第八節(jié) 函數(shù)與方程,最新考綱展示 1結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù) 2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解,一、函數(shù)的零點(diǎn) 方程的實(shí)數(shù)解與函數(shù)的零點(diǎn) 1零點(diǎn)的定義 函數(shù)yf(x)的圖象與 的交點(diǎn)的 稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn) 2函數(shù)零點(diǎn)的判定 若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即 ，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解,橫軸,橫坐標(biāo),f(a)·f(b)0,二、二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系,三、二分法 1二分法的含義 每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱為二分法 2利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過程(框圖表示),其中“M”的含義：取新區(qū)間，一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)，另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè)，新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào)“N”的含義：方程解滿足要求的精度,1函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是指方程f(x)0的根，也可以認(rèn)為函數(shù)f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，但不是指交點(diǎn)(x，f(x)，也要把這里的“點(diǎn)”與幾何學(xué)中的“點(diǎn)”區(qū)別開來，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn)在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo) 2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)f(a)·f(b)0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)不一定沒有零點(diǎn),4如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)不一定有f(a)·f(b)0.例如函數(shù)f(x)x35x26x在區(qū)間1,4上有零點(diǎn)2和3，卻有f(1)·f(4)0. 5二次函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)問題的處理方略： (1)結(jié)合圖象分析，對稱軸與區(qū)間關(guān)系 (2)考慮判別式的取值 (3)區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào),1函數(shù)f(x)2x3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 解析：易知f(x)2x3x在R上是增函數(shù) 而f(2)2260， f(1)·f(0)0， 故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)上有零點(diǎn)，故選B. 答案：B,答案：B,解析：由f(2)·f(3)0可知x0(2,3) 答案：(2,3),例1 (1)(2015年皖南八校聯(lián)考)設(shè)f(x)exx4，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間( ) A(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3),確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間(自主探究),答案 (1)C (2)C,規(guī)律方法 (1)對函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中，必須強(qiáng)調(diào)： f(x)在a，b上連續(xù) f(a)·f(b)0. 在(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn) 這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，但不必要 (2)對于定義域內(nèi)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào),例2 定義在R上的奇函數(shù)yf(x)滿足f(3)0，且不等式f(x)xf (x)在(0，)上恒成立，則函數(shù)g(x)xf(x)lg|x1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A4 B3 C2 D1 解析 g(x)0即xf(x)lg|x1|，xf(x)f(x)xf (x)，由已知得xf(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(x)為奇函數(shù)，所以xf(x)為偶函數(shù)且零點(diǎn)為3，3，0，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)yxf(x)和ylg|x1|的圖象，易知交點(diǎn)有3個(gè)，故g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷(師生共研),答案 B,規(guī)律方法 判斷函數(shù)yf(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1)直接法：令f(x)0，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) (2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題,1已知函數(shù)yf(x)是周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)2|x|1，則函數(shù)F(x)f(x)|lg x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A9 B10 C11 D18 解析：由F(x)0得f(x)|lg x|，所以函數(shù)F(x)f(x)|lg x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)yf(x)與y|lg x|圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)作出函數(shù)圖象，如圖所示： 當(dāng)010時(shí)，|lg x|1，所以此時(shí)函數(shù)yf(x)與y|lg x|圖象無交點(diǎn)故函數(shù)F(x)f(x)|lg x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10. 答案：B,函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(師生共研),解析 (1)畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 觀察圖象可知，若方程f(x)a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya有3個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)需滿足0a1，故選D.,規(guī)律方法 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路： (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍 (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決 (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解,與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)分布(師生共研),答案 C,規(guī)律方法 (1)解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題：可利用一元二次方程的求根公式；可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；利用二次函數(shù)的圖象列不等式組 (2)二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題主要是構(gòu)造二次函數(shù)之后，數(shù)形結(jié)合從判別式，對稱軸與區(qū)間關(guān)系及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)三個(gè)方面得出條件，解決時(shí)要注意逐一方面進(jìn)行驗(yàn)證,3關(guān)于x的方程mx22(m3)x2m140有兩實(shí)根，且一個(gè)大于4，一個(gè)小于4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍,