第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù),最新考綱 1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)；4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型,沒有意義,ars,ars,arbr,0,2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),R,(0，),(0,1),y1,0y1,0y1,y1,增函數(shù),減函數(shù),×,×,×,×,2已知函數(shù)f(x)ax(0a1)，對(duì)于下列命題： 若x0，則0f(x)1； 若x1，則f(x)0； 若f(x1)f(x2)，則x1x2. 其中正確的命題 ( ) A有3個(gè) B有2個(gè) C有1個(gè) D不存在 解析 結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知正確 答案 A,規(guī)律方法 (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù),考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 【例2】 (1)函數(shù)f(x)axb的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 ( ) Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D0a1，b0,(2)(2014·溫州十校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 014a2 015b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有 ( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 解析 (1)由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0，故選D.,(2)設(shè)2 014a2 015bt，如圖所示， 由函數(shù)圖象，可得 若t1，則有ab0；若t1， 則有ab0；若0t1，則有ab0. 故可能成立，而不可能成立 答案 (1)D (2)B,規(guī)律方法 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解,(2)由0.20.40.6，即bc. 因?yàn)閍20.21，b0.40.2b.綜上abc，選A. 答案 (1)A (2)A,【訓(xùn)練3】 (2015·衡水模擬)若曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_ 解析 曲線|y|2x1與直線yb的圖象如圖所示，由圖象可知：如果|y|2x1與直線yb沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b1,1 答案 1,1,解析 (1)A中，函數(shù)y1.7x在R上是增函數(shù)，2.50.62. C中，(0.8)11.25， 問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小 y1.25x在R上是增函數(shù)，0.11,00.93.10.93.1.,規(guī)律方法 (1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致，只需根據(jù)條件靈活選擇即可,思想方法 1判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較 2指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)問題的求解思路：對(duì)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問題得解,3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的單調(diào)性和底數(shù)a有關(guān)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論 4與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成；而與其有關(guān)的最值問題，往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,易錯(cuò)防范 1指數(shù)冪的運(yùn)算容易出現(xiàn)的問題是誤用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，或在運(yùn)算中變換的方法不當(dāng)，不注意運(yùn)算的先后順序等 2復(fù)合函數(shù)的問題，一定要注意函數(shù)的定義域 3形如a2xb·axc0或a2xb·axc0(0)形式，常借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程或不等式求解，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.,