第二節(jié) 一元二次不等式及其解法,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)一元二次不等式的特征: 一元二次不等式的二次項(xiàng)(最高次項(xiàng))系數(shù)_0.,不等于,(2)一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系:,x|xx2,x|xx1,x|x1xx2,在不等式ax2+bx+c0(a0)中,如果二次項(xiàng)系數(shù)a0,則可根據(jù)不等式的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為正數(shù),再對(duì)照上表求解.,(3)用程序框圖表示一元 二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的求解過(guò)程,0?,(-,x2)(x1,+),R,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式解法,x|xa,x|xa,x|axb,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:配方法,因式分解. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想. (3)記憶口訣:一元二次不等式解集口訣. 大于取兩邊,小于取中間,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)若不等式ax2+bx+c0.( ) (2)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(x2,+),則方程ax2+bx+ c=0的兩個(gè)根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2+bx+c=0(a0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c0的解集 為R.( ) (4)不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的條件是a0且=b2-4ac0.( ),【解析】(1)正確.由不等式ax2+bx+c0. (2)正確.由一元二次不等式的解集與相應(yīng)方程的根的關(guān)系可知結(jié)論是正確的. (3)錯(cuò)誤.只有當(dāng)a0時(shí)才成立,當(dāng)a0的解集為空集. (4)錯(cuò)誤.還要考慮a=0的情況,不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的條件是a=0,b=0,c0或a0且=b2-4ac0. 答案:(1) (2) (3)× (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P80習(xí)題3.2A組T1(3)改編)不等式x2-3x-100的解集是 ( ) A.(-2,5) B.(5,+) C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+) 【解析】選D.x2-3x-10=(x-5)(x+2)0, 所以x5或x-2. 故原不等式的解集為(-,-2)(5,+).,(2)(必修5P81習(xí)題3.2B組T2改編)關(guān)于x的一元二次方程mx2(1m)x +m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_. 【解析】若方程mx2(1m)x+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 則 解得m1或 答案：(,1),3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·大綱版全國(guó)卷)設(shè)集合M=x|x2-3x-40,N=x|0x5,則MN=( ) A.(0,4 B.0,4) C.-1,0) D.(-1,0 【解析】選B.因?yàn)镸=x|-1x4,N=x|0x5, 所以MN=x|0x4.,(2)(2013·重慶高考)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集為 (x1，x2)，且x2-x1=15，則a=( ) 【解析】選A.由題意知, 不等式x2-2ax-8a20)的解集為(2a, 4a),因?yàn)閤2-x1=15,所以4a(2a)=15,解得,(3)(2014·浙江高考)設(shè)函數(shù) 若f(f(a)2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【解析】由題意 或 解得f(a)2，所以 或 解得 答案：,考點(diǎn)1 一元二次不等式的解法 【典例1】(1)(2015·珠海模擬)不等式-2x2+x+30的解集是( ) (2)解關(guān)于x的不等式:ax2(a1)x10.,【解題提示】(1)把不等式化簡(jiǎn)變形，確定相應(yīng)方程的兩個(gè)根，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式的解集. (2)先求a0時(shí)不等式的解集，再分a0和a0兩種情況求解,【規(guī)范解答】(1)選D.不等式-2x2+x+30可化為 2x2-x-30， 即(2x-3)(x+1)0, 解得x-1，或 所以不等式的解集是 (2)當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為x11. 當(dāng)a1或,當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為 若01，則 所以 綜上知，當(dāng)a1； 當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為,當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為,【互動(dòng)探究】本例(2)的不等式改為x2-(a+1)x+a1時(shí),解集為x|11時(shí),解集為x|1xa; 當(dāng)a=1時(shí),解集為, 當(dāng)a1時(shí),解集為x|ax1.,【規(guī)律方法】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 (1)二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式. (2)判斷方程的根的個(gè)數(shù),討論判別式與0的關(guān)系. (3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.,【變式訓(xùn)練】解關(guān)于x的不等式 x22ax30(aR). 【解析】4a2124(a23) 當(dāng)0，即 時(shí)，方程x22ax30無(wú)解或有兩個(gè) 相等的根，從而不等式的解集為R. 當(dāng)0，即 時(shí)，方程x22ax30的兩根為 且x1x2. 所以,綜上知，當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為x|x 或x ; 當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為R.,【加固訓(xùn)練】設(shè)二次不等式ax2bx10的解集為 則ab的值為( ) A.6 B.5 C.6 D.5 【解析】選C.由題意知，方程ax2bx10的兩根為1， 則有 解得 所以ab6，故選C.,考點(diǎn)2 一元二次不等式恒成立問(wèn)題 知·考情 一元二次不等式的恒成立問(wèn)題以及三個(gè)“二次”間的聯(lián)系及綜合應(yīng)用是高考的熱點(diǎn),而且常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯命題,考查應(yīng)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的能力.,明·角度 命題角度1:形如f(x)0(f(x)0)(xR)求參數(shù)的取值范圍 【典例2】(2013·重慶高考)設(shè)0,不等式8x2-(8sin)x+ cos 20對(duì)xR恒成立,則的取值范圍為 . 【解題提示】因?yàn)椴坏仁胶愠闪?所以判別式小于等于零,直接求解即可.,【規(guī)范解答】因?yàn)椴坏仁?x2-(8sin)x+cos20對(duì)xR恒成立, 所以=64sin2-32cos20,即64sin2-32+64sin20, 解得0sin (0). 因?yàn)?,所以 答案:,命題角度2:形如f(x)0(參數(shù)ka,b)求x的取值范圍 【典例3】(2015·蘭州模擬)對(duì)任意的k-1,1,函數(shù)f(x)=x2+ (k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是 . 【解題提示】把二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=k(x-2)+x2-4x+40在k-1,1上恒成立,再利用一次函數(shù)函數(shù)值恒大于0所滿足的條件即可求出x的取值范圍.,【規(guī)范解答】因?yàn)槿我鈑-1,1,函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x-2k+40 恒成立, 所以f(k)=k(x-2)+x2-4x+40為一次函數(shù), 所以 所以 解得x3, 所以x的取值范圍為(-,1)(3,+). 答案:(-,1)(3,+),【易錯(cuò)警示】解答本題易出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤: (1)不會(huì)合理分析已知條件,這樣無(wú)法轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的一次函數(shù),而導(dǎo)致題目無(wú)法求解. (2)解關(guān)于x的二次不等式組,確定解集出現(xiàn)1x3等錯(cuò)誤.,命題角度3:形如f(x)0(xa,b)求參數(shù)范圍 【典例4】(2015·蘭州模擬)對(duì)任意x-1,1,函數(shù)f(x)= x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范圍. 【解題提示】表示出對(duì)稱軸,然后根據(jù)區(qū)間分類討論求解.,【規(guī)范解答】函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的對(duì)稱軸為 當(dāng) 即k6時(shí),f(x)的值恒大于零等價(jià)于f(-1)=1+(k-4) ×(-1)+4-2k0，解得k3，故k; 當(dāng) 即2k6時(shí), 只要 即k20，故k.,當(dāng) 即k2時(shí),只要f(1)=1+(k-4)+4-2k0即k1， 故有k1, 綜上可知,當(dāng)k1時(shí)，對(duì)任意x-1,1， 函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.,悟·技法 解不等式恒成立問(wèn)題的技巧 (1)對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元,誰(shuí)是參數(shù),一般地,知道誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是主元,求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).,通·一類 1.(2015·武漢模擬)一元二次不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是( ) A.(-3，0) B.(-3，0 C.-3，0 D.(-，-3)0，+),【解析】選A.由一元二次不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成 立，則 解得-3k0 綜上，滿足一元二次不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的 k的取值范圍是(-3，0).,2.(2015·濟(jì)寧模擬)在R上定義運(yùn)算:xy=x(2-y),若不等式(x+m)x0, 因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x不等式都成立, 所以其對(duì)應(yīng)的一元二次方程:x2+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判別式=(m-2)2-4(1-2m)0,解得:-4m0. 答案:(-4,0),3.(2015·銀川模擬)已知不等式x2-2x+a0對(duì)任意實(shí)數(shù)x2,3恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . 【解析】令f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,所以f(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增, 又不等式x2-2x+a0對(duì)任意實(shí)數(shù)x2,3恒成立, 所以f(2)0恒成立,即4-4+a0,解得a0. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a0. 答案:a0,4.(2015·洛陽(yáng)模擬)若已知不等式2x-1m(x2-1)對(duì)滿足|m|2的一切 實(shí)數(shù)m的取值都成立,則x的取值范圍為 . 【解析】構(gòu)造變量m的函數(shù)求解:2x-1m(x2-1)即:(x2-1)m-(2x-1)0 構(gòu)造關(guān)于m的函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),|m|2即-2m2. (1)當(dāng)x2-10時(shí)，則f(2)0,從而2x2-2x-10解得: 又x2-10，即x-1或x1，所以,(2)當(dāng)x2-10時(shí),則f(-2)0可得-2x2-2x+30,從而2x2+2x-30, 解得 又-1x1，從而 (3)當(dāng)x2-1=0時(shí),則f(m)=1-2x0，從而 故x=1; 綜上有: 答案：,考點(diǎn)3 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 【典例5】(2015·威海模擬)行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用, 要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離在某種 路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下 列關(guān)系： (n為常數(shù)，且nN)，做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān) 試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示，其中,(1)求n的值. (2)要使剎車距離不超過(guò)12.6m,則行駛的最大速度是多少? 【解題提示】(1)由圖象信息,將v=40,v=70代入求s1,s2,得關(guān)于n的不等式組. (2)解關(guān)于v的不等式,求最大值.,【規(guī)范解答】(1)由試驗(yàn)數(shù)據(jù)知， 所以 解之得 又nN，所以取n6.,(2)由(1)知， 依題意， 即v224v5 0400，解之得84v60. 注意到v0，所以0v60. 故行駛的最大速度為60 km/h.,【規(guī)律方法】不等式實(shí)際應(yīng)用的解題思路 不等式的實(shí)際應(yīng)用,常以函數(shù)模型為載體,解題時(shí)要理解題意,準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系,引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)恰當(dāng)表示,最后用不等式的解集回答實(shí)際問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬(wàn)元/輛,出廠價(jià)為12萬(wàn)元/輛,年銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1),則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x,已知年利潤(rùn)=(出廠價(jià)-投入成本)×年銷售量. (1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式. (2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?,【解析】(1)由題意得y=12(1+0.75x)-10(1+x)×10000× (1+0.6x)(0x1),整理得y=-6000x2+2000x+20000(0x1). (2)要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須有 即 解得 所以投入成本增加的比例應(yīng)在 范圍內(nèi),【加固訓(xùn)練】(2015·淄博模擬)某公司按現(xiàn)有能力,每月收入為70萬(wàn)元,公司分析部門測(cè)算,若不進(jìn)行改革,因競(jìng)爭(zhēng)加劇收入將逐月減少.分析測(cè)算得從2014年開(kāi)始第一個(gè)月收入將減少3萬(wàn)元,以后逐月多減少2萬(wàn)元,如果進(jìn)行改革,即投入技術(shù)改造300萬(wàn)元,且2014年后每月再投入1萬(wàn)元進(jìn)行員工培訓(xùn),則測(cè)算得自2014年后第一個(gè)月起累計(jì)收入Tn與時(shí)間n(以月為單位)的關(guān)系為Tn=an+b,且2014年第一個(gè)月時(shí)收入將為90萬(wàn)元,第二個(gè)月時(shí)累計(jì)收入為170萬(wàn)元,問(wèn)2014年后經(jīng)過(guò)幾個(gè)月,該公司改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入.,【解析】2014年改革后經(jīng)過(guò)n個(gè)月的純收入為(Tn-300-n)萬(wàn)元,公司若不進(jìn)行改革,由題設(shè)知2014年后因競(jìng)爭(zhēng)加劇收入將逐月減少. 分析測(cè)算得2014年第一個(gè)月收入將減少3萬(wàn)元,以后逐月多減少2萬(wàn)元.所以不改革,第一個(gè)月:70-3-2×(1-1), 第二個(gè)月:70-3-2(2-1), 第三個(gè)月:70-3-2(3-1), 第n個(gè)月:70-3-2(n-1),所以不改革時(shí)的純收入為： 萬(wàn)元， 由題設(shè)知 所以 由題意建立不等式：80n+10-300-n70n-3n-(n-1)n, 整理，得n2+11n-2900,得n12.4, 因?yàn)閚N，故取n=13. 答：經(jīng)過(guò)13個(gè)月改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入.,自我糾錯(cuò)14 解一元二次不等式 【典例】已知不等式ax2+bx+c0的解集為 則不等式 cx2+bx+a0的解集為_(kāi).,【解題過(guò)程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過(guò)程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？ 提示：忽視了對(duì)a,b,c符號(hào)的判斷，根據(jù)給出的解集，除知道 和2是方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根外，還應(yīng)知道a0,然后通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步求解.,【規(guī)避策略】 1.確定符號(hào) 根據(jù)不等式的解集確定二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào). 2.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化 正確利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a,b,c的關(guān)系,做好不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造關(guān)于系數(shù)a,b,c的方程組. 3.寫(xiě)出解集 規(guī)范正確地解出不等式,寫(xiě)出解集.,【自我矯正】由于不等式ax2+bx+c0的解集為 可知a0，且 2是方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根, 所以 所以 所以不等式cx2+bx+a0可化為 由于a0, 所以 即2x2+5x-30，,解得 所以所求解集為 答案：,