足條件的有,不滿足題意. 答案:,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決此類問(wèn)題時(shí),一定要讀懂題目的本質(zhì)含義,緊扣題目所給條件,結(jié)合題目要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,切忌同已有概念或定義相混淆. 2.方法選取:對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用中的創(chuàng)新問(wèn)題,可恰當(dāng)選用圖象法、特例法、一般邏輯推理等方法,同時(shí)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,以此培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟新信息、運(yùn)用新信息的能力.,