第1講 集合及其運算,最新考綱 1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關系；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關系及運算,知 識 梳 理 1元素與集合 (1)集合中元素的三個特征：確定性、 、無序性 (2)元素與集合的關系是 或 關系，用符號 或 表示 (3)集合的表示法：列舉法、 、圖示法,互異性,屬于,不屬于,描述法,2集合間的基本關系,AB,AB,子集,3.集合的基本運算,x|xA，或xB,x|xA，且xB,x|xU，且xA,4.集合的運算性質(zhì) 并集的性質(zhì)： AA；AAA；ABBA；ABA . 交集的性質(zhì)： A；AAA；ABBA；ABA . 補集的性質(zhì)： A(UA) ；A(UA) ；U(UA) .,BA,AB,U,A,×,×,×,2(2014·新課標全國卷)已知集合Mx|1x3，Nx|2x1，則MN ( ) A(2,1) B(1,1) C(1,3) D(2,3) 解析 借助數(shù)軸求解 由圖知：MN(1,1) 答案 B,3(2014·遼寧卷)已知全集UR，Ax|x0， Bx|x1，則集合U(AB) ( ) Ax|x0 Bx|x1 Cx|0x1 Dx|0x1 解析 借助數(shù)軸求得：ABx|x0或x1， U(AB)x|0x1 答案 D,4(2015·溫州瑞安中學月考)已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，則AB的元素個數(shù)為 ( ) A0 B1 C2 D3 解析 集合A表示的是圓心在原點的單位圓，集合B表示的是直線yx，據(jù)此畫出圖象，可得圖象有兩個交點，即AB的元素個數(shù)為2. 答案 C,5(人教A必修1P12A10改編)已知集合Ax|3x7， Bx|2x10，則(RA)B_. 解析 RAx|x3或x7， (RA)Bx|2x3或7x10 答案 x|2x3或7x10,考點一 集合的含義 【例1】 (1)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個數(shù)是 ( ) A1 B3 C5 D9 (2)(2015·麗水中學檢測)若集合AxR|ax2ax10中只有一個元素，則a ( ) A4 B2 C0 D0或4,解析 (1)xy2，1,0,1,2，其元素個數(shù)為5. (2)由ax2ax10只有一個實數(shù)解，可得當a0時，方程無實數(shù)解； 當a0時，則a24a0，解得a4(a0不合題意舍去) 答案 (1)C (2)A 規(guī)律方法 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合(2)集合中元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性,答案 (1)B (2)1,考點二 集合間的基本關系 【例2】 (1)已知集合Ax|2x7， Bx|m1x2m1，若BA，則實數(shù)m的取值范圍為_ (2)(2015·鎮(zhèn)海中學高三考試)設UR，集合 Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若(UA)B，則m_.,深度思考 你會用這些結(jié)論嗎？ ABABA， ABAAB， (UA)B BA； 你考慮到空集了嗎？,解析 (1)當B時，有m12m1，則m2. 當B時，若BA，如圖,(2)A2，1，由(UA)B，得BA， 方程x2(m1)xm0的判別式 (m1)24m(m1)20，B. B1或B2或B1，2 若B1，則m1； 若B2，則應有(m1)(2)(2)4， 且m(2)·(2)4，這兩式不能同時成立， B2； 若B1，2，則應有(m1)(1)(2)3，且m(1)·(2)2，由這兩式得m2. 經(jīng)檢驗知m1和m2符合條件 m1或2.,答案 (1)(，4 (2)1或2 規(guī)律方法 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關系常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題,【訓練2】 (1)(2015·臺州高三質(zhì)檢)已知集合 Ax|yln(x3)，Bx|x2，則下列結(jié)論正確的是 ( ) AAB BAB CAB DBA (2)已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是_,解析 (1)Ax|x3，Bx|x2，結(jié)合數(shù)軸可得： BA. (2)由log2x2，得0x4， 即Ax|0x4， 而Bx|xa， 由于AB，如圖所示，則a4. 答案 (1)D (2)(4，),考點三 集合的基本運算 【例3】 (1)(2014·新課標全國卷)已知集合A2,0,2， Bx|x2x20，則AB ( ) A B2 C0 D2 (2)(2014·江西卷)設全集為R，集合Ax|x290，Bx|1x5，則A(RB) ( ) A(3,0) B(3，1) C(3，1 D(3,3),(3)(2014·唐山模擬)若集合My|y3x，集合 Sx|ylg(x1)，則下列各式正確的是 ( ) AMSM BMSS CMS DMS,解析 (1)Bx|x2x201,2，A2,0,2， AB2 (2)Ax|x290x|3x3， Bx|1x5， RBx|x1或x5， A(RB)x|3x3x|x1或x5 x|3x1 (3)My|y0，Sx|x1，故選A. 答案 (1)B (2)C (3)A,規(guī)律方法 (1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況(2)運算過程中要注意集合間的特殊關系的使用，靈活使用這些關系，會使運算簡化,【訓練3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3， B2,4，則(UA)B為 ( ) A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,2,3,4 (2)(2014·四川卷)已知集合Ax|(x1)(x2)0，集合B為整數(shù)集，則AB ( ) A1,0 B0,1 C2，1,0,1 D1,0,1,2,解析 (1)UA0,4，(UA)B0,2,4 (2)Ax|1x2，B為整數(shù)集， AB1,0,1,2 答案 (1)C (2)D,微型專題 集合背景下的新定義問題 (1)以集合語言為背景的新信息題，常見的類型有定義新概念型、定義新運算型及開放型，解決此類信息遷移題的關鍵是在理解新信息并把它納入已有的知識體系中，用原來的知識和方法來解決新情境下的問題有關集合概念的創(chuàng)新題是將來考試中的熱點 (2)正確理解創(chuàng)新定義分析新定義的表述意義，把新定義所表達的數(shù)學本質(zhì)弄清楚，轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學情境，并能夠應用到具體的解題之中，這是解決問題的基礎,【例4】 (2015·諸暨高三檢測)在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論： 2 0111；33；Z01234； “整數(shù)a，b屬于同一類”的充要條件是“ab0”其中正確命題的個數(shù)是 ( ) A1 B2 C3 D4 點撥 本題宜采用排除法，依據(jù)題目定義來判斷選項,解析 2 011402×51，2 0111結(jié)論正確； 31×52，32，33，結(jié)論不正確；整數(shù)可以分為五“類”，故這五“類”的并集就是整數(shù)集合，即Z01234，結(jié)論正確；若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則a5nk，b5mk，ab5(nm)00，反之，若ab0，則a，b被5除有相同的余數(shù)，故a，b屬于同一“類”，結(jié)論正確，故選C. 答案 C 點評 集合中的新定義問題：集合為背景命題新定義試題，歷來是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力.,思想方法 1在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢之時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確 2求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉(zhuǎn)化關，即把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；其次，當集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決，枚舉法不失為求集合的子集(真子集)個數(shù)的好方法，使用時應做到不重不漏 3對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn),3Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心.,