第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)等差數(shù)列的概念: 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于_, 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_,一般 用字母d表示;定義的表達(dá)式為:_.,同一個(gè)常數(shù),公差,an+1-an=d(nN*),(2)等差中項(xiàng): 如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a,b的等差中項(xiàng),且A=_. (3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: 若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=_.,a1+(n-1)d,(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+_(n,mN*). (2)等差數(shù)列的性質(zhì): 若an是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則_; k+l=2m_(k,l,mN*). 若an,bn是等差數(shù)列,則pan+qbn(nN*)是等差數(shù)列. Sm,S2m,S3m分別為an的前m項(xiàng),前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,則Sm,S2m-Sm, _成等差數(shù)列.,(n-m)d,ak+al=am+an,ak+al=2am,S3m-S2m,兩個(gè)等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和Sn,Tn之間的關(guān)系為 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差數(shù)列的_條件. (3)等差數(shù)列的增減性:d0時(shí)為_數(shù)列,且當(dāng)a10時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值.,充分,遞增,遞減,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:整體代入法、待定系數(shù)法,等差數(shù)列的判定方法,求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大(小)值的方法等. (2)數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè) 數(shù)列是等差數(shù)列.( ) (2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ( ) (3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.( ),(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù). ( ) (5)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.若這些常數(shù)都相等,則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不全相等,這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列. (2)正確.如果數(shù)列an為等差數(shù)列,根據(jù)定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對(duì)任意nN*,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根據(jù)定義數(shù)列an為等差數(shù)列. (3)正確.當(dāng)d0時(shí)為遞增數(shù)列;d=0時(shí)為常數(shù)列;d0時(shí)為遞減數(shù)列. (4)錯(cuò)誤.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有當(dāng)d0時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才是n的一次函數(shù),否則不是.,(5)錯(cuò)誤根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 顯然只有公差d0時(shí)才是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)， 否則不是(甚至也不是n的一次函數(shù)，即a1=d=0時(shí)) 答案：(1)× (2) (3) (4)× (5)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P38例1(1)改編)已知等差數(shù)列-5,-2,1,則該數(shù)列的第20項(xiàng)為 . 【解析】依題意得,該等差數(shù)列的首項(xiàng)為-5,公差為3, 所以a20=-5+19×3=52,故第20項(xiàng)為52. 答案:52,(2)(必修5P46T5改編)在100以內(nèi)的正整數(shù)中有 個(gè)能被6整除 的數(shù). 【解析】由題意知,能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an, 則a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n100,即n 則在100以內(nèi)有16個(gè)能被6整除的數(shù). 答案:16,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·重慶高考)在等差數(shù)列an中,a1=2,a3+a5=10,則a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 【解析】選B.因?yàn)閍1+a7=a3+a5,所以a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.,(2)(2014·遼寧高考)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,若數(shù)列 為 遞減數(shù)列,則( ) A.d0 C.a1d0,【解析】選C.由數(shù)列 為遞減數(shù)列，得 又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得a1an-1a1an. 由等差數(shù)列的公差為d知,an-an-1=d, 所以a1an-1a1ana1an-a1an-10a1(an-an-1)0a1d0.,(3)(2015·長(zhǎng)春模擬)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S17為一確定常數(shù),則下列各式也為確定常數(shù)的是( ) A.a2+a15 B.a2·a15 C.a2+a9+a16 D.a2·a9·a16 【解析】選C.因?yàn)镾17為一確定常數(shù), 根據(jù)公式可知a1+a17為一確定常數(shù), 又a1+a17=a2+a16=2a9, 所以a2+a9+a16為一確定常數(shù),故選C.,(4)(2015·福州模擬)在等差數(shù)列an中,滿足3a4=7a7,且a10,Sn是數(shù)列an前n項(xiàng)的和,若Sn取得最大值,則n=( ) A.7 B.8 C.9 D.10,【解析】選C.設(shè)公差為d,由題設(shè)得3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以 解不等式an0,即 所以 則n9, 當(dāng)n9時(shí)，an0，同理可得n10時(shí)，an0. 故當(dāng)n=9時(shí)，Sn取得最大值.,考點(diǎn)1 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 【典例1】(1)(2014·福建高考改編)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=6,S3=12,則a6=( ) A.8 B.10 C.12 D.14 (2)(2015·杭州模擬)已知等差數(shù)列an,a10=30,a20=50. 求通項(xiàng)an;若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=242,求n的值.,【解題提示】(1)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式,求出首項(xiàng)及公差,再利用通項(xiàng)公式求出a6. (2)先求出基本量a1和d,再利用通項(xiàng)公式求解;利用前n項(xiàng)和公式解方程即可.,【規(guī)范解答】(1)選C.設(shè)公差為d,由題意知 解得 所以a6=a1+5d=12. (2)設(shè)公差為d,由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程組 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10； 由 得方程 解得n=11或n=-22(舍去).,【互動(dòng)探究】若例題(1)中的已知條件不變，求Sn. 【解析】由本例(1)可知 所以,【規(guī)律方法】 1.等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解. (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了方程的思想.,2.等差數(shù)列設(shè)項(xiàng)技巧 若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)中間三項(xiàng)為a-d,a,a+d;若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)中間兩項(xiàng)為a-d,a+d,其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.,【變式訓(xùn)練】(2014·浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差d0,設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn. (2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.,【解析】(1)由題意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36, 解得d=2或d=5(舍去). 所以 (2)由(1)知，am+am+1+am+2+am+k=(2m+k1)(k+1)， 所以(2m+k1)(k+1)=65， 由m,kN*知，2m+k1k+11，故 所以,【加固訓(xùn)練】1.(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】選C.方法一：由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因?yàn)?數(shù)列an為等差數(shù)列，所以d=am+1-am=1，又因?yàn)?所以m(a1+2)=0，因?yàn)閙0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5. 方法二：因?yàn)镾m-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，所以am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm= 3，所以公差d=am+1-am=1,由 由得 代入可得m=5.,方法三：因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn, 所以數(shù)列 也為等差數(shù)列. 所以 解得m=5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.故選C.,2.數(shù)列an滿足an+1+an=4n-3(nN*). (1)若an是等差數(shù)列,求其通項(xiàng)公式. (2)若an滿足a1=2,Sn為an的前n項(xiàng)和,求S2n+1.,【解析】(1)因?yàn)閍n+1+an=4n-3, 所以an+2+an+1=4n+1, 兩式相減得an+2-an=4. 因?yàn)閍n是等差數(shù)列, 設(shè)公差為d,所以d=2. 又因?yàn)閍1+a2=1,即a1+a1+d=1, 所以 所以,(2)因?yàn)閍1=2,a1+a2=1,所以a2=-1. 又因?yàn)閍n+2-an=4, 所以該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差均為4, 所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5. 所以S2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(a2+a4+a2n),考點(diǎn)2 等差數(shù)列的判定與證明 【典例2】(1)設(shè)an=(n+1)2,bn=n2-n(nN*),則下列命題中不正確的 是( ) A.an+1-an是等差數(shù)列 B.bn+1-bn是等差數(shù)列 C.an-bn是等差數(shù)列 D.an+bn是等差數(shù)列,(2)(2015·上海模擬)已知數(shù)列an,對(duì)于任意n2,在an-1與an之間插入n個(gè)數(shù),構(gòu)成的新數(shù)列bn成等差數(shù)列,并記在an-1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為cn-1. 若an= 求c1,c2,c3的值; 在的條件下是否存在常數(shù),使cn+1-cn是等差數(shù)列?如果存在,求出滿足條件的;如果不存在,請(qǐng)說明理由.,【解題提示】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義,逐一驗(yàn)證答案后作出判斷. (2)先分別求出a1,a2,a3,a4的值,再由已知分別解出c1,c2,c3的值; 根據(jù)的結(jié)論,求出cn-1,再根據(jù)(cn+1-cn)-(cn-cn-1)為常數(shù),求的值,視的值是否存在則得結(jié)論.,【規(guī)范解答】(1)選D.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式形式的函數(shù)(一次項(xiàng)系數(shù)可以為0).而an+1-an=2n+3,bn+1-bn=2n,an-bn=3n+1,故A、B、C均正確. (2)由題意知a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10,在-2,1之間插入兩個(gè)數(shù),使之成為等差數(shù)列,則可得公差為1. 故在a1與a2之間插入-1,0,得c1= 在a2與a3之間插入2,3,4,得c2=3; 在a3與a4之間插入6,7,8,9,得c3=,在an-1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列， 則 假設(shè)存在使得cn+1-cn是等差數(shù)列， 則(cn+1-cn)-(cn-cn-1)=cn+1-cn-(cn-cn-1)= 為常數(shù)， 所以=1.即當(dāng)=1時(shí)，cn+1-cn是等差數(shù)列.,【規(guī)律方法】等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 (1)定義法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)常數(shù). (2)等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列.,(4)前n項(xiàng)和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列. 提醒:等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法,而對(duì)于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題或填空題中簡(jiǎn)單判斷.,【變式訓(xùn)練】(2015·南昌模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a5+a13=34,S3=9. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式. (2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn= 問:是否存在正整數(shù)t,使得b1,b2,bm(m3,mN)成等差數(shù)列?若存在,求出t和m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.,【解析】(1)設(shè)公差為d,由題意得 解得a1=1,d=2，故an=2n-1,Sn=n2. (2)由(1)知 要使b1,b2,bm成等差數(shù)列，必須2b2=b1+bm, 即 整理得,因?yàn)閙,t為正整數(shù),所以t只能取2,3,5. 當(dāng)t=2時(shí),m=7; 當(dāng)t=3時(shí),m=5; 當(dāng)t=5時(shí),m=4. 所以存在正整數(shù)t,使得b1,b2,bm成等差數(shù)列.,【加固訓(xùn)練】已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn, 且Sk=110. (1)求a及k的值. (2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn= 證明數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求其前n 項(xiàng)和Tn.,【解析】(1)設(shè)該等差數(shù)列為an, 則a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8, 得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去)， 故a=2,k=10.,(2)由(1)得 則 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列, 所以,考點(diǎn)3 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 知·考情 對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查幾乎每年都有涉及,有時(shí)以選擇題、填空題出現(xiàn),難度中等偏下,有時(shí)在解答題中出現(xiàn),常與求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn結(jié)合命題,題目難度中等.,明·角度 命題角度1:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求基本量 【典例3】(2015·廣州模擬)等差數(shù)列an前17項(xiàng)和S17=51, 則a5-a7+a9-a11+a13等于( ) A.3 B.6 C.17 D.51 【解題提示】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)求解.,【規(guī)范解答】選A.由于S17= ×17=17a9=51, 所以a9=3. 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a5+a13=a7+a11, 所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.,命題角度2:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和的最值 【典例4】(2015·烏魯木齊模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S120,S130,S130,S130,確定出正負(fù)變化的相鄰的兩項(xiàng),從而確定最值.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镾120,S130, 所以 即 又a3=a1+2d=12, 所以解得,(2)由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得 所以a70. 所以在數(shù)列an中，前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起，以后各項(xiàng)為負(fù)， 故S6最大.,【一題多解】解答本題，你知道幾種解法？ 解答本題還有以下解法. (n=1,2,3,12). 所以 = 因?yàn)?所以 所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn有最大值，所以S1,S2,S12中值最大的為S6.,悟·技法 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn最大(小)值的常用方法 1.鄰項(xiàng)變號(hào)法：(1)當(dāng)a10，d0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.,2.函數(shù)法：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 (d0), Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù)式且常數(shù)項(xiàng)為0,借助二次函數(shù)的 圖象或配方法解決最值問題，注意nN*.,通·一類 1.(2015·濟(jì)南模擬)在等差數(shù)列an中，a2+a6= 則 =( ) 【解析】選D.因?yàn)閍2+a6= 所以 所以,2.(2015·成都模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S150, S160,則 中最大的項(xiàng)為( ),【解析】選D.由 得a80. 由 得a9+a80,則 又S8S7S6,a8a7a6, 則 所以最大的項(xiàng)為 故選D.,3.(2015·吉林模擬)設(shè)等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若 對(duì)任意正整數(shù)n都有 則 的值為_. 【解析】因?yàn)閍n,bn為等差數(shù)列， 所以 因?yàn)?所以 答案：,4.(2015·咸陽模擬)已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求通項(xiàng)an. (2)求Sn的最小值. (3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列,且 求非零常數(shù)c,【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列, 所以a3+a4=a2+a5=22. 又a3·a4=117, 所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實(shí)根, 又公差d0,所以a3a4, 所以a3=9,a4=13, 所以 所以 所以通項(xiàng)an=4n-3.,(2)由(1)知a1=1,d=4, 所以 = 所以當(dāng)n=1時(shí)，Sn最小， 最小值為S1=a1=1.,(3)由(2)知Sn=2n2-n, 所以 所以 因?yàn)閿?shù)列bn是等差數(shù)列， 所以2b2=b1+b3,即 所以2c2+c=0, 所以 或c=0(舍去)， 故,巧思妙解7 巧用等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和 【典例】(2015·日照模擬)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前3m項(xiàng)和為90,則它的前2m項(xiàng)和為 .,【常規(guī)解法】記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,公差為d, 由已知得 根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得 由可得 把代入得,化簡(jiǎn)得d=0, 再由得 所以 答案：60,【巧妙解法一】 由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列， 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即 答案：60,【巧妙解法二】由 得 所以 是以a1為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列, 從而 成等差數(shù)列， 所以 所以 答案：60,【方法指導(dǎo)】 1.熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)的實(shí)質(zhì) 等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形,熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.,2.應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵 尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系,但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件,如若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立,再比如只有當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中的n為奇數(shù)時(shí),才有Sn=na中成立.,【類題試解】在等差數(shù)列an中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176,【常規(guī)解法】選B.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以 【巧妙解法】選B.在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16, 所以a1+a11=a4+a8=16, 所以,