最新考綱 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題,第3講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用,1數(shù)學(xué)歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_時命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)_時命題也成立 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立,知 識 梳 理,第一個值n0(n0N*),nk1,2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示,1判斷正誤(請在括號中打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗證當(dāng)n1時結(jié)論成立 ( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明 ( ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用 ( ) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項 ( ),診 斷 自 測,×,×,×,×,A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 答案 C,解析 nk時，等式左邊123k2，nk1時，等式左邊123k2(k21)(k22)(k1)2.比較上述兩個式子，nk1時，等式的左邊是在假設(shè)nk時等式成立的基礎(chǔ)上，等式的左邊加上了(k21)(k22)(k1)2. 答案 D,4用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN)命題為真時，進(jìn)而需證n_時，命題亦真 解析 因為n為正奇數(shù)，所以與2k1相鄰的下一個奇數(shù)是2k1. 答案 2k1,答案 3 4 5 n1,考點(diǎn)一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：,所以當(dāng)nk1時，等式也成立， 由(1)(2)可知，對于一切nN*等式都成立 規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式時，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時等式的兩邊變化的項，然后正確寫出歸納證明的步驟，使問題得以證明,【訓(xùn)練1】 求證：(n1)(n2)··(nn)2n·1·3·5··(2n1)(nN*) 證明 (1)當(dāng)n1時，等式左邊2，右邊21·12，等式成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，等式成立，即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1) 當(dāng)nk1時，左邊(k2)(k3)··2k·(2k1)(2k2) 2·(k1)(k2)(k3)··(kk)·(2k1) 2·2k·1·3·5··(2k1)·(2k1) 2k1·1·3·5··(2k1)(2k1) 這就是說當(dāng)nk1時，等式成立 根據(jù)(1)(2)知，對nN*，原等式成立,考點(diǎn)二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例2】 等比數(shù)列an的前n項和為Sn.已知對任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0，且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上 (1)求r的值； (2)當(dāng)b2時，記bn2(log2an1)(nN*),規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時命題成立證nk1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化,考點(diǎn)三 歸納猜想證明 (1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項公式； (2)證明通項公式的正確性,規(guī)律方法 “歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性,【訓(xùn)練3】 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1(nN*) (1)求a1，a2； (2)猜想數(shù)列Sn的通項公式，并給出證明,思想方法 1數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不可，否則就會導(dǎo)致錯誤 有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ) 2歸納假設(shè)的作用 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)：,(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證nk1時，必須用上歸納假設(shè) 3利用歸納假設(shè)的技巧 在推證nk1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè)此時既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用,易錯防范 1數(shù)學(xué)歸納法證題時初始值n0不一定是1. 2推證nk1時一定要用上nk時的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法 3解“歸納猜想證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算出前若干具體項，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)否則將會做大量無用功,