最新考綱 1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)；4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型,第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù),知 識 梳 理,(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras_，(ar)s_，(ab)r_，其中a0，b0，r，sQ.,0,沒有意義,ars,ars,arbr,2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),R,(0，),(0，1),y1,0y1,0y1,y1,增函數(shù),減函數(shù),診 斷 自 測,×,×,×,×,2已知函數(shù)f(x)ax(0a1)，對于下列命題： 若x0，則0f(x)1；若x1，則f(x)0； 若f(x1)f(x2)，則x1x2. 其中正確的命題 ( ) A有3個(gè) B有2個(gè) C有1個(gè) D不存在 解析 結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知正確 答案 A,3(2014·陜西卷)下列函數(shù)中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是 ( ) Af(x)x3 Bf(x)3x 解析 axyax·ay，滿足f(xy)f(x)·f(y)， 可先排除A，C，又因?yàn)閒(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故選B. 答案 B,4若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_,答案 4a,考點(diǎn)一 指數(shù)冪的運(yùn)算 【例1】 化簡下列各式：,規(guī)律方法 (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù),考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 【例2】 (1)函數(shù)f(x)axb的圖象如圖，其中a， b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 ( ) Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D0a1，b0 (2)(2015·衡水模擬)若曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_,解析 (1)由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0，故選D. (2)曲線|y|2x1與直線yb的圖象如圖 所示，由圖象可知：如果|y|2x1與直 線yb沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是 b1，1 答案 (1)D (2)1，1,規(guī)律方法 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解,【訓(xùn)練2】 (1)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 014a2 015b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有 ( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) (2)(2014·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|，abc且f(a)f(c)f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是 ( ) Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 C2a2c D2a2c2,解析 (1)設(shè)2 014a2 015bt，如圖所示， 由函數(shù)圖象，可得 若t1，則有ab0；若t1，則有ab 0；若0t1，則有ab0. 故可能成立，而不可能成立,(2)作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象，如圖， abc，且f(a)f(c)f(b)，結(jié)合圖象知f(a)1，a0，c0，02a1. f(a)|2a1|12a1， f(c)1，0c1. 12c2，f(c)|2c1|2c1， 又f(a)f(c)，12a2c1， 2a2c2，故選D. 答案 (1)B (2)D,考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 【例3】 (1)下列各式比較大小正確的是 ( ) A1.72.51.73 B0.610.62 C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1,解析 (1)A中，函數(shù)y1.7x在R上是增函數(shù)， 250.62. C中，(0.8)11.25， 問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小,y1.25x在R上是增函數(shù)，0.11，00.93.10.93.1.,規(guī)律方法 (1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域 (最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致，只需根據(jù)條件靈活選擇即可,【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)kaxax(a0且a1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù) (1)若f(1)0，試求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；,思想方法 1判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較 2比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底或同指，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小 3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的單調(diào)性和底數(shù)a有關(guān)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論,4與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成；而與其有關(guān)的最值問題，往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題 易錯(cuò)防范 1指數(shù)冪的運(yùn)算容易出現(xiàn)的問題是誤用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，或在運(yùn)算中變換的方法不當(dāng)，不注意運(yùn)算的先后順序等 2復(fù)合函數(shù)的問題，一定要注意函數(shù)的定義域 3形如a2xb·axc0或a2xb·axc0(0)形式，常借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程或不等式求解，但應(yīng)注意換元后 “新元”的范圍.,