第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系: 平方關(guān)系:_. 商數(shù)關(guān)系:_.,sin2+cos2=1,(2)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:,-sin,-sin,sin,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,tan,-tan,-tan,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)sin2=1-cos2,cos2=_.,1-sin2,(2)特殊角的三角函數(shù)值,0,1,0,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:統(tǒng)一法,整體代換法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸的思想. (3)記憶口訣:三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”.,【小題快練】 1.思考辨析靜心思考判一判 (1)120°角的正弦值是 ，余弦值是 ( ) (2)同角三角函數(shù)關(guān)系式中的角是任意角.( ) (3)六組誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角.( ) (4)誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的“符號(hào)”與的大小無關(guān).( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°= cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°= (2)錯(cuò)誤.在tan = 中 +k，kZ. (3)錯(cuò)誤.對(duì)于正、余弦的誘導(dǎo)公式角可以為任意角，而對(duì)于正切的誘導(dǎo)公式 k，kZ. (4)正確.誘導(dǎo)公式的“符號(hào)看象限”中的符號(hào)是把任意角都看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，因而與的大小無關(guān). 答案：(1)× (2)× (3)× (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P21T5改編)已知f(x)= 則f(- )的值為( ) A.0 B.1 C.-5 D.-9 【解析】選C.f(- )=sin 0+2sin(- )-4cos(- )+3cos(-)= 0+2×(-1)-4×0+3×(-1)=-5.,(2)(必修4P22T3改編)已知tan =-2,則 =_. 【解析】原式= 答案:-2,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·泰安模擬)sin 600°的值為( ) 【解析】選B.sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+ 60°)=-sin 60°=,(2)(2015·梅州模擬)已知為銳角，且tan(-)+3=0,則sin 的值是( ) 【解析】選B.方法一：由tan(-)+3=0得tan =3，即 sin =3cos ,所以sin2=9(1-sin2),10sin2=9,sin2= 又因?yàn)闉殇J角，所以sin =,方法二：因?yàn)闉殇J角，且tan(-)+3=0,所以-tan +3=0即 tan =3.在如圖直角三角形中，令A(yù)=，BC=3則AC=1，故 所以,考點(diǎn)1 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【典例1】(1)(2015·蘭州模擬)計(jì)算：2sin( )+cos 12+ tan =_. (2)已知cos( -)= ，則sin(- )=_. (3)(2015·淮南模擬)已知f(x)= 則f( )=_.,【解題提示】(1)利用誘導(dǎo)公式化大角為小角，再求值. (2)注意角 -與- 的關(guān)系，用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化求值. (3)利用誘導(dǎo)公式先化簡，再求值.,【規(guī)范解答】(1)原式= 答案：1,(2)因?yàn)?所以 答案：,(3)因?yàn)閒(x)= 所以 答案：-1,【互動(dòng)探究】在本例題(2)的條件下，求 的值. 【解析】,【規(guī)律方法】 1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用 (1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了. (2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了. 2.含2整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5-)= cos(-)=-cos .,【變式訓(xùn)練】(2015·濟(jì)寧模擬)計(jì)算： 【解析】原式 答案：-1,【加固訓(xùn)練】1.(2015·南昌模擬)已知sin(x+ )= ，則cos(x+ ) 的值為( ) 【解析】選B.因?yàn)?所以,2.已知A= (kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是( ) A.1，-1,2，-2 B.-1,1 C.2，-2 D.1，-1,0,2，-2 【解析】選C. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A= k為奇數(shù)時(shí)，,3.(2014·揚(yáng)州模擬)已知點(diǎn)(tan ,sin(- )是角終邊上一點(diǎn)，則cos( +)=_. 【解析】將(tan ,sin(- )化簡得：(1，- )，在第四象限， 所以sin = 則 答案：,考點(diǎn)2 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 【典例2】(1)(2015·青島模擬)已知是第四象限角，sin = 則tan =( ) (2)化簡：(1+tan2 )(1-sin2 )=_. (3)(2015·銀川模擬) 若tan = ，則 =_，sin22sin cos =_.,【解題提示】(1)先求cos ，再求tan ，注意角的范圍. (2)切化弦,注意應(yīng)用公式的變形. (3)第一個(gè)式子的分子分母都是關(guān)于sin ，cos 的一次式，第二個(gè)式子的分母看成1，然后轉(zhuǎn)化為sin2 +cos2 ，此時(shí)分子分母都是關(guān)于sin ，cos 的二次式，利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan 的表達(dá)式求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)槭堑谒南笙藿牵瑂in = 所以cos = 故tan = (2)原式= 答案：1,(3) 答案：,【一題多解】解答本例題(3)，你還知道幾種解法？ 解答本題，還有以下兩種解法： 方法一：因?yàn)閠an = 所以sin = 所以,方法二：因?yàn)閠an = 所以sin = cos ， 又因?yàn)閟in2 +cos2 =1， 所以 由tan = 0,知是二、四象限角. 當(dāng)是第二象限角時(shí)， 此時(shí) 當(dāng)是第四象限角時(shí)，,此時(shí) 答案：,【規(guī)律方法】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法 (1)利用sin2 +cos2 =1可實(shí)現(xiàn) 的正弦、余弦的互化，利用 =tan 可以實(shí)現(xiàn)角 的弦切互化. (2)關(guān)系式的逆用及變形用：1=sin2 +cos2 ，sin2 =1-cos2 ， cos2 =1-sin2 . (3)sin ，cos 的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sin ， cos 的齊次式，或含有sin2，cos2及sin cos 的式子求值時(shí)， 可將所求式子的分母看作“1”，利用“sin2cos2=1”代換后轉(zhuǎn)化 為“切”后求解.,【變式訓(xùn)練】1.(2015·長沙模擬)化簡： =_. 【解析】原式= 答案： sin 2x,2.已知 則sin xcos x+cos2x=_. 【解析】由已知,得 解得tan x=2， 所以 答案：,【加固訓(xùn)練】1.(2015·?？谀M) 記cos(-80°)=k，那么tan 100° 等于( ) 【解析】選B.因?yàn)閏os(-80°)=cos 80°=k， 所以sin 80°= 所以tan 100°=-tan 80°=,2.化簡:cos4-sin4+1= . 【解析】原式=(cos2-sin2)(cos2+sin2)+1 =cos2-sin2+1 =2cos2. 答案:2cos2,考點(diǎn)3 誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用 知·考情 利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡求值是高考的重點(diǎn),常與三角恒等變換結(jié)合,達(dá)到化簡的目的,在高考中常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1：利用誘導(dǎo)公式求值 【典例3】(2014·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x+)= f(x)+sin x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)=0,則f( )=( ) 【解題提示】由函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系式，逐步降角，直到把 轉(zhuǎn)化到區(qū)間0，)上，再利用當(dāng)0x時(shí)，f(x)=0求值.,【規(guī)范解答】選A.由f(x+)=f(x)+sin x,得 f(x+2)=f(x+)+sin(x+) =f(x)+sin x-sin x=f(x), 所以f( )=f( ) =f( )=f( ) =f( )+sin . 因?yàn)楫?dāng)0x時(shí),f(x)=0. 所以,命題角度2：綜合利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式求值 【典例4】(2015·衡水模擬)已知 且- ，則cos( -)等于( ) 【解題提示】明確 +與 -的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，求值時(shí)要注意角的范圍.,【規(guī)范解答】選D.因?yàn)?所以cos( -)= sin =sin( +).因?yàn)?0，所以 所以,悟·技法 1.誘導(dǎo)公式用法的一般思路 (1)化大角為小角. (2)角中含有加減 的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉 的整數(shù)倍. 2.常見的互余和互補(bǔ)的角 (1)常見的互余的角： -與 +; +與 -; +與 -等. (2)常見的互補(bǔ)的角： +與 -; +與 -等.,3.三角函數(shù)式化簡的方向 (1)切化弦，統(tǒng)一名. (2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角. (3)用因式分解將式子變形，化為最簡.,通·一類 1.(2015·合肥模擬)設(shè)f(x)=cos(-x)+2cos 2x+3cos 4x+4cos 5x，則f( )=( ) 【解析】選D.f( )= = =,2.(2015·汕頭模擬)已知sin(3-)=-2sin( +)，則 sin cos 等于( ) 【解析】選A.因?yàn)閟in(3-)=sin(-)=-2sin( +)， 所以sin =-2cos ，所以tan =-2， 所以,3.(2015·福州模擬)計(jì)算： =_. 【解析】原式= = = 答案：-1,巧思妙解5 巧用平方關(guān)系求值 【典例】(2015·西安模擬)已知sin +cos = ，(0，)，則tan =_. 【常規(guī)解法】 由 消去cos 整理得， 25sin2-5sin -12=0.,解得sin = 或sin = 因?yàn)?0，)， 所以sin = 又由sin cos = 得， cos = 所以tan = 答案：,【巧妙解法】 因?yàn)閟in +cos = , 所以(sin +cos )2=1+2sin ·cos = 即2sin ·cos = 所以(sin -cos )2=1-2sin ·cos = 又2sin ·cos = 0，0， 所以sin 0，cos 0，,即sin -cos 0， 故sin -cos = 聯(lián)立得 所以tan = 答案：,【方法指導(dǎo)】平方關(guān)系的靈活應(yīng)用 (1)根據(jù)平方關(guān)系sin2 +cos2 =1，三者：sin +cos ， sin cos ，sin -cos 中知道一個(gè)就可求另外兩個(gè). (2)開方求sin +cos ，或sin -cos 時(shí)，一定要注意角的取值范圍對(duì)其值符號(hào)的影響.,【類題試解】已知sin -cos = ,(0,),則sin 2=( ) 【常規(guī)解法】選A.由 消去cos 整理得2sin2- sin +1=0，解得sin = 又由sin -cos = 得，cos = ,故sin 2=2sin cos =-1.,【巧妙解法】選A.將等式sin -cos = 兩邊平方，整理得sin2+cos2-2sin cos =22sin cos =-1sin 2=-1.,