最新考綱 1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)；2.了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn),第2講 直接證明與間接證明,1直接證明,知 識(shí) 梳 理,成立,充分,2. 間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類(lèi)證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法 (1)反證法的定義：假設(shè)原命題_(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明_的證明方法 (2)用反證法證明的一般步驟：反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；結(jié)論斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立,不成立,原命題成立,1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明 ( ) (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件 ( ) (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“ab” ( ) (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾 ( ),診 斷 自 測(cè),×,×,×,×,2(2014·山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是 ( ) A方程x3axb0沒(méi)有實(shí)根 B方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根 C方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根 D方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根 解析 因?yàn)椤胺匠蘹3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3axb0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”，所以要做的假設(shè)是“方程x3axb0沒(méi)有實(shí)根” 答案 A,3設(shè)alg 2lg 5，bex(xb Bab. 答案 A,4若a，b，c為實(shí)數(shù)，且aabb2 解析 a2aba(ab)， a0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2. 答案 B,5(人教A選修22P96例1改編)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_(kāi) 答案 等邊三角形,考點(diǎn)一 綜合法的應(yīng)用 【例1】 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明： 證明 (1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca. 由題設(shè)得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1.,規(guī)律方法 用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問(wèn)題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無(wú)條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型在使用綜合法證明時(shí)，易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達(dá)混亂,考點(diǎn)二 分析法的應(yīng)用 【例2】 已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b. 證明 要證明2a3b32ab2a2b成立， 只需證：2a3b32ab2a2b0， 即2a(a2b2)b(a2b2)0， 即(ab)(ab)(2ab)0. ab0，ab0，ab0，2ab0， 從而(ab)(ab)(2ab)0成立， 2a3b32ab2a2b.,規(guī)律方法 (1)分析法采用逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時(shí)，?？紤]用分析法(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過(guò)程的每一步都是可逆的，它的常用書(shū)面表達(dá)形式為“要證只需證”或用“”注意用分析法證明時(shí)，一定要嚴(yán)格按照格式書(shū)寫(xiě),證明 m0，1m0.所以要證原不等式成立， 只需證(amb)2(1m)(a2mb2) 即證m(a22abb2)0，即證(ab)20， 而(ab)20顯然成立，故原不等式得證,考點(diǎn)三 反證法的應(yīng)用 【例3】 設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列 (1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列 (1)解 設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn， 當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1； 當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1. qSna1qa1q2a1qn， 得，(1q)Sna1a1qn，,規(guī)律方法 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的,【訓(xùn)練3】 已知a0，證明關(guān)于x的方程axb有且只有一個(gè)根 假設(shè)x1，x2是它的兩個(gè)不同的根，即ax1b， ax2b， 由得a(x1x2)0， 因?yàn)閤1x2，所以x1x20， 所以a0，這與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤 所以當(dāng)a0時(shí)，方程axb有且只有一個(gè)根.,思想方法 1綜合法的特點(diǎn)是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件 分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件 2分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái),3利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論不成立，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，不用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的 易錯(cuò)防范 注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，在證明過(guò)程中每一步推理都要有充分的依據(jù)，這些依據(jù)就是命題的已知條件和已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)結(jié)論，不可盲目使用正確性未知的自造結(jié)論在使用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，反設(shè)必須恰當(dāng)，如“都是”的否定是“不都是”“至少一個(gè)”的否定是“不存在”等.,