第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)空間幾何體的側(cè)面積和表面積 多面體的表面積: 因?yàn)槎嗝骟w的各面都是平面,所以多面體的表面積就是各個(gè)面的_ _,即展開圖的面積,側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積.,面積,之和,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖及其表面積與側(cè)面積:,2r2+2rl,2r(r+l),2rl,rl,(r2+r2,+rl+rl),(r+r)l,4r2,(2)幾何體的體積 柱體:V=_(S為底面面積,h為高), 特別地,V圓柱=_(r為底面半徑,h為高); 錐體:V=_(S為底面積,h為高), 特別地,V圓錐=_(r為底面半徑,h為高);,Sh,r2h,臺(tái)體:V=_(S,S分別為上、下底面面積,h為高), 特別地,V圓臺(tái)=_; 球:V=_(R為半徑).,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)長(zhǎng)方體的外接球 球心:體對(duì)角線的交點(diǎn);半徑:r= (a,b,c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高). (2)正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球 外接球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的棱長(zhǎng)); 內(nèi)切球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的棱長(zhǎng)); 與各條棱都相切的球:球心是正方體中心;半徑r= a(a為正方體的棱長(zhǎng)).,(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分) 外接球:球心是正四面體的中心;半徑r= a(a為正四面體的棱長(zhǎng)); 內(nèi)切球:球心是正四面體的中心;半徑r= a(a為正四面體的棱長(zhǎng)).,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:割補(bǔ)法與等體積轉(zhuǎn)化法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程. (3)記憶口訣:臺(tái)體體積公式記憶口訣:上底面、下底面,兩底積根加號(hào)連,乘高除三體積見.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和.( ) (2)錐體的體積等于底面積與高之積.( ) (3)球的體積之比等于半徑比的平方.( ) (4)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差.( ) (5)長(zhǎng)方體既有外接球又有內(nèi)切球.( ),【解析】(1)正確.多面體的表面積等于側(cè)面積與底面積之和. (2)錯(cuò)誤.錐體的體積等于底面積與高之積的 . (3)錯(cuò)誤.球的體積之比等于半徑比的立方. (4)正確.簡(jiǎn)單組合體是由簡(jiǎn)單幾何體拼接或截去或挖去一部分組成. (5)錯(cuò)誤.長(zhǎng)方體只有外接球,沒有內(nèi)切球. 答案:(1) (2)× (3)× (4) (5)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修2P28習(xí)題1.3A組T3改編)如圖,將一個(gè)長(zhǎng)方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐,則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為 .,【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,它截出棱錐的體積為 V1= 剩下的幾何體的體積V2= 所以V1V2=147. 答案:147,(2)(必修2P36T10改編)一直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6cm,8cm,10cm, 繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為 . 【解析】旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以 cm為半徑的兩個(gè)同底面的圓錐,其 表面積為S= 答案: cm2,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·四川高考)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是( ) (錐體體積公式:V= Sh,其中S為底面面積,h為高) A.3 B.2 C. D.1,【解析】選D.根據(jù)所給的側(cè)視圖和俯視圖,該三棱錐的直觀圖如圖所 示.從俯視圖可知,三棱錐的頂點(diǎn)A在底面內(nèi)的投影O為邊BD的中點(diǎn),所 以AO即為三棱錐的高,其體積為,(2)(2013·天津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若 球的體積為 ,則正方體的棱長(zhǎng)為 . 【解析】設(shè)球半徑為R,因?yàn)榍虻捏w積為 所以R= ,又由球 的直徑與其內(nèi)接正方體的體對(duì)角線相等知正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3, 故其棱長(zhǎng)為 . 答案:,(3)(2014·山東高考)一個(gè)六棱錐的體積為2 ,其底面是邊長(zhǎng)為2的 正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為 . 【解析】設(shè)六棱錐的高為h,斜高為h, 則由體積V= 得:h=1,h= 所以側(cè)面積為 ×2×h×6=12. 答案:12,考點(diǎn)1 幾何體的側(cè)面積及表面積 【典例1】(1)(2014·安徽高考)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為( ) A.21+ B.18+ C.21 D.18,(2)(2015·石家莊模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 .,【解題提示】(1)將三視圖還原為原幾何體,求各個(gè)面面積的和. (2)將三視圖還原為原幾何體,可得該幾何體是長(zhǎng)方體內(nèi)挖去圓柱后剩下的部分.,【規(guī)范解答】(1)選A.由三視圖可知原幾何體是一個(gè)正方 體截去兩個(gè)全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24, 兩個(gè)全等的三棱錐是以正方體的相對(duì)頂點(diǎn)為頂點(diǎn),側(cè)面是 三個(gè)全等的直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,其側(cè)面面積的和為3,三棱 錐的底面是邊長(zhǎng)為 的正三角形,其表面積的和為 ,故所求幾何體 的表面積為24-3+ =21+ .,(2)由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)挖去一個(gè)圓柱體,如圖所示. 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,1,表面積為 4×3×2+3×1×2+4×1×2=38, 圓柱的底面圓直徑為2,母線長(zhǎng)為1,側(cè)面積為2×1×1=2, 圓柱的兩個(gè)底面面積和為2××12=2. 故該幾何體的表面積為38+2-2=38. 答案:38,【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)有兩點(diǎn)易出錯(cuò): (1)由三視圖將對(duì)應(yīng)的幾何體的結(jié)構(gòu)特征還原錯(cuò),而誤選. (2)還原幾何體正確,但忽視截去三棱錐后截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為 的正 三角形,其面積和為 ,而誤選C.,【互動(dòng)探究】把本例題(2)中的三視圖改為如下圖形,求該幾何體的表面積.,【解析】由三視圖知,這是一個(gè)底面是矩形的四棱錐, 矩形的長(zhǎng)和寬分別是6,2, 四棱錐的高是4, 所以四棱錐的表面積是2×6+2× ×2×5+6×4× + ×6×2 =34+6 .,【規(guī)律方法】幾何體表面積的求法 (1)多面體:其表面積是各個(gè)面的面積之和. (2)旋轉(zhuǎn)體:其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和. 計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí),一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行,即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決. (3)簡(jiǎn)單組合體:應(yīng)搞清各構(gòu)成部分,并注意重合部分的處理. (4)若以三視圖的形式給出,解題的關(guān)鍵是對(duì)給出的三視圖進(jìn)行分析,從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.,【變式訓(xùn)練】(2015·合肥模擬)如圖所示,某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形,側(cè)視圖是平行四邊形,則該幾何體的表面積為( ),【解析】選C.圖中所示的三視圖對(duì)應(yīng)的是一個(gè)橫放的四棱柱,該四棱 柱四個(gè)側(cè)面都是矩形,上、下兩個(gè)底面是平行四邊形,其表面積為 2×3×3+2×3×2+2×3× =30+6 .,【加固訓(xùn)練】1.(2015·武漢模擬)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( ) A.10+96 B.9+96 C.8+96 D.9+80,【解析】選C.圖中所示的三視圖對(duì)應(yīng)的是一個(gè)由一個(gè)圓柱和一個(gè)正方體構(gòu)成的簡(jiǎn)單組合體,其表面積為S=6×4×4+2×1×4=96+8.,2.某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是 .,【解析】由幾何體的三視圖可知,該幾何體是底面為直角梯形的直四 棱柱(如圖所示). 在四邊形ABCD中,作DEAB,垂足為E,則DE=4,AE=3,則AD=5.所以其表 面積為2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92. 答案:92,考點(diǎn)2 幾何體的體積 知·考情 空間幾何體的體積計(jì)算是近幾年高考考查空間幾何體的一個(gè)重要考向,常與空間幾何體的三視圖、空間的平行、垂直關(guān)系等知識(shí)綜合,主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:根據(jù)幾何體的直觀圖計(jì)算體積 【典例2】(2014·山東高考)三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn), 記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則 = . 【解題提示】本題考查了空間幾何體的體積,可以由底面積和高的比 值求出體積的比值.,【規(guī)范解答】分別過E,C向平面PAB作高h(yuǎn)1,h2,由E為PC的中點(diǎn)得 由D為PB的中點(diǎn)得SABD= SABP, 所以V1V2= 答案:,命題角度2:根據(jù)幾何體的三視圖計(jì)算體積 【典例3】(2014·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) (本題源于教材必修2P29B組T1) A.12 B.18 C.24 D.30,【解題提示】直接根據(jù)三視圖還原為幾何體,然后求出該幾何體的體積. 【規(guī)范解答】選C.由三視圖可知,該幾何體為如圖所示 的一個(gè)三棱柱上面截去一個(gè)三棱錐得到的.三棱柱的體 積為 ×3×4×5=30,截去的三棱錐的體積為 × × 3×3×4=6,所以該幾何體的體積為24.,悟·技法 計(jì)算幾何體體積的常見類型及解題策略,通·一類 1.(2014·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是( ) A.72cm3 B.90cm3 C.108cm3 D.138cm3,【解析】選B.由三視圖可知,原幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)三棱柱的組合體,如圖所示: 所以其體積為V=3×4×6+ ×3×4×3=90.,2.(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱 長(zhǎng)為 ,D為BC中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為( ) 【解析】選C.因?yàn)锽1C1BD,所以BD面AB1C1,點(diǎn)B和D到面AB1C1的距離 相等,所以,3.(2015·北京模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,當(dāng)a+b取最大值時(shí),這個(gè)幾何體的體積為( ),【解析】選D.由題意知,該幾何體的直觀圖如圖所示, 且AC= ,BD=1,BC=b,AB=a. 設(shè)CD=x,AD=y, 則x2+y2=6,x2+1=b2, y2+1=a2,消去x2,y2得a2+b2=8 所以a+b4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)x= ,y= ,所以,4.(2015·大連模擬)某一幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 .,【解析】依題意,可知題中的幾何體是從一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體中挖去 一個(gè)圓錐,其中該圓錐的底面半徑是1,高是2,因此該幾何體的體積等 于23- ×12×2=8- . 答案:8-,考點(diǎn)3 空間幾何體的外接球、內(nèi)切球問題 【典例4】(1)(2014·湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2015·西安模擬)四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,AB 平面BCD,BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.若AB=2,則球O的表面積 為( ) A. B.12 C.16 D.32,【解題提示】(1)先由三視圖畫出直觀圖,判斷這個(gè)幾何體是底面是邊長(zhǎng)為6,8,10的直角三角形,高為12的水平放置的直三棱柱,底面的內(nèi)切圓的半徑就是得到的最大球的半徑. (2)將四面體ABCD補(bǔ)形成正三棱柱,轉(zhuǎn)化為正三棱柱的外接球問題求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.由三視圖畫出直觀圖如圖,判斷 這個(gè)幾何體是底面是邊長(zhǎng)為6,8,10的直角三角形,高 為12的水平放置的直三棱柱,直角三角形的內(nèi)切圓的 半徑為r= =2,這就是得到的最大球的半徑.,(2)選C.將四面體ABCD補(bǔ)形成正三棱柱,則其外接球的球心為上、下 底面的中心連線的中點(diǎn),底面BCD的外接圓半徑為 ,所以外接球 的半徑R= =2,球O的表面積S=4R2=16.,【規(guī)律方法】空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí),一般過球心及接、切點(diǎn)作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解. (2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體,利用4R2=a2+b2+c2求解.,【變式訓(xùn)練】(2015·鄭州模擬)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上,且PA,PB,PC兩兩互相垂直,則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為 .,【解析】如圖所示,因?yàn)镻A,PB,PC兩兩互相垂直,所以三棱錐P-ABC的外接球就是以PA,PB,PC為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球. 設(shè)PA=a,PB=b,PC=c,則有a2+b2+c2=4×32=36, 而三棱錐P-ABC的側(cè)面積為S= ab+ bc+ ac.,又 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)), (當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)), (當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)), 所以S (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)). 答案:18,【加固訓(xùn)練】1.(2015·吉林模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂 點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則球O的半徑為 ( ),【解析】選C.由題意知,三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形,其外接圓的圓心O為其斜邊BC的中點(diǎn),連接OA,OO,OA,由勾股定理得,OA2=OO2+OA2. 其中OA=R,OO= AA1=6,OA= BC= ,所以球O的半徑為,2.(2015·西安模擬)如圖,已知球O是棱長(zhǎng)為1的 正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,則平面ACD1截球O 的截面面積為( ),【解析】選C.平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓. 因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1, 所以AC=CD1=AD1= , 所以內(nèi)切圓的半徑r= , 所以S=r2=,巧思妙解8 巧用補(bǔ)形法解決立體幾何問題 【典例】(2015·唐山模擬)如圖:ABC中,AB=8,BC=10, AC=6,DB平面ABC,且AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.則 此幾何體的體積為 .,【常規(guī)解法】如圖,取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐. 所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐. 由題知三棱柱ABC-NDM的體積為 V1= ×8×6×3=72.,四棱錐D-MNEF的體積為: 則幾何體的體積為:V=V1+V2=72+24=96. 答案:96,【巧妙解法】用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三 棱柱,使AA=BB=CC=8, 所以V幾何體= V三棱柱= ×SABC·AA= ×24×8=96. 答案:96,【方法指導(dǎo)】(1)補(bǔ)形法的應(yīng)用思路:“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的重要方法,在解題時(shí),把幾何體通過“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中,巧妙地破解空間幾何體的體積等問題,常見的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形,對(duì)于還原補(bǔ)形,主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”. (2)補(bǔ)形法的應(yīng)用條件:當(dāng)某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分,且求解的問題直接求解較難入手時(shí),常用該法.,【類題試解】如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),將ADE與BEC分別沿ED,EC向上折起,使A,B重合,則形成的三棱錐的外接球的表面積為 .,【常規(guī)解法】由已知條件知,平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個(gè)正四面體.作AF平面DEC,垂足為F,F即為DEC的中心.,取EC的中點(diǎn)G,連接DG,AG,過球心O作OH平面AEC,則垂足H為AEC的 中心.所以外接球半徑可利用OHAGFA求得.因?yàn)锳G= ,AF= AH= ,在AFG和AHO中,根據(jù)三角形相似可知 外接球的表面積S球= 答案:,【巧妙解法】由已知條件知,平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個(gè)正四面體.如圖所示,把正四面體放在 正方體中,顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接 球.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為 , 所以外接球直徑2R= 所以R= , 所以外接球的表面積S球= 答案:,