第十二節(jié) 定積分的概念與微積分基本定理、 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)定積分的概念、幾何意義與性質(zhì): 定積分的定義及相關(guān)概念: 一般地,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0x1xi-1xixn=b,將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi 上任取一點(diǎn)i(i=1,2,n),作和式 當(dāng)n 時(shí),上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b 上的定積分,記作 .,在 中,a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間_叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做_,_叫做被積式.,a,b,積分變量,f(x)dx,定積分的幾何意義:,x=a,x=b,x=a,x=b,定積分的性質(zhì): () kf(x)dx=_(k為常數(shù)). () f1(x)±f2(x)dx=_. ()_= (其中acb).,(2)微積分基本定理: 一般地,如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù),并且F(x)=f(x),那么 =_,這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫牛頓-萊布尼茨公式.,F(b)-F(a),(3)定積分的應(yīng)用: 定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系:,設(shè)陰影部分的面積為S. ()S= f(x)dx. ()S=_. ()S=_. ()S= f(x)dx- g(x)dx= f(x)-g(x)dx. 定積分與變速直線運(yùn)動(dòng)的路程及變力做功間的關(guān)系: ()s=_.()W=_.,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間-a,a上連續(xù),則有 (1)若f(x)是偶函數(shù),則 f(x)dx=2 f(x)dx. (2)若f(x)是奇函數(shù),則 f(x)dx=0. 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:利用定積分求曲邊梯形面積的方法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則 f(x)dx= f(t)dt.( ) (2)定積分一定是曲邊梯形的面積.( ) (3)若 f(x)dx0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方.( ),【解析】(1)正確.定積分與被積函數(shù)、積分上限和積分下限有關(guān),與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān). (2)錯(cuò)誤.不一定是,要結(jié)合具體圖形來(lái)定. (3)錯(cuò)誤.也有可能是在x軸上方部分的面積小于在x軸下方部分的面積. 答案:(1) (2)× (3)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-2P55B組T1(3)改編) 3xdx= . 【解析】 答案:,(2)(選修2-2P60A組T6改編)汽車(chē)以36km/h的速度行駛,到某處需要減速停車(chē),設(shè)汽車(chē)以等減速度a=2m/s2剎車(chē),則從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē),汽車(chē)走的距離是 m.,【解析】先求從剎車(chē)開(kāi)始到停車(chē)所用的時(shí)間:t=0時(shí), v0=36km/h=10m/s, 剎車(chē)后,汽車(chē)減速行駛,速度為v(t)=v0-at=10-2t, 由v(t)=0可得:t=5s, 所以從剎車(chē)到停車(chē),汽車(chē)所走過(guò)的路程為 v(t)dt= (10-2t)dt= (10t-t2) =25(m). 即汽車(chē)從開(kāi)始剎車(chē)到停住,共走了25m. 答案:25,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2013·江西高考)若s1= x2dx,s2= dx,s3= exdx,則s1,s2,s3的大小關(guān)系為( ) A.s13. 所以s2s1s3.,(2)(2014·山東高考)直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( ) A.2 B.4 C.2 D.4 【解析】選D.由 得交點(diǎn)為（0,0）,（2,8）,（-2,-8）, 所以S= (4x-x3)dx=(2x2- x4) =4,故選D.,(3)(2015·貴陽(yáng)模擬)已知t1,若 (2x+1)dx=t2,則t= . 【解析】 (2x+1)dx=(x2+x) =t2+t-2, 從而得方程t2+t-2=t2,解得t=2. 答案:2,考點(diǎn)1 定積分的計(jì)算 【典例1】(1)(2014·江西高考)若f(x)=x2+2 f(x)dx,則 f(x)dx=( ) (2)(2015·石家莊模擬) ( )dx=_. 【解題提示】(1)利用方程思想求解. (2) dx利用定積分的幾何意義求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.設(shè) 則c= 解得c= (2) 因?yàn)?的幾何意義是單位圓x2+y2=1(x0,y0)與坐標(biāo)軸圍成區(qū)域的面積，所以 又 則 答案：,【互動(dòng)探究】若本例(1)條件變?yōu)椤叭?(a1)”，試求a的值. 【解析】由 所以 解得a=2.,【規(guī)律方法】計(jì)算定積分的步驟 (1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差. (2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分. (3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù). (4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值. (5)計(jì)算原始定積分的值. 提醒：根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分.,【變式訓(xùn)練】(2014·湖北高考)若函數(shù)f(x)，g(x) 滿足 =0，則稱(chēng)f(x)，g(x)為區(qū)間-1,1 上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)： f(x)=sin x,g(x)=cos x； f(x)=x+1,g(x)=x-1； f(x)=x,g(x)=x2, 其中為區(qū)間-1,1的正交函數(shù)的組數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】選C.對(duì)于， 則f(x)，g(x)為區(qū)間-1,1上的正交函數(shù)； 對(duì)于， 則f(x)，g(x)不為區(qū)間-1,1上的正交函數(shù)； 對(duì)于， 則f(x)，g(x)為區(qū)間-1,1上的正交函數(shù). 所以滿足條件的正交函數(shù)有2組.,【加固訓(xùn)練】求下列定積分. (1) (2),【解析】(1)因?yàn)閨3-2x|= 所以,(2) (3x3+4sin x)dx表示直線x=-5,x=5,y=0和曲線y=f(x)=3x3+ 4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和,且在x軸上方的面積取正號(hào),在x軸下方的面積取負(fù)號(hào). 又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x), 所以f(x)=3x3+4sin x在-5,5上是奇函數(shù), 所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx, 所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.,考點(diǎn) 定積分在物理中的應(yīng)用 【典例】(1)(2013·湖北高考)一輛汽車(chē)在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車(chē),以速度v(t)=7-3t+ (t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車(chē)?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:m)是( ) A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2,(2)(2015·鄭州模擬)已知作用于某一質(zhì)點(diǎn)的力F(x)= (單位：N)，則力F(x)從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=2處(單位：m)所做的功為_(kāi). 【解題提示】(1)先求出行駛至停止時(shí)所用時(shí)間，然后利用定積分求出汽車(chē)行駛的距離. (2)分別在積分區(qū)間0,1和1,2求定積分.,【規(guī)范解答】(1)選C.7-3t+ =0，t=4或t=- 0,舍去. (2)根據(jù)題意，力F所做的功為 答案： J,【規(guī)律方法】定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用 (1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v=v(t)，那么從時(shí)刻 t=a到t=b所經(jīng)過(guò)的路程s= v(t)dt. (2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b時(shí)，力F(x)所做的功是W= F(x)dx.,【變式訓(xùn)練】物體A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直線l上運(yùn)動(dòng)，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時(shí)以v=10t(m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時(shí)間t(s)為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】選C.由題意知 即 解得t=5.,【加固訓(xùn)練】一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t=0(s)開(kāi)始以速度v=t2-4t+3 (m/s)運(yùn)動(dòng)求： (1)在t=4 s的位置. (2)在t=4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程 【解析】(1)在時(shí)刻t=4時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的位置為 = (m), 即在t=4 s該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) m.,(2)因?yàn)関(t)=t2-4t3=(t-1)(t-3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上的v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0， 所以t=4 s時(shí)的路程為 s= = =4(m)， 即質(zhì)點(diǎn)在4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m.,考點(diǎn)2 利用定積分計(jì)算平面圖形的面積 知·考情 利用定積分計(jì)算平面圖形的面積是近幾年高考考查定積分的一個(gè)重要考向；常與解析幾何、概率交匯命題，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題.,明·角度 命題角度1：求平面圖形的面積或根據(jù)面積求參數(shù) 【典例2】(2015·青島模擬)由曲線xy=1，直線y=x,x=3所圍成的封閉平面圖形的面積為( ) A. B.4-ln 3 C.4+ln 3 D.2-ln 3 【解題提示】畫(huà)出平面圖形，根據(jù)圖形確定積分的上、下限及被積函數(shù).,【規(guī)范解答】選B.由曲線xy=1,直線y=x,x=3所圍成的封閉的平面圖形如圖所示:,由 得 或 由 得 故陰影部分的面積為,命題角度2:與概率綜合應(yīng)用 【典例3】(2014·福建高考)如圖,在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為 .,【解題提示】本題考查了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在圖象上的性質(zhì),利用對(duì)稱(chēng)性,將問(wèn)題化為可利用定積分求解面積的問(wèn)題.,【規(guī)范解答】y=ex和y=ln x互為反函數(shù)，不妨將樣本空間縮小到左上方的三角形， 則 答案：,【易錯(cuò)警示】解答本題有兩點(diǎn)容易出錯(cuò) (1)不清楚兩個(gè)陰影部分面積相等導(dǎo)致錯(cuò)解. (2)對(duì)積分上、下限確定錯(cuò)誤.,悟·技法 1.利用定積分求平面圖形面積的步驟 (1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形. (2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限. (3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和. (4)計(jì)算定積分，寫(xiě)出答案. 2.根據(jù)平面圖形的面積求參數(shù)的求解策略 先利用定積分求出平面圖形的面積，再據(jù)條件構(gòu)建方程(不等式)求解.,通·一類(lèi) 1.(2015·莆田模擬)如圖,由函數(shù)f(x)=ex-e的圖象,直線x=2及x軸所圍成的陰影部分面積等于( ) A.e2-2e-1 B.e2-2e C. D.e2-2e+1,【解析】選B.由已知得S=,2.(2015·合肥模擬)由曲線f(x)= 與y軸及直線y=m(m0)圍成的圖形的面積為 ，則m的值為( ) A.2 B.3 C.1 D.8 【解析】選A.S= 解得m=2.,3.(2015·北京模擬)如圖,圓O:x2+y2=2內(nèi)的正弦曲線y=sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分),隨機(jī)向圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A,則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是 .,【解析】陰影部分的面積為 圓的面積為 所以點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是 答案：,自我糾錯(cuò)7 利用定積分求平面圖形的面積 【典例】(2015·太原模擬)如圖，由兩條曲線y=-x2,y= x2及直線y=-1所圍成的平面圖形的面積為_(kāi).,【解題過(guò)程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過(guò)程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:上述解題過(guò)程錯(cuò)在把平面圖形的下邊界搞錯(cuò)了,誤認(rèn)為y=-x2是平面圖形的下邊界而導(dǎo)致失誤.,【規(guī)避策略】 1.當(dāng)平面圖形的上(下)邊界是不同的函數(shù)的圖象時(shí),可在交點(diǎn)處作x軸的垂線,從而確定積分上下限,分段求面積. 2.被積函數(shù)實(shí)際上就是曲線所圍圖形的上邊界的函數(shù)解析式減去下邊界的函數(shù)解析式.,【自我矯正】由 得交點(diǎn)A(-1，-1)，B(1，-1) 由 得交點(diǎn)C(-2，-1)，D(2，-1) 所以所求面積 答案：,