第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性,最新考綱展示 1結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義 2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性,一、函數(shù)的奇偶性,二、周期性 1周期函數(shù) 對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有 ，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期 2最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中 的正數(shù)，那么這個 就叫做f(x)的最小正周期,f(xT)f(x),存在一個最小,最小正數(shù),7對稱性與周期的關(guān)系 (1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa和直線xb對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|ab|是它的一個周期 (2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|ab|是它的一個周期 (3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)和直線xb對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|ab|是它的一個周期,1(2014年高考新課標全國卷)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( ) Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù) Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 解析：由題意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，對于選項A，f(x)·g(x)f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)，故A項錯誤；對于選項B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，故B項錯誤；對于選項C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，故C項正確；對于選項D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，故D項錯誤，選C. 答案：C,2(2014年高考湖南卷)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)( ) A3 B1 C1 D3 解析：解法一 f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21，又由題意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)1，故選C. 解法二 令f(x)x21，g(x)x3，顯然符合題意， f(1)g(1)121131.選C. 答案：C,函數(shù)奇偶性的判定(自主探究),(2)對于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件,當x0時，x0，f(x)x2x， f(x)(x)2x x2x (x2x) f(x) 所以對于x(，0)(0，)， 均有f(x)f(x) 函數(shù)為奇函數(shù),(2)若f(x)是奇函數(shù)，則對任意的xR，均有f(x)f(x)，即|f(x)|f(x)|f(x)|， 所以y|f(x)|是偶函數(shù)，即y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱 反過來，若y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，則不能得出yf(x)一定是奇函數(shù)，比如y|x2|，顯然，其圖象關(guān)于y軸對稱，但是yx2是偶函數(shù)故“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的必要而不充分條件 答案 (1) (2)B,規(guī)律方法 (1)判定函數(shù)奇偶性的常用方法及思路： 定義法：,圖象法：,性質(zhì)法：a.“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； b“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； c“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇 (2)判斷函數(shù)奇偶性時應注意問題： 分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據(jù)x的范圍取相應的解析式，判斷f(x)與f(x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷 “性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的 性質(zhì)法在小題中可直接運用，但在解答題中應給出性質(zhì)推導的過程,例2 (2014年天水一模)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，若f(2)2，則f(2 014)的值為( ) A2 B0 C2 D±2 解析 g(x)f(x1)，g(x)f(x1) 又g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)， f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)， 則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(2 014)f(2)2. 答案 A 規(guī)律方法 函數(shù)周期性的判斷要結(jié)合周期性的定義，還可以利用圖象法及總結(jié)的幾個結(jié)論，如f(xa)f(x)T2a.,函數(shù)的周期性(師生共研),(2014年信陽二模)函數(shù)f(x)lg|sin x|是( ) A最小正周期為的奇函數(shù) B最小正周期為2的奇函數(shù) C最小正周期為的偶函數(shù) D最小正周期為2的偶函數(shù) 解析：易知函數(shù)的定義域為x|xk，kZ，關(guān)于原點對稱，又f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|lg|sin x|f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，又函數(shù)y|sin x|的最小正周期為，所以函數(shù)f(x)lg|sin x|是最小正周期為的偶函數(shù) 答案：C,考情分析 函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主 歸納起來常見的命題角度有： (1)求函數(shù)值 (2)與函數(shù)圖象有關(guān)的問題 (3)奇偶性、周期性單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性、周期性等性質(zhì)的綜合應用(高頻研析),答案：,規(guī)律方法 應用函數(shù)奇偶性可解決的問題及方法 (1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解 (2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式 將待求區(qū)間上的自變量，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式 (3)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 常常利用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(x)0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解 (4)應用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性.,