第六節(jié) 簡單的三角恒等變換,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填,2sin2,2cos2,2,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)輔助角公式 asinx+bcosx=_sin(x+), 其中sin= ,cos= . (2)tan =,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:整體代入法、數(shù)形結(jié)合法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化化歸,函數(shù)與方程.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)當(dāng)是第一象限角時, ( ) (2)對任意角, 都成立.( ) (3)半角的正余弦公式實質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來 的.( ) (4)公式 中的取值與a,b的值有關(guān).( ),【解析】(1)錯誤.在第一象限時, 在第一或第三象限. 當(dāng) 在第一象限時, ,當(dāng) 在第三象限時, (2)錯誤.此式子必須使tan 有意義且1+cos0.即 k+ 且2k+,即(2k+1)(kZ). (3)正確.由半角公式推導(dǎo)過程可知正確. (4)正確.由 可知的取值與a,b的值有關(guān). 答案:(1)× (2)× (3) (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P142 T4(2)改編)函數(shù)y=2cos2 +1的最小正周期為 . 【解析】因為y=2· +1=cos x+2, 所以函數(shù)的最小正周期T= =4. 答案:4,(2)(必修4 P143B組T2改編)若sin80°=m,則用含m的式子表示cos5°= . 【解析】由題意,得sin80°=cos10°=m, 又cos10°=2cos25°-1, 所以2cos25°-1=m,cos25°= 所以cos5°= 答案:,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·合肥模擬)已知cos ，(，2)，則cos 等于( ) 【解析】選B.因為cos ，(，2)，所以 ( ，)，所以,(2)(2014·山東高考)函數(shù)y= sin 2x+cos2x的最小正周期為_. 【解析】因為y= sin 2x+cos2x= sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ ，所以T= =. 答案：,考點1 利用三角恒等變換化簡與證明 【典例1】(1)(2015·棗莊模擬)化簡:sin2·sin2+cos2· cos2- cos2·cos2= . (2)證明:cos-cos= 【解題提示】(1)可以從統(tǒng)一角入手進(jìn)行化簡. (2)聯(lián)想兩角和與差的余弦公式,進(jìn)行整體變換證明.,【規(guī)范解答】(1)方法一:(從“角”入手,倍角單角) 原式=sin2·sin2+cos2·cos2- ·(2cos2-1)· (2cos2-1) =sin2·sin2+cos2·cos2- (4cos2·cos2- 2cos2-2cos2+1) =sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2- =sin2·sin2+cos2·sin2+cos2- =sin2+cos2- =1- = .,方法二(從“角”入手,單角倍角) 原式= - cos2·cos2 = (1+cos2·cos2-cos2-cos2)+ (1+cos2·cos2+ cos2+cos2)- ·cos2·cos2 = . 答案:,(2)因為cos(+)=coscos-sinsin, cos(-)=coscos+sinsin, 所以兩式相減,得cos(+)-cos(-)=-2sinsin, 令+=,-=, 則 所以cos-cos=,【一題多解】解答本例(1),(2),還有其他方法嗎? 解答本題(1),還可以從統(tǒng)一名稱和式子的形式的變化入手進(jìn)行化簡. 方法一:(從“名”入手,異名化同名) 原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2- cos2·cos2 =cos2-sin2(cos2-sin2)- cos2·cos2 =cos2-sin2·cos2- cos2·cos2 =cos2-cos2·（sin2+ cos2）,方法二:(從“形”入手,利用配方法,先對二次項配方) 原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos· cos- cos2·cos2 =cos2(+)+ sin2·sin2- cos2·cos2 =cos2(+)- ·cos(2+2) =cos2(+)- ·2cos2(+)-1= . 答案:,解答本例(2),還可從式子的變形入手進(jìn)行證明. 證明:因為原式右=,=- (1+cos -cos -cos cos )-(1-cos +cos - cos cos )=- (2cos -2cos ) =cos -cos =左， 所以原等式成立，即cos -cos =,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式的化簡遵循的三個原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式. (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”. (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.,2.三角函數(shù)式化簡的方法 弦切互化,異名化同名,異角化同角;降冪或升冪. 在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次.,【變式訓(xùn)練】化簡: (0)=_.,【解析】原式= 因為00, 所以原式=-cos . 答案：-cos ,【加固訓(xùn)練】1.化簡 =( ) A.sin B.cos C.tan D. 【解析】選C.原式=,2.化簡： _.,【解析】原式 答案： cos 2x,考點2 三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用 【典例2】(2015·西安模擬)如圖,現(xiàn)要在一塊 半徑為1 m,圓心角為 的扇形白鐵片AOB上剪 出一個平行四邊形MNPQ,使點P在弧AB上,點Q 在OA上,點M,N在OB上,設(shè)BOP=,平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. (2)求S的最大值及相應(yīng)的角.,【解題提示】(1)雖然P點變化但OP不變,通過構(gòu)造 與角所在的直角三角形,將平行四邊形的底和高用角表示,從而求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.(2)利用三角恒等變換先化簡,再求S的最大值及相應(yīng)的角.,【規(guī)范解答】(1)分別過P,Q作PDOB于D,QEOB于E,則四邊形QEDP為矩形. 由扇形半徑為1m,得PD=sin,OD=cos. 在RtOEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DE=OD-OE=cos- sin, S=MN·PD=(cos- sin)·sin =sincos- sin2,(0, ).,【互動探究】在本例中若點M與O重合,圖形變?yōu)槿鐖D,記平行四邊形ONPQ的面積為S.求S的最大值.,【解析】如圖,過P作PDOB于D,則 由扇形半徑為1m,得PD=sin,OD=cos, 在RtPND中,因為PND=AOB= , 所以ND= PD= sin, ON=OD-ND=cos- sin, S=ON·PD=(cos- sin)·sin,【易錯警示】解答本題有三點容易出錯: (1)不知平行四邊形的面積公式,無從下手,導(dǎo)致不會解答. (2)不會化簡所求關(guān)系式致誤. (3)忽視的取值范圍致誤.,【規(guī)律方法】三角函數(shù)應(yīng)用題的處理方法 (1)結(jié)合具體圖形引進(jìn)角為參數(shù),利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行化簡,解決最優(yōu)化問題. (2)解決三角函數(shù)應(yīng)用問題和解決一般應(yīng)用性問題一樣,先建模,再討論變量的范圍,最后作出結(jié)論并回答問題.,【加固訓(xùn)練】1.(2015·吉林模擬)已知直線l1l2,A是l1,l2之間的一定點,并且A點到l1,l2的距離分別為h1,h2,B是直線l2上一動點,作ACAB,且使AC與直線l1交于點C,則ABC面積的最小值為 .,【解析】如圖,設(shè)ABD=,則CAE=,AB= ,AC= . 所以SABC= ·AB·AC= 當(dāng)2= ,即= 時,SABC的最小值為h1h2. 答案:h1h2,2.(2015·?？谀M)如圖所示,已知OPQ是半徑為1,圓心角為 的扇形,ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,B,C兩點在圓弧上,OE是POQ的平分線,連接OC,記COE=,問:角為何值時矩形ABCD面積最大,并求最大面積.,【解析】設(shè)OE交AD于M,交BC于N,顯然矩形ABCD關(guān)于OE對稱,而M,N均為AD,BC的中點, 在RtONC中,CN=sin,ON=cos. = sin, 所以MN=ON-OM=cos- sin, 即AB=cos- sin,又BC=2CN=2sin,故S矩形=AB·BC=(cos- sin)·2sin =2sincos-2 sin2=sin2- (1-cos2) =sin2+ cos2- = 因為0 ,所以02 , 2+ ,故當(dāng)2+ = , 即= 時,S矩形取得最大值,此時S矩形=2- .,考點3 三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用 知·考情 利用三角恒等變換將三角函數(shù)式化簡后研究其圖象及性質(zhì)是高考的熱點.在高考中常以解答題的形式出現(xiàn),重點考查三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期、奇偶性、對稱性等問題.,明·角度 命題角度1:利用三角恒等變換研究函數(shù)的圖象變換 【典例3】(2014·浙江高考)為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象, 可以將函數(shù)y= sin3x的圖象( ) A.向右平移 個單位 B.向左平移 個單位 C.向右平移 個單位 D.向左平移 個單位 【解題提示】由函數(shù)y=Asin(x+)的圖象平移與變換解決.,【規(guī)范解答】選D.因為y=sin 3x+cos 3x 故只需將y= sin 3x的圖象向左平移 個單位即可.,命題角度2：利用三角恒等變換研究三角函數(shù)的性質(zhì) 【典例4】(2014·福建高考)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x) . (1)若0 ，且sin = ，求f()的值. (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【解題提示】(1)先由平方關(guān)系式求出cos ,再代入求f(x)的值. (2)運用降冪公式，輔助角公式進(jìn)行化簡，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解,【規(guī)范解答】方法一：(1)因為0 ,sin = , 所以cos = . 所以f()=,(2)因為f(x)=sin xcos x+cos2x-,方法二：f(x)=sin xcos x+cos2x-,悟·技法 求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟 (1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的形式. (2)利用公式T= (0)求周期.,(3)根據(jù)自變量的范圍確定x+的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時,根據(jù)所給關(guān)系式的特點,也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值. (4)根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的單調(diào)區(qū)間.,通·一類 1.(2013·湖北高考)將函數(shù)y= cosx+sinx(xR)的圖象向左平 移m(m0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值 是( ) 【解析】選B.由已知 當(dāng)m= 時,平移后函數(shù)為y=2sin(x+ )=2cosx,其圖象關(guān)于y軸對稱,且此時m最小.,2.(2013·江西高考)函數(shù)y=sin2x+2 sin2x的最小正周期T 為 . 【解析】因為y=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+ =2sin(2x- )+ ,所以最小正周期T= =. 答案:,3.(2014·天津高考)已知函數(shù)f(x)=cosx·sin(x+ )- cos2x+ xR. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在閉區(qū)間 上的最大值和最小值. 【解題提示】(1)利用三角恒等變換把函數(shù)f(x)的解析式化為Asin(x+)+t的形式,從而求最小正周期. (2)根據(jù)x的取值范圍求最值.,【解析】(1)由已知，有f(x)=cos x·,規(guī)范解答3 三角恒等變換在研究函數(shù)中的應(yīng)用 【典例】(12分)(2013·陜西高考)已知向量a=(cos x,- ), b=( sin x,cos 2x),xR,設(shè)函數(shù)f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在0, 上的最大值和最小值.,解題導(dǎo)思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標(biāo)準(zhǔn) 體會規(guī)范 (1)f(x)=a·b=cos x· sin x cos 2x 2分 4分 最小正周期T= =. 所以f(x)= 的最小正周期為. 6分,8分 由正弦曲線y=sin x在 上的圖象知， 當(dāng)2x- ,即x= 時，f(x)取得最大值1; 當(dāng)2x- ,即x=0時，f(x)取得最小值- . 10分 所以，f(x)在 上的最大值和 最小值分別為1, . 12分,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭取滿分 1.化簡函數(shù)關(guān)系式 由已知條件列出函數(shù)關(guān)系式后(或?qū)σ阎暮瘮?shù)關(guān)系式)常先由三角恒等變換化簡函數(shù)關(guān)系式. 2.注意解題步驟的規(guī)范性 (1)求最值、單調(diào)區(qū)間或由值求角時一定要注意限定角的取值范圍； (2)涉及k或2k時要注意k的范圍，規(guī)范步驟，減少出錯； (3)注意題目最后的總結(jié)，保證步驟的完整性.,