第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,最新考綱展示 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題,數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： 1(歸納奠基)證明當(dāng)n取_時(shí)命題成立 2(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立,第一個(gè)值n0(n0N*),nk1,1數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示： 2數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù) 3在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算nn0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值,解析：三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3. 答案：C,解析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知，則nk(k2為偶數(shù))下一個(gè)偶數(shù)為k2，故選B. 答案：B,解析：項(xiàng)數(shù)為n2(n1)n2n1. 答案：D,例1 已知等差數(shù)列an的公差為3，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為2，且a1b12. (1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式； (2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN*，證明Tn122an10bn(nN*) 解析 (1)由a12，公差d3， ana1(n1)d3n1. 在等比數(shù)列bn中，公比q2，首項(xiàng)b12， bn2·2n12n.,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(師生共研),(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立； 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立， 即Tk122ak10bk， 當(dāng)nk1時(shí)， Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1 ak1b1q(akb1ak1b2a1bk) ak1b1qTk ak1b1q(2ak10bk12) 2ak14(ak13)10bk124 2ak110bk112， 即Tk1122ak110bk1. 因此nk1時(shí)等式也成立 由、可知，對(duì)任意nN*，Tn122an10bn成立,規(guī)律方法 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少 (2)由nk時(shí)等式成立，推出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程,1求證：(n1)(n2)··(nn)2n·1·3·5··(2n1)(nN*) 證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊2，右邊21·12，等式成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，等式成立，即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1) 當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k2)(k3)··2k·(2k1)(2k2) 2·(k1)(k2)(k3)··(kk)·(2k1) 2·2k·1·3·5··(2k1)·(2k1) 2k1·1·3·5··(2k1)(2k1) 這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，等式成立 根據(jù)(1)、(2)知，對(duì)nN*，原等式成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(師生共研),規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立證nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化,2若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過(guò)點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.,歸納猜想證明(師生共研),規(guī)律方法 “歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性,解析：f (x)x21，an1f (an1)， an1(an1)21. 函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，于是由a11，得a2(a11)21221， 進(jìn)而得a3(a21)21241231， 由此猜想：an2n1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：,