第1講 集合及其運算,考試要求 1.集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系，A級要求；2.集合之間包含與相等的含義，集合的子集，B級要求；3.并集、交集、補(bǔ)集的含義，用韋恩(Venn)圖表述集合關(guān)系，B級要求；4.求兩個簡單集合的并集與交集及求給定子集的補(bǔ)集，B級要求,知 識 梳 理 1元素與集合 (1)集合中元素的三個特征：確定性、 、無序性 (2)元素與集合的關(guān)系是 或 關(guān)系，用 符號 或 表示 (3)集合的表示法：列舉法、 、圖示法,互異性,屬于,不屬于,描述法,2集合間的基本關(guān)系,AB,子集,3.集合的基本運算,x|xA， 或xB,x|xA， 且xB,x|xU， 且xA,4. 集合的運算性質(zhì) 并集的性質(zhì)： AA；AAA；ABBA；ABA . 交集的性質(zhì)： A；AAA；ABBA；ABA . 補(bǔ)集的性質(zhì)： A(UA) ；A(UA) ；U(UA) .,BA,AB,U,A,×,×,×,2(2014·新課標(biāo)全國卷改編)已知集合Mx|1x3，Nx|2x1，則MN_. 解析 借助數(shù)軸求解 由圖知：MN(1,1) 答案 (1,1),3(2014·遼寧卷改編)已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，則集合U(AB)_. 解析 借助數(shù)軸求得：ABx|x0，或x1， U(AB)x|0x1 答案 x|0x1,4(蘇教版必修1P14T11改編)已知集合Ax|3x7，Bx|2x10，則(RA)B_. 解析 RAx|x3，或x7， (RA)Bx|2x3，或7x10 答案 x|2x3，或7x10,5已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，則AB的元素個數(shù)為_ 解析 集合A表示的是圓心在原點的單位圓，集合B表示的是直線yx，據(jù)此畫出圖象，可得圖象有兩個交點，即AB的元素個數(shù)為2. 答案 2,考點一 集合的含義 【例1】 (1)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個數(shù)是_ (2)若集合AxR|ax2ax10中只有一個元素，則a_. 解析 (1)xy2，1,0,1,2，其元素個數(shù)為5. (2)由ax2ax10只有一個實數(shù)解，可得當(dāng)a0時，方程無實數(shù)解； 當(dāng)a0時，則a24a0， 解得a4(a0不合題意舍去) 答案 (1)5 (2)4,規(guī)律方法 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合(2)集合中元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性,答案 1,考點二 集合間的基本關(guān)系 【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，則實數(shù)m的取值范圍為_ (2)設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若(UA)B，則m_. 解析 (1)當(dāng)B時，有m12m1，則m2. 當(dāng)B時，若BA，如圖,深度思考 你會用這些結(jié)論嗎？ ABABA， ABAAB， (UA)B BA； 你考慮到空集了嗎？,(2)A2，1，由(UA)B，得BA， 方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B. B1或B2或B1，2 若B1，則m1； 若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)·(2)4，這兩式不能同時成立， B2；,若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且 m(1)·(2)2，由這兩式得m2. 經(jīng)檢驗知m1和m2符合條件 m1或2. 答案 (1)(，4 (2)1或2 規(guī)律方法 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題,答案 (1)0 (2)(4，),考點三 集合的基本運算 【例3】 (1)(2014·新課標(biāo)全國卷改編)已知集合A2,0,2，Bx|x2x20，則AB_. (2)(2014·江西卷改編)設(shè)全集為R，集合Ax|x290，Bx|1x5，則A(RB)_.,解析 (1)Bx|x2x201,2，A2,0,2， AB2 (2)Ax|x290x|3x3， Bx|1x5， RBx|x1或x5， A(RB)x|3x3x|x1或x5x|3x1 答案 (1)2 (2)(3，1,規(guī)律方法 (1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況(2)運算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會使運算簡化,【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B_. (2)(2014·四川卷改編)已知集合Ax|(x1)(x2)0，集合B為整數(shù)集，則AB_. 解析 (1)UA0,4，(UA)B0,2,4 (2)Ax|1x2，B為整數(shù)集， AB1,0,1,2 答案 (1)0,2,4 (2)1,0,1,2,微型專題 集合背景下的新定義問題 以集合為背景的新定義問題，集合只是一種表述形式，實質(zhì)上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解決新問題的數(shù)學(xué)能力解決此類問題，要從以下兩點入手： (1)正確理解創(chuàng)新定義分析新定義的表述意義，把新定義所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄清楚，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境，并能夠應(yīng)用到具體的解題之中，這是解決問題的基礎(chǔ),(2)合理利用集合性質(zhì)運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運算與性質(zhì),點撥 先理解集合的“長度”，然后求MN的“長度”的最小值,點評 本題的難點是理解集合的“長度”，解題時緊扣新定義與基礎(chǔ)知識之間的相互聯(lián)系，把此類問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.,思想方法 1在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確 2求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；其次，當(dāng)集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決，枚舉法不失為求集合的子集(真子集)個數(shù)的好方法，使用時應(yīng)做到不重不漏 3對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn),3Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心.,