第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,§2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類(lèi) 深度剖析,易錯(cuò)警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.函數(shù)的奇偶性,y軸,f(x)f(x),f(x)f(x),原點(diǎn),知識(shí)梳理,1,答案,2.周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有_，那么就稱(chēng)函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.,f(xT)f(x),存在一個(gè)最小,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) (1)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn).( ) (2)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線(xiàn)xa對(duì)稱(chēng).( ) (3)函數(shù)f(x)在定義域上滿(mǎn)足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù).( ) (4)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱(chēng).( ) (5)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)f(x)g(x)是偶函數(shù).( ) (6)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期.( ),×,答案,思考辨析,解析 對(duì)于，f(x)exex的定義域?yàn)镽，f(x)exexf(x)， 故yexex為奇函數(shù).,y|sin x|和ycos x為偶函數(shù).,考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x1)是偶函數(shù)，則f(1)f(2)f(3)f(4)_. 解析 由f(x1)是偶函數(shù)得f(x1)f(x1)， 又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)， 所以f(x2)f(x)，即f(x)f(x2)0， 所以f(1)f(3)0，f(2)f(4)0， 因此f(1)f(2)f(3)f(4)0.,0,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015·天津)已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi). 解析 由函數(shù)f(x)2|xm|1為偶函數(shù)，得m0， 所以f(x)2|x|1， 當(dāng)x0時(shí)，f(x)為增函數(shù)， log0.53log23， 所以log25|log23|0， 所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0).,cab,解析答案,1,2,3,4,5,解析 函數(shù)的周期是2，,1,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則x0， f(x)(x)(1x). 又f(x)為奇函數(shù)， f(x)f(x)(x)(1x)， f(x)x(1x).,x(1x),解析答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類(lèi) 深度剖析,題型一 判斷函數(shù)的奇偶性,例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)x3x； 解 定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 又f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)， 函數(shù)為奇函數(shù).,解析答案,函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 函數(shù)為非奇非偶函數(shù).,解析答案,解 當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)x2x， f(x)(x)2xx2x (x2x)f(x). 對(duì)于x(，0)(0，)， 均有f(x)f(x). 函數(shù)為奇函數(shù).,解析答案,思維升華,思維升華,(1)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：,(2)分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x的范圍取相應(yīng)的解析式化簡(jiǎn)，判斷f(x)與f(x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷.,(1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是_.(填序號(hào)) f(x)g(x)是偶函數(shù)； |f(x)|g(x)是奇函數(shù)； f(x)|g(x)|是奇函數(shù)； |f(x)g(x)|是奇函數(shù). 解析 易知f(x)|g(x)|定義域?yàn)镽， f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)， f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|， f(x)|g(x)|為奇函數(shù).,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)函數(shù)f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，則函數(shù)F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)分別是_(填奇偶性). 解析 F(x)，G(x)定義域均為(2,2)， 由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)， G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)， F(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù).,偶函數(shù)，奇函數(shù),解析答案,題型二 函數(shù)的周期性,例2 (1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 017)等于_.,解析答案,解析 f(x6)f(x)，T6. 當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2； 當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1， f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0， f(1)f(2)f(6)1，,又f(2 017)f(1)1. f(1)f(2)f(3)f(2 017)337. 答案 337,故函數(shù)的周期為4. f(105.5)f(4×272.5)f(2.5)f(2.5). 22.53，由題意，得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5.,2.5,解析答案,思維升華,思維升華,解析 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)， f(x)的周期T2， 又當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,題型三 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,命題點(diǎn)1 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,例3 (1)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)_.,解析答案,解析 f(x)是奇函數(shù)， f(1)f(1). 又g(x)是偶函數(shù)， g(1)g(1). f(1)g(1)2， g(1)f(1)2. 又f(1)g(1)4， f(1)g(1)4. 由，得g(1)3. 答案 3,即ln(ax2x2)0， a1.,1,解析 f(x)為偶函數(shù)，,解析答案,命題點(diǎn)2 單調(diào)性與奇偶性、周期性結(jié)合,解析 f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)， f(5)f(56)f(1)f(1)，,解得1a4.,(1,4),解析答案,(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則f(25)，f(11)，f(80)的大小關(guān)系是_.,解析答案,思維升華,解析 f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)， f(x8)f(x)， 函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)， 則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3). 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x4)f(x)， 得f(11)f(3)f(1)f(1). f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，f(1)f(0)f(1)， 即f(25)f(80)f(11). 答案 f(25)f(80)f(11),思維升華,思維升華,(1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題. (2)掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來(lái)方便：f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|).若奇函數(shù)在x0處有意義，則f(0)0.,(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，則a_. 解析 函數(shù)f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)， 故f(x)f(x)， 即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，,整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為_(kāi).,解析答案,返回,解析 f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， f(0)0. 又當(dāng)x0， f(x)x24x. 又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)， f(x)x24x (x0)，,解析答案,當(dāng)x0時(shí)，由f(x)x得x24xx，解得x5； 當(dāng)x0時(shí)，f(x)x無(wú)解； 當(dāng)xx得x24xx，解得5x的解集用區(qū)間表示為(5,0)(5，). 答案 (5,0)(5，),返回,易錯(cuò)警示系列,易錯(cuò)警示系列,2.忽視定義域致誤,易錯(cuò)分析 解題中忽視函數(shù)f(x)的定義域，直接通過(guò)計(jì)算f(0)0得k1.,易錯(cuò)分析,解析答案,由f(x)f(x)0可得k21， k±1. 答案 ±1,易錯(cuò)分析 本題易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤： 由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽視了1x20導(dǎo)致解答失誤.,易錯(cuò)分析,解析答案,返回,溫馨提醒,由圖象可知，若f(1x2)f(2x)，,溫馨提醒,溫馨提醒,返回,(1)已知函數(shù)的奇偶性，利用特殊值確定參數(shù)，要注意函數(shù)的定義域. (2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，應(yīng)高度關(guān)注：對(duì)變量所在區(qū)間的討論.保證各段上同增(減)時(shí)，要注意左、右段端點(diǎn)值間的大小關(guān)系.弄清最終結(jié)果取并集還是交集.,思想方法 感悟提高,1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件. 2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問(wèn)題 求函數(shù)值；求解析式；求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；畫(huà)函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性. 3.在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.,方法與技巧,1.f(0)0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.應(yīng)用時(shí)要注意函數(shù)的定義域并進(jìn)行檢驗(yàn). 2.判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，要以整體的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇、偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域的奇偶性.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 對(duì)于，函數(shù)ylog2|x|是偶函數(shù)且在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)； 對(duì)于，函數(shù)ycos 2x在區(qū)間(1,2)上不是增函數(shù)；,解析答案,g(x)是奇函數(shù)，,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,2,3.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2x2，則f(2 019)_. 解析 f(x4)f(x)， f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， f(2 019)f(504×43)f(3)f(1). 又f(x)為奇函數(shù)， f(1)f(1)2×122， 即f(2 019)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由題意知f(x)為偶函數(shù)， 所以f(2)f(2)， 又x0，)時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且321， f(3)f(2)f(1)， 即f(3)f(2)f(1).,f(3)f(2)f(1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析 f(x)是奇函數(shù)， 當(dāng)xf(a)，得2a2a， 解得2a1.,(2,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，若對(duì)任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_. 解析 當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， f(x)在R上是增函數(shù)，,xt，t2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f(1)0，則不等式f(x2)0的解集是_. 解析 由已知可得x21或x21， 解得x3或x1， 所求解集是(，13，).,(，13，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)求實(shí)數(shù)m的值； 解 設(shè)x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x). 于是x0時(shí)，f(x)x22xx2mx， 所以m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，,所以1a3， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)，當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； 證明 f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x). f(x)是周期為4的周期函數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式； 解 x2,4，x4，2， 4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8， 又f(4x)f(x)f(x)， f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 016). 解 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7) f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0. f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(2 016)f(0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,11.已知f(x)是定義域?yàn)?1,1)的奇函數(shù)，而且f(x)是減函數(shù)，如果f(m2)f(2m3)0，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)是定義域?yàn)?1,1)的奇函數(shù)， 10可轉(zhuǎn)化為f(m2)f(2m3)， f(m2)f(2m3)， f(x)是減函數(shù)， m22m3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,由得a2，b4，從而a3b10.,答案 10,解析 因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0x2時(shí)，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi). 解析 因?yàn)楫?dāng)0x2時(shí)，f(x)x3x， 又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)0， 所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0， 所以f(3)f(5)0.故函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(x)的結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)；f(x)在0,1上是增函數(shù)；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0).其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 對(duì)于，f(x2)f(x1)f(x)f(x)，故2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，故正確； 對(duì)于，由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，則f(2x)f(x2)f(x)，即f(2x)f(x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，故正確； 對(duì)于，由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在1,0上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)在0,1上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤； 對(duì)于，由于函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)且在1,0上為增函數(shù)，由周期函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f(x)在1,2上是增函數(shù)，故錯(cuò)誤； 對(duì)于，由于函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以f(2)f(0)，故正確.綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x0，且滿(mǎn)足對(duì)于任意x1，x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值； 解 對(duì)于任意x1，x2D， 有f(x1·x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； 解 f(x)為偶函數(shù). 證明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，,令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)， f(x)為偶函數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍. 解 依題設(shè)有f(4×4)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函數(shù)， f(x1)2f(|x1|)f(16). 又f(x)在(0，)上是增函數(shù). 0|x1|16，解之得15x17且x1. x的取值范圍是x|15x17且x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,