最新考綱 1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理； 2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一 些簡單的實(shí)際問題.,第1講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,1分類加法計數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N_種不同的方法 2分步乘法計數(shù)原理 完成一件事情需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N_種不同的方法,知 識 梳 理,m1m2mn,m1×m2××mn,3分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成,1判斷正誤(請在括號中打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事 ( ) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有各個步驟都完成后，這件事情才算完成 ( ) (4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i1，2，3，n)，那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法 ( ),診 斷 自 測,×,2從集合1，2，3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為 ( ) A3 B4 C6 D8 解析 以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9； 以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8； 以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9； 把這四個數(shù)列順序顛倒，又得到4個數(shù)列， 所求的數(shù)列共有2(211)8(個) 答案 D,4現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部 分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不 能用同一種顏色，則不同的著色方法共 有 ( ) A24種 B30種 C36種 D48種 解析 按ABCD順序分四步涂色，共有4×3×2×248(種) 答案 D,5(人教A選修23P13B2改編)5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，則不同的報名方法有_種 解析 每位同學(xué)都有2種報名方法，因此，可分五步安排5名同學(xué)報名，由分步乘法原理，總的報名方法共2×2×2×2×232(種) 答案 32,考點(diǎn)一 分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用 【例1】 (1)某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有 ( ) A4種 B10種 C18種 D20種 (2)滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為 ( ) A14 B13 C12 D9,當(dāng)a0時，則方程有實(shí)根，44ab0，所以ab1.(*) ()當(dāng)a1時，滿足(*)式的b1，0，1，2有4種 ()當(dāng)a1時，b1，0，1，有3種可能 ()當(dāng)a2時，b1，0，有2種可能 由分類加法計數(shù)原理，有序數(shù)對(a，b)共有4432 13(個) 答案 (1)B (2)B,規(guī)律方法 分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的難點(diǎn)所在，重點(diǎn)在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置首先根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)；其次分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，且只能屬于某一類(即標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏),【訓(xùn)練1】 在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為 ( ) A10 B11 C12 D15,答案 B,考點(diǎn)二 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用 【例2】 有六名同學(xué)報名參加三個智力競賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定六名同學(xué)都能參加) (1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限； (2)每項(xiàng)限報一人，且每人至多參加一項(xiàng)； (3)每項(xiàng)限報一人，但每人參加的項(xiàng)目不限 解 (1)每人都可以從這三個比賽項(xiàng)目中選報一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計數(shù)原理， 知共有選法36729(種),(2)每項(xiàng)限報一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個項(xiàng)目有6種選法，第二個項(xiàng)目有5種選法，第三個項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法6×5×4120(種) (3)由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的報名方法63216(種),規(guī)律方法 利用分步乘法計數(shù)原理解決問題：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù),【訓(xùn)練2】 (1)(2014·商洛一模)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這人把這種特殊要求的號買全，至少要花 ( ) A3 360元 B6 720元 C4 320元 D8 640元 (2)用0，1，2，3，4，5可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為_個,解析 (1)從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法；從11至20中選2個連續(xù)的號共有9種選法；從21至30中選1個號有10種選法；從31至36中選一個號有6種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有8×9×10×64 320(種)選法，至少需花4 320×28 640(元) (2)可分三步給百、十、個位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字共5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個位數(shù)字有4種放法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，三位數(shù)個數(shù)為5×5×4100(個) 答案 (1)D (2)100,考點(diǎn)三 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 【例3】 將一個四棱錐SABCD的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？ 解 法一 設(shè)想染色按SABCD的順序進(jìn)行，對S，A，B染色，有5×4×360(種)染色方法 由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：,C與A同色時(此時C對顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A(C)，S 不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種可選擇的顏 色，D也有2種顏色可供選擇從而對C、D染色有1×3 2×27(種)染色方法 由乘法原理，總的染色方法有60×7420(種),規(guī)律方法 (1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理(2)注意對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化,【訓(xùn)練3】 如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為 ( ) A240 B204 C729 D920 解析 若a22，則“凸數(shù)”為120與121，共1×22個若a23，則“凸數(shù)”有2×36個若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3×412個，若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8×972個所有凸數(shù)有26122030425672240(個) 答案 A,思想方法 1應(yīng)用分類加法計數(shù)原理要注意以下三點(diǎn)： (1)明確題目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事 (2)完成這件事的n類辦法是相互獨(dú)立的，無論哪種辦法都可以單獨(dú)完成這件事，而不需要再用到其他辦法 (3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對“這件事”進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類辦法，不同類的任意兩種方法是不同的方法，這是分類問題中所要求的“不重復(fù)”、“不遺漏”,2使用分步乘法計數(shù)原理的關(guān)注點(diǎn) (1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨(dú)立的 (2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù) (3)解決分步問題時一定要合理設(shè)計步驟、順序，使各步互不干擾、互不影響，還要注意元素是否可以重復(fù)選取,易錯防范 1切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行 2分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步 3確定題目中是否有特殊條件限制.,