最新考綱 1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系,第2講 等差數(shù)列及其前n項和,1等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第_項起，每一項與它的前一項的差等于_，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的_，公差通常用字母d表示 數(shù)學語言表達式：an1and(nN*，d為常數(shù))，或anan1d(n2，d為常數(shù)),知 識 梳 理,2,同一個常數(shù),公差,2等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 (1)若等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an_ 通項公式的推廣：anam_(m，nN*) (2)等差數(shù)列的前n項和公式,a1(n1)d,(nm)d,3等差數(shù)列及前n項和的性質 (1)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項，且 A_ (2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*) (3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m， (k，mN*)是公差為_的等差數(shù)列 (4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列 (5)S2n1(2n1)an. 若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項),md,4等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系 數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A，B為常數(shù)) 5等差數(shù)列的前n項和的最值 在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最_值；若a10，d0，則Sn存在最_值,大,小,1判斷正誤(在括號內打“”或“×”) 精彩PPT展示 (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列 ( ) (2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*，都有2an1anan2. ( ) (3)等差數(shù)列an的單調性是由公差d決定的 ( ) (4)數(shù)列an滿足an1ann，則數(shù)列an是等差數(shù)列. ( ),診 斷 自 測,×,×,2(2014·福建卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a12，S312，則a6等于 ( ) A8 B10 C12 D14,答案 C,3(2013·新課標全國卷)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m ( ) A3 B4 C5 D6,答案 C,4(2014·北京卷)若等差數(shù)列an滿足a7a8a90，a7a100，則當n_時，an的前n項和最大 解析 因為數(shù)列an是等差數(shù)列，且a7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.當n8時，其前n項和最大 答案 8,5(人教A必修5P68A8改編)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7450，則a2a8_ 解析 由等差數(shù)列的性質，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. 答案 180,考點一 等差數(shù)列的性質及基本量的求解 【例1】 (1)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S84a3，a7 2，則a9 ( ) A6 B4 C2 D2 解析 法一 (常規(guī)解法)：設公差為d，則8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6. 法二 (結合性質求解)：根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質可得，S84(a3a6)，又S84a3， 所以a60，又a72，所以a84，a96. 答案 A,(2)(2014·浙江卷)已知等差數(shù)列an的公差d0.設an的前n項和為Sn，a11，S2·S336. 求d及Sn； 求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65. 解 由題意知(2a1d)(3a13d)36， 將a11代入上式解得d2或d5. 因為d0，所以d2.從而an2n1，Snn2(nN*) 由得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.,規(guī)律方法 (1)一般地，運用等差數(shù)列性質，可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程但要注意性質運用的條件，如mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)，只有當序號之和相等、項數(shù)相同時才成立(2)在求解等差數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意公式使用時的準確性與合理性，更要注意運算的準確性在遇到一些較復雜的方程組時，要注意整體代換思想的運用，使運算更加便捷,【訓練1】 (1)設數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37等于 ( ) A0 B37 C100 D37 (2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為 ( ) A13 B12 C11 D10 (3)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S1010，S2030，則S30_,解析 (1)設an，bn的公差分別為d1，d2，則(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2， anbn為等差數(shù)列， 又a1b1a2b2100， anbn為常數(shù)列， a37b37100. (2)因為a1a2a334，an2an1an146， a1a2a3an2an1an34146180， 又因為a1ana2an1a3an2， 所以3(a1an)180，從而a1an60，,答案 (1)C (2)A (3)60,規(guī)律方法 證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法，證明anan1d(n2，d為常數(shù))；二是等差中項法，證明2an1anan2.若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法,【訓練2】 (2015·西安模擬)已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a3·a4117，a2a522. (1)求數(shù)列an的通項公式；,解 (1)設等差數(shù)列an的公差為d，且d0， 由等差數(shù)列的性質，得a2a5a3a422， 所以a3，a4是關于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4， 故通項為an1(n1)×44n3.,考點三 等差數(shù)列前n項和的最值問題 【例3】 等差數(shù)列an的首項a10，設其前n項和為Sn，且S5S12，則當n為何值時，Sn有最大值？,深度思考 解決此類問題你首先想到的是哪種方法？在這里提醒大家：本題可用四種方法，請大家先思考,規(guī)律方法 求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調性，求出其正負轉折項；(2)利用性質求出其正負轉折項，便可求得和的最值；(3)將等差數(shù)列的前n項和SnAn2Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值,【訓練3】 (1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a5a74，a6a82，則當Sn取最大值時，n的值是 ( ) A5 B6 C7 D8 (2)(2014·望江中學模擬)設數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，Sn為前n項和，若S65a110d，則Sn取最大值時，n的值為 ( ) A5 B6 C5或6 D11 (3)已知等差數(shù)列an的首項a120，公差d2，則前n項和Sn的最大值為_,解析 (1)依題意得2a64，2a72，a620，a710；又數(shù)列an是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項均為正數(shù)，自第7項起以后各項均為負數(shù)，于是當Sn取最大值時，n6，選B. (2)由題意得S66a115d5a110d，所以a60，故當n5或6時，Sn最大，選C.,(3)因為等差數(shù)列an的首項a120，公差d2，代入求和公式得，,又因為nN*，所以n10或n11時，Sn取得最大值，最大值為110. 答案 (1)B (2)C (3)110,思想方法 1判斷數(shù)列為等差數(shù)列的方法 (1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列 (2)等差中項法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列. (3)通項公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列 (4)前n項和公式：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列,2方程思想和化歸思想：在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解 3在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設三個數(shù)為(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可視具體情況而定 易錯防范 1當公差d0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)，當公差d0時，an為常數(shù) 2公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列,3求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件若對稱軸取不到，需考慮最接近對稱軸的自變量n(n為正整數(shù))；若對稱軸對應兩個正整數(shù)的中間，此時應有兩個符合題意的n值,