第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)周期函數(shù): 周期函數(shù):對于函數(shù)f(x),如果存在一個_,使得當(dāng)x取_ _內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期 函數(shù),_叫做這個函數(shù)的周期. 最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個_ _,那么這個_就叫做f(x)的最小正周期.,非零常數(shù)T,定,義域,非零常數(shù)T,最小的正,數(shù),最小正數(shù),(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì):,R,R,-1，1,-1，1,R,x|xR且x + k，kZ,(kZ),(kZ),2k-，,2k(kZ),2k，2k+,(kZ),(kZ),2k(kZ),+2k(kZ),(k，0)，,kZ,x=k，kZ,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 對稱與周期 正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是 周期. 正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:數(shù)形結(jié)合法. (2)數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合. (3)記憶口訣:正(余)弦曲線,都是一條波浪線 波峰取得最大值,波谷處見最小值 波峰、波谷相連間,要么遞增要么減 兩條曲線很完美,中心對稱軸對稱,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)正弦函數(shù)y=sin x在其任一周期內(nèi)都只有一個增區(qū)間,一個減區(qū)間.( ) (2)余弦函數(shù)y=cos x的對稱軸是y軸.( ) (3)正切函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).( ) (4)若非零實數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期,則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.( ),【解析】(1)錯誤.如正弦函數(shù)y=sin x在0,2)上有兩個增區(qū)間 0, 和 ,2)(2)錯誤余弦函數(shù)y=cos x的對稱軸有無窮多 條，y軸只是其中的一條.(3)錯誤正切函數(shù)y=tan x在每一個區(qū)間 (k- ,k+ )(kZ)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函 數(shù)，故不是增函數(shù).(4)正確.周期函數(shù)的周期不只一個，其某一周期 的非零整數(shù)倍全是其周期 答案：(1)× (2)× (3)× (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P40T3(2)改編)函數(shù)f(x)=4-2cos x的最小值是_，取得最小值時，x的取值集合為_. 【解析】f(x)min=4-2=2,此時， x=2k(kZ),x=6k(kZ),所以x的取值集合為x|x=6k,kZ 答案：2 x|x=6k,kZ,(2)(必修4P44例6改編)函數(shù)y=tan( )的最小正周期是_,單調(diào)增區(qū)間是_. 【解析】 由 ,得 x ,即函數(shù)的增區(qū)間是 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·陜西高考)函數(shù)f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是( ) 【解析】選B.由 ,故B正確.,(2)(2014·福建高考)將函數(shù)y=sin x的圖象向左平移 個單位，得到函數(shù)y=f(x)的函數(shù)圖象，則下列說法正確的是( ) A.y=f(x)是奇函數(shù) B.y=f(x)的周期是 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(- ，0)對稱,【解析】選D.將函數(shù)y=sin x的圖象向左平移 個單位, 得到函數(shù) y=sin(x+ )=cos x的圖象該函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯；周期為2， 故B錯；該函數(shù)圖象的對稱軸為x=k(kZ)，故C錯；對稱中心為 ( +k,0)(kZ)，故D正確,(3)(2015·長春模擬)已知0,0，直線x= 和x= 是函數(shù)f(x)=sin(x)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則=( ) 【解析】選A.由于直線x= 和x= 是函數(shù)f(x)=sin(x)圖象的兩條相鄰的對稱軸，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2，所以=1，所以 =k (kZ).又0，所以=,考點1 三角函數(shù)的定義域及簡單的三角不等式 【典例1】(1)函數(shù)f(x)=-2tan(2x+ )的定義域是( ) (2)不等式 +2cos x0的解集是_. (3)函數(shù)f(x)= +log2(2sin x-1)的定義域是_.,【解題提示】(1)利用正切函數(shù)的定義域求解. (2)利用余弦函數(shù)的圖象求解. (3)由題意列不等式組求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.由正切函數(shù)的定義域，得 即 (kZ)，故選D. (2)由 +2cos x0, 得cos x 由余弦函數(shù)的圖象，得 在一個周期-,上，不等式cos x 的解集為x|- x 故原不等式的解集為 答案：,(3)由題意，得 由得-8x8,由得sin x ,由正弦曲線得 +2kx +2k(kZ). 所以不等式組的解集為 答案：,【易錯警示】解答本例(3)有三點容易出錯： (1)考慮問題不全面致錯. (2)列錯不等式2sin x-10,或解錯不等式2sin x-10. (3)不知道辨析大小而取錯交集，導(dǎo)致答案錯誤.,【互動探究】本例(2)改為求不等式 +2cos x0的解集，如何求？ 【解析】由 +2cos x0,得cos x 由余弦函數(shù)的圖象得，其解集為,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)定義域的求法 (1)應(yīng)用正切函數(shù)y=tan x的定義域求函數(shù)y=Atan (x+)的定義域. (2)轉(zhuǎn)化為求解簡單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域. 2.簡單三角不等式的解法 (1)利用三角函數(shù)線求解. (2)利用三角函數(shù)的圖象求解.,【變式訓(xùn)練】(2015·深圳模擬)函數(shù) 的定義域為_. 【解析】要使函數(shù)有意義，必須使sin x-cos x0. 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上y=sin x和y=cos x的圖象，如圖所示.,在0,2內(nèi)，滿足sin x=cos x的x為 再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域為 答案：,【加固訓(xùn)練】函數(shù) 的定義域是_. 【解析】由1-tan2x0得tan2x1,即-1tan x1,由正切函數(shù)的圖象得不等式的解集為 答案：,考點2 三角函數(shù)的最值與值域 【典例2】(1)函數(shù)y=-2sin x-1,x )的值域是( ) A.-3,1 B.-2,1 C.(-3,1 D.(-2,1 (2)(2015·成都模擬)函數(shù)y=cos2x-2sin x的最大值與最小值分別 為( ) A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2,【解題提示】(1)弄清角x的取值范圍，結(jié)合正弦曲線求解. (2)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值. 【規(guī)范解答】(1)選D.由正弦曲線知y=sin x在 )上，-1 sin x ,所以函數(shù)y=-2sin x-1,x )的值域是(-2,1.,(2)選D.y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1, 令t=sin x,則t-1,1, y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax=2,ymin=-2.,【互動探究】本例(2)中，若x ，試求函數(shù)的值域. 【解析】因為y=cos2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1. 令t=sin x,則t , y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax= ,ymin= 故函數(shù)的值域是 .,【規(guī)律方法】三角函數(shù)最值或值域的三種求法 (1)直接法：利用sin x，cos x的值域. (2)化一法：化為y=Asin(x)k的形式，確定x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域. (3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求給定區(qū)間上的值域(最值)問題.,【變式訓(xùn)練】1.(2015·青島模擬)函數(shù)y=2sin( )(0x9)的最大值與最小值之和為( ) 【解析】選A.利用三角函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值. 因為0x9，所以 所以 所以y- ，2，所以ymaxymin=2- .,2.函數(shù)y=-2cos( )+1的最大值是_,此時x的取值集合為_. 【解析】ymax=-2×(-1)+1=3， 此時， =2k+,即x=4k+ (kZ). 答案：,【加固訓(xùn)練】1.函數(shù)y=sin x-cos xsin xcos x，x0，的最小值是_. 【解析】設(shè)sin x-cos x=t， 因為x0，所以 所以t-1， ，sin xcos x= 所以 當(dāng)t=-1時，ymin=-1. 答案：-1,2.函數(shù) 的值域為_. 【解析】由 ，得 因為-1cos x1，所以-1 1，解得 因此，原函數(shù)的值域為 答案：,【一題多解】本題還可如下求解： 因為-1cos x1,所以12-cos x3. 即原函數(shù)的值域為 答案：,考點3 三角函數(shù)的性質(zhì) 知·考情 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的取值范圍，以及對三角函數(shù)奇偶性的考查是高考的重點，每年必考，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1：三角函數(shù)的奇偶性與周期性 【典例3】(2015·吉林模擬)函數(shù) 是( ) A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù) C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù) 【解題提示】利用二倍角公式降冪化簡再判斷.,【規(guī)范解答】選A. 則函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù).,命題角度2：三角函數(shù)的單調(diào)性 【典例4】(2015·石家莊模擬)若f(x)=2sin x+1(0)在區(qū)間 上是增函數(shù)，則的取值范圍是_. 【解題提示】根據(jù) 是相應(yīng)增區(qū)間的子集構(gòu)造不等式求解.,【規(guī)范解答】由 得f(x)的增區(qū)間是 因為f(x)在 上是增函數(shù)， 所以 所以 且 ，所以 答案：,【一題多解】解答本題，還有以下兩種解法: 方法一：因為x ,0. 所以x , 又f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù)， 所以 則 又0， 得0,方法二：因為f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù)，故原點到 的距離不超過 ，即 得T ,即 ,又0， 得0 答案：(0, ,悟·技法 1.奇偶性與周期性的判斷方法 (1)奇偶性：由正、余弦函數(shù)的奇偶性可判斷y=Asin x和 y=Acos x分別為奇函數(shù)和偶函數(shù). (2)周期性：利用函數(shù)y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(0)的周 期為 ,函數(shù)y=Atan(x+)(0)的周期為 求解.,2.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解. (2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間. 提醒：求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域.,3.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法 (1)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解. (2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解. (3)周期法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超 過 周期列不等式(組)求解.,通·一類 1.(2015·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)=4sin( -2x),x-,0,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( ),【解析】選C.f(x)= 由 (kZ)，得 所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是 (kZ). 因為x-,0, 所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是,2.(2015·福州模擬)函數(shù)f(x)=sin(x- )的圖象的一條對稱軸是( ) 【解析】選C.方法一：(圖象特征) 因為正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點， 故令x- =k ，kZ，所以x=k ，kZ. 取k=-1，則,方法二：(驗證法) x= 時，sin( - )=0，不合題意，排除A；x= 時， sin( - )= ，不合題意，排除B；x=- 時，sin(- - )=-1，符合題意，C項正確；而x=- 時，sin(- - )= 不合題意，故D項也不正確.,3.(2015·銀川模擬)已知函數(shù)f(x)=sin( )(xR),下面結(jié)論錯誤的是( ) A.函數(shù)f(x)的最小正周期為 B.函數(shù)f(x)是偶函數(shù) C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間0, 上是增函數(shù),【解析】選C.f(x)=sin(2x+ )=-cos 2x,故其最小正周期為,故A 正確；易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，B正確；由函數(shù)f(x)=-cos 2x的圖象 可知，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x= 對稱，C錯誤；由函數(shù)f(x)的 圖象易知，函數(shù)f(x)在0, 上是增函數(shù)，D正確.,4.(2015·承德模擬)若函數(shù)f(x)=sin x(0)在0, 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，則=_. 【解析】方法一：由于函數(shù)f(x)=sin x(0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，由已知并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知， 為函數(shù)f(x)的 周期， 故 ,解得 方法二：由題意，得f(x)max=f( )=sin =1. 由已知并結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知， 解得 答案：,巧思妙解6 巧用誘導(dǎo)公式解決奇偶性問題 【典例】(2015·合肥模擬)把函數(shù)f(x)=sin(2x+)(0)的圖象向右平移 個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則的值 為( ),【常規(guī)解法】選D.平移后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是g(x)= sin2(x- )+=sin(2x+- ),由題意得，g(x)是偶函數(shù)，所以對xR,g(-x)=g(x)恒成立， 因此sin(-2x+- )=sin(2x+- ), 即-sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- ) =sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- )， 整理得sin 2xcos(- )=0.,因為xR,所以cos(- )=0.又因為0, 故- = .所以=,【巧妙解法】選D.平移后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是g(x)= sin2(x- )+=sin(2x+- )， 由題意，g(x)是偶函數(shù). 所以- = +k(kZ) 即= +k(kZ)， 因為0， 所以= .,【方法指導(dǎo)】 1.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 (1)應(yīng)用誘導(dǎo)公式把正弦化為余弦，如sin( +x)=cos x,sin( -x)=cos x,sin( +k+x)= (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式把余弦化為正弦，如cos( +x)=-sin x, cos( -x)=sin x,cos( +k+x)=,2.正、余弦型函數(shù)奇偶性的判斷技巧 函數(shù)y=sin(x+)，當(dāng)=k+ 時是偶函數(shù). 函數(shù)y=cos(x+),當(dāng)=k+ 時是奇函數(shù).,【類題試解】(2015·昆明模擬)若函數(shù)f(x)=cos(2x+- ) (0)是奇函數(shù)，則=_. 【常規(guī)解法】因為f(x)為奇函數(shù)， 所以對xR,f(-x)=-f(x)恒成立， 因此cos(-2x+- )=-cos(2x+- ). 即cos 2xcos(- )sin 2xsin(- )= -cos 2x cos(- )+sin 2xsin(- ),整理得cos 2xcos(- )=0. 因為xR,所以cos(- )=0. 又因為0，故- = ，所以= 答案：,【巧妙解法】因為f(x)為奇函數(shù), 所以- = +k,= +k,kZ. 又因為0,故= . 答案：,