最新考綱 1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題,第6講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差,1離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 (1)均值 稱(chēng)E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_,知 識(shí) 梳 理,x1p1x2p2xipixnpn,數(shù)學(xué)期望,平均水平,2均值與方差的性質(zhì) (1)E(aXb)_ (2)D(aXb)_ (a，b為常數(shù)) 3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)_ (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)_,平均偏離程度,標(biāo)準(zhǔn)差,aE(X)b,a2D(X),p(1p),np(1p),1判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無(wú)關(guān) ( ) (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定 ( ) (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小 ( ) (4)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事 ( ),診 斷 自 測(cè),×,×,2已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為 ( ) A.5 B6 C7 D8 解析 由分布列性質(zhì)知：0.50.1b1，b0.4. E(X)4×0.5a×0.19×0.46.3.a7. 答案 C,3(2014·陜西卷)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1，2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為 ( ) A1a，4 B1a，4a C1，4 D1，4a 解析 將每個(gè)數(shù)據(jù)都加上a后均值也增加a，方差不變，故選A. 答案 A,A5 B8 C10 D16 答案 B,5(人教A選修23P69B1改編)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為_(kāi),考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 【例1】 (2013·浙江卷)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分 (1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求X的分布列；,所以X的分布列為,(2)由題意知Y的分布列為,規(guī)律方法 (1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機(jī)變量X的均值為E(X)，則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aXb的均值是aE(X)b，方差為a2D(X),【訓(xùn)練1】 袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1，2，3，4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào) (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值 解 (1)X的分布列為,考點(diǎn)二 與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值、方差,(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？,(2)法一 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2),法二 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為：,規(guī)律方法 求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果XB(n，p)，則用公式E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大減少計(jì)算量,【訓(xùn)練2】 (2014·遼寧卷)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示,將日銷(xiāo)售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立 (1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)的概率； (2)用X表示在未來(lái)3天里日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X) 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”，因此,P(A1)(0.0060.0040.002)×500.6， P(A2)0.003×500.15， P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.,分布列為 因?yàn)閄B(3，0.6)，所以數(shù)學(xué)期望E(X)3×0.61.8， 方差D(X)3×0.6×(10.6)0.72.,考點(diǎn)三 均值與方差在決策中的應(yīng)用 【例3】 (2014·湖北卷)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立 (1)求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率；,(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？,(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬(wàn)元) 安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形 由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1， 對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y5 000，E(Y)5 000×15 000. 安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形 依題意，當(dāng)40X80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；當(dāng)X80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000×210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下 所以，E(Y)4 200×0.210 000×0.88 840.,安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形 依題意，當(dāng)40120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的分布列如下 所以，E(Y)3 400×0.29 200×0.715 000×0.18 620. 綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī) 2臺(tái),規(guī)律方法 隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定,【訓(xùn)練3】 某投資公司在2015年年初準(zhǔn)備將1 000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：,針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由 解 若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬(wàn)元?jiǎng)tX1的分布列為,若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元， 則X2的分布列為：,所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥 綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資,微型專(zhuān)題 概率的創(chuàng)新題型 近年來(lái)，概率統(tǒng)計(jì)已成為高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)注意考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)，提取信息，解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用能力它可以與其他知識(shí)相互融合，形成一些背景、樣式新穎的題型,【例4】 (2013·四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生,(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率Pi(i1，2，3)； (2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫(xiě)程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i1，2，3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù) 甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分),乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分) 當(dāng)n2 100時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；,(3)將按程序框圖正確編寫(xiě)的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望 點(diǎn)撥 (1)運(yùn)行程序框圖，分別數(shù)出輸出y的值為1，2，3的數(shù)的個(gè)數(shù)，即事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型公式求解 (2)利用已知條件中頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表得出各小組頻數(shù)，利用頻率公式得頻率，再與(1)的結(jié)論比較，得出結(jié)論,(2)當(dāng)n2 100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率如下：,比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大,故X的分布列為,點(diǎn)評(píng) (1)本題將程序框圖，古典概型，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列結(jié)合起來(lái)考查，具有一定的綜合性，同時(shí)形式也比較新穎(2)本題注重考查學(xué)生的識(shí)圖，用圖能力，數(shù)據(jù)處理能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等基本能力.,思想方法 1掌握下述均值與方差有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來(lái)方便： (1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)， D(aXb)a2D(X)； (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p) 2基本方法 (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；,(2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解 易錯(cuò)防范 1在沒(méi)有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式 2對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析，一般要將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái)，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差,