第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式: C(-):cos(-)=_. C(+):cos(+)=_. S(+):sin(+)=_. S(-):sin(-)=_.,coscos+sinsin,coscos-sinsin,sincos+cossin,sincos-cossin,T(+):tan(+)=_(,+ +k,kZ). T(-):tan(-)=_(,- +k,kZ).,(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2:sin2=_. C2:cos2=_=_=_. T2:tan2=_(± +k,且k+ ,kZ).,2sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)降冪公式:cos2= ,sin2= (2)升冪公式:1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2. (3)公式變形:tan±tan=tan(±)(1tan·tan). 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:整體代入法,配湊法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化化歸思想.,(3)記憶口訣: 余余正正符號(hào)異, 正余余正符號(hào)同, 二倍角,數(shù)余弦, 找聯(lián)系,抓特點(diǎn), 牢記憶,用不難.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.( ) (2)存在實(shí)數(shù),使等式sin(+)=sin+sin成立.( ) (3)公式tan(+)= 可以變形為tan+tan= tan(+)(1-tantan),且對(duì)任意角,都成立.( ) (4)存在實(shí)數(shù),使tan 2=2tan.( ),【解析】(1)正確.對(duì)于任意的實(shí)數(shù),兩角和與差的正弦、余弦公式都成立. (2)正確.如取=0,因?yàn)閟in0=0, 所以sin(+0)=sin=sin+sin0. (3)錯(cuò)誤.變形可以,但不是對(duì)任意角,都成立. ,+k+ ,kZ. (4)正確.當(dāng)=k(kZ)時(shí),tan 2=2tan. 答案:(1) (2) (3)× (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4人教AP130例4T(1)改編)sin108°cos42°-cos72°sin42°= . 【解析】原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42° =sin72°cos42°-cos72°sin42° =sin(72°-42°)=sin30°= . 答案:,(2)(必修4人教AP137A組T5改編)已知 則cos =_.,【解析】因?yàn)?答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·上海高考)函數(shù)y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 . 【解析】y=-2cos2(2x)-1=-cos4x, 所以函數(shù)的最小正周期T= . 答案:,(2)(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)函數(shù)f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+) 的最大值為 . 【解析】因?yàn)閒(x)=sin(x+2)-2sincos(x+) =sin(x+)·cos+cos(x+)·sin-2sincos(x+) =sin(x+)·cos-cos(x+)·sin =sinx1.所以f(x)max=1. 答案:1,考點(diǎn)1 化簡(jiǎn)與計(jì)算 【典例1】(1)(2015·合肥模擬)cos(+)cos+ sin(+)sin=( ) A.sin(+2) B.sin C.cos(+2) D.cos (2)計(jì)算tan25°+tan35°+ tan25°·tan35°= . (3) 的化簡(jiǎn)結(jié)果是 .,【解題提示】(1)逆用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn). (2)觀察式子的特點(diǎn),逆用兩角和的正切公式計(jì)算. (3)應(yīng)用二倍角的正、余弦公式化簡(jiǎn).,【規(guī)范解答】(1)選D.cos(+)cos+sin(+)sin =cos(+)-=cos. (2)因?yàn)閠an(25°+35°)= 所以tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°) = - tan25°tan35°, 所以tan25°+tan35°+ tan25°·tan35° = - tan25°tan35°+ tan25°tan35°= . 答案:,(3)原式= =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|, 因?yàn)?所以cos 40,且sin 4cos 4, 所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 答案:-2sin 4,【易錯(cuò)警示】解答本例(3)有三點(diǎn)容易出錯(cuò): (1)想不到應(yīng)用二倍角公式,不能把根號(hào)下的式子化為完全平方式. (2)把4°與4弧度混淆,導(dǎo)致開(kāi)方出錯(cuò). (3)忽略討論cos4的符號(hào)及sin4與cos4的大小而直接開(kāi)方導(dǎo)致出錯(cuò).,【互動(dòng)探究】對(duì)于本例(2),試化簡(jiǎn)tan+tan(60°-)+ tantan(60°-). 【解析】因?yàn)閠an+(60°-)= 所以tan+tan(60°-) =tan60°1-tan·tan(60°-) = - tan·tan(60°-), 故原式= - tan·tan(60°-)+ tan·tan(60°-) = .,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的要求 (1)能求出值的應(yīng)求出值. (2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少. (3)盡量使項(xiàng)數(shù)最少. (4)盡量使分母不含三角函數(shù). (5)盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù).,2.特殊角的三角函數(shù)值的逆用 當(dāng)式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí),往往就是“由值變角”的一種提示.可以根據(jù)問(wèn)題的需要,將常用三角函數(shù)式表示出來(lái),構(gòu)成適合公式的形式,從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.,【變式訓(xùn)練】1.化簡(jiǎn)sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-) = . 【解析】原式=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-) =sin(+)+(-) =sin(+). 答案:sin(+),2.(2015·西寧模擬)計(jì)算: = . 【解析】 =tan(45°-15°)=tan30°= . 答案:,【加固訓(xùn)練】1.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】選C.原式=,2.化簡(jiǎn)： =_. 【解析】 答案：,3.計(jì)算 =_. 【解析】因?yàn)閠an(20°+40°)= 所以tan 20°+tan 40°= (1-tan 20°tan 40°), 所以原式= 答案：-,考點(diǎn)2 三角函數(shù)求值 【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)計(jì)算 的值為( ) (2)計(jì)算:4sin40°-tan40°= . (3)(2015·成都模擬)計(jì)算cos40°(1+ tan10°)= .,【解題提示】(1)利用誘導(dǎo)公式化大角為小角,然后逆用二倍角公式求值. (2)切化弦,通分化簡(jiǎn)求值. (3)切化弦,通分,注意逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式.,【規(guī)范解答】(1)選A.原式=,答案：1,【一題多解】解答本例(2)，你還有其他解法嗎？ 解答本例(2)還可有如下解法： 原式=4sin 40°- 答案：,【規(guī)律方法】給角求值問(wèn)題的三個(gè)變換技巧 (1)變角:分析角之間的差異,巧用誘導(dǎo)公式把大角統(tǒng)一到小角上來(lái),或把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和. (2)變名:盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱,?；覟榍? (3)變式:觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡(jiǎn). 提醒:“變式”時(shí)常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.,【變式訓(xùn)練】(2015·南寧模擬)計(jì)算： =_. 【解析】 答案：2,【加固訓(xùn)練】1.(2015·昆明模擬)計(jì)算： =( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 【解析】選D.,2.(2015·三明模擬)計(jì)算： _,【解析】原式 答案：,考點(diǎn)3 三角函數(shù)的條件求值 知·考情 利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),常與平面向量的知識(shí)相結(jié)合,題型是三種類型都有,但近幾年常以解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:與平面向量相結(jié)合的條件求值 【典例3】(2014·陜西高考改編)設(shè)0 ,向量a=(sin2, cos),b=(1,-cos),若a·b=0,則sin2+cos2= . 【解題提示】先由向量的運(yùn)算得到sin與cos的關(guān)系,再由此關(guān)系式確定方向,求sin2+cos2的值.,【規(guī)范解答】因?yàn)閍·b=0,所以sin2-cos2=0,即2sincos =cos2.因?yàn)?0, ),所以2sin=cos,即tan= , 所以sin2+cos2= 答案:,命題角度2：三角函數(shù)的給值求值 【典例4】(2014·江蘇高考)已知( ,),sin = (1)求sin( +)的值. (2)求cos( -2)的值. 【解題提示】(1)先由條件求cos 的值，再求sin( +)的值. (2)由sin ,cos 的值，先求sin 2,cos 2的值,再求 cos( -2)的值.,【規(guī)范解答】(1)由題意cos = 所以sin( +)=sin cos +cos sin ,命題角度3：和函數(shù)相結(jié)合的條件求值 【典例5】(2014·廣東高考)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+ )，xR， 且 (1)求A的值. (2)若f()+f()= ,(0, )，求f( ). 【解題提示】(1)屬于給角求值問(wèn)題，把 代入解析式求得A. (2)利用兩角和與差的正弦和誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.,【解析】(1)由 (2)f()+f()=,悟·技法 1.與向量有關(guān)的求值問(wèn)題的解法 三角函數(shù)的求值問(wèn)題常與向量的坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)聯(lián),這類問(wèn)題需要先用向量公式進(jìn)行運(yùn)算后,再用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值. 2.給值求值問(wèn)題的解法 已知條件下的求值問(wèn)題常先化簡(jiǎn)需求值的式子,再觀察已知條件與所求值的式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手),最后將已知條件及其變形代入所求式子,化簡(jiǎn)求值.,3.和三角函數(shù)相結(jié)合的條件求值的解法 該類問(wèn)題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,然后把已知條件代入函數(shù)解析式化簡(jiǎn)并求相關(guān)的值,變形成要求的式子并代入前面所求的值計(jì)算.,通·一類 1.(2013·江西高考改編)若 則cos2= . 【解析】因?yàn)?所以cos= cos2=2cos2-1= 答案:-,2.(2015·大同模擬)已知向量a=(4,5cos),b=(3,-4tan). 若ab,且(0, ),則cos(2- )= .,【解析】因?yàn)閍b，所以a·b0， 即12-20cos ·tan 0，所以12-20sin 0，即sin 因?yàn)?0， )，所以cos 所以sin 22sin cos ，cos 21-2sin2 所以cos(2- )cos 2·cos +sin 2·sin 答案：,3.(2014·四川高考改編)已知函數(shù)f(x)=sin(3x+ ).若是第二象 限角，f( )= cos(+ )cos 2，求cos -sin 的值.,【解析】由已知，有sin(+ )= cos(+ )cos 2, 所以sin cos +cos sin = (cos cos -sin sin )(cos2-sin2), 即sin +cos = (cos -sin )2(cos +sin ). 當(dāng)sin +cos =0時(shí)，由是第二象限角， 知=2k+ (kZ), 此時(shí)cos -sin =cos -sin =- .,當(dāng)sin +cos 0時(shí)，有(cos -sin )2= ，由是第二象 限角，知cos -sin 0，此時(shí)cos -sin =- 綜上，cos -sin =- 或cos -sin =-,自我糾錯(cuò)10 條件求值問(wèn)題 【典例】(2015·南京模擬)已知sin（x- ）= ,x(,2)， 則 =_.,【解題過(guò)程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過(guò)程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:解題過(guò)程忽視了角的取值范圍,誤以為cos(x- )是正值,符號(hào)之差導(dǎo)致下面的答案錯(cuò)誤.,【規(guī)避策略】 1.注意角的取值范圍 已知某一角的正(余)弦值,求該角的余(正)弦值時(shí),涉及開(kāi)方運(yùn)算,需注意角的取值范圍.,2.弄清角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式 常見(jiàn)的角的關(guān)系， +x與 -x互余， +x與 -x互余，2x與 -2x 互余， +x= +(x- ), +x= +(x+ )等.弄清常見(jiàn)角的關(guān)系， 靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式變形后可整體代入求值.,【自我矯正】因?yàn)閤(,2), 所以 又 所以 所以,答案：-,