最新考綱 1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性,第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性,1函數(shù)的奇偶性,知 識(shí) 梳 理,f(x)f(x),f(x)f(x),y軸,原點(diǎn),2. 奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性_(填“相同”、 “相反”) (2)在公共定義域內(nèi) 兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是_，兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù)是_ 兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是_ 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是_ (3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則f(0)0.,相同,相反,奇函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),3周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)_，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期 (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_ _的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期,f(x),一個(gè)最小,存在,1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù) ( ) (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn) ( ) (3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱 ( ) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù) ( ) (5)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱 ( ),診 斷 自 測(cè),×,×,2(2014·太原模擬)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，)上單調(diào)遞增的函數(shù)是 ( ) Ayx3 By|x|1,答案 B,3(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是 ( ) Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù) Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù),解析 依題意得對(duì)任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)·g(x)，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)；|f(x)|·g(x)|f(x)|·g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C正確； |f(x)·g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯(cuò) 答案 C,4已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0，2)時(shí)，f(x)2x2，則f(2 015)等于 ( ) A2 B2 C98 D98 解析 f(x4)f(x)， f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， f(2 015)f(503×43)f(3)f(1) 又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2×122， 即f(2 015)2. 答案 A,5(人教A必修1P39A6改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則x0時(shí)，f(x)_ 解析 當(dāng)x0時(shí)，則x0，f(x)(x)(1x) 又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)(x)(1x)， f(x)x(1x) 答案 x(1x),考點(diǎn)一 函數(shù)奇偶性的判斷及其應(yīng)用,答案 C,函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)x22x1f(x)， 當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)x22x1f(x) f(x)f(x)，即函數(shù)是奇函數(shù),規(guī)律方法 判斷函數(shù)的奇偶性，包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0 (偶函數(shù))是否成立,答案 (1)A (2)±1,(2)由f(x2)f(x)， 得f(x4)f(x2)2f(x2) f(x)f(x)， 所以函數(shù)f(x)的周期為4， f(105.5)f(4×272.5)f(2.5)f(2.5)2.5. 答案 (1)A (2)2.5 規(guī)律方法 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值,答案 (1)C (2)B,考點(diǎn)三 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例3】 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，則 ( ) Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) (2)(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，f(3)3，則f(1)_ 解析 (1)f(x)滿足f(x4)f(x)， f(x8)f(x)，函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3),由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1) f(x)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)， f(x)在R上是奇函數(shù)， f(x)在區(qū)間2，2上是增函數(shù)， f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11) (2)因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，所以f(x)f(4x)， f(x)f(4x)，又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，則 f(1)f(41)f(3)3. 答案 (1)D (2)3,規(guī)律方法 比較不同區(qū)間內(nèi)的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小對(duì)于偶函數(shù)，如果兩個(gè)自變量的取值在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間上，即正負(fù)不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象的對(duì)稱性將兩個(gè)值化歸到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷,深度思考 你知道奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系了嗎(奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反)？在解決有關(guān)偶函數(shù)問題時(shí)，常利用f(x)f(|x|)這一結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,答案 C,易錯(cuò)防范 1在用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷時(shí)，要注意自變量在定義域內(nèi)的任意性不能因?yàn)閭€(gè)別值滿足f(x)±f(x)，就確定函數(shù)的奇偶性,2分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域的奇偶性 3函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(ax)f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.,