第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,§2.8 函數(shù)與方程,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使函數(shù)yf(x)的值為0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點. (2)幾個等價關(guān)系 方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與 有交點函數(shù)yf(x)有 .,x軸,零點,知識梳理,1,答案,(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條不間斷的曲線，且 ，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間_上有零點，即存在c(a，b)，使得_，這個_也就是方程f(x)0的根. 2.二分法 對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且 的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 ，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.,f(a)·f(b)0,(a，b),f(c)0,c,f(a)·f(b)0,零點,答案,3.二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象與零點的關(guān)系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.( ) (2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0.( ) (3)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值.( ) (4)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點.( ) (5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點.( ),×,×,×,答案,思考辨析,1.(教材改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是_.,f(x)在(1,0)內(nèi)有零點， 又f(x)為增函數(shù)， 函數(shù)f(x)有且只有一個零點.,1,考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.若x1，x2是方程 的兩個實根，則x1x2_. 解析,1,x1x21.,解析答案,1,2,3,4,5,3.函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點個數(shù)為_.,由圖象知兩函數(shù)圖象有2個交點， 故函數(shù)f(x)有2個零點.,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析 當(dāng)x2時，g(x)x1，f(x)(x2)2； 當(dāng)0x2時，g(x)3x，f(x)2x； 當(dāng)x2時，方程f(x)g(x)0可化為x25x50，,當(dāng)0x2時，方程f(x)g(x)0可化為2x3x，無解； 當(dāng)x0時，方程f(x)g(x)0可化為x2x10，其根為,所以函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)為2. 答案 2,1,2,3,4,5,5.函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_. 解析 函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得 f(1)f(1)0， (3a1)·(1a)0，,解析答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,題型一 函數(shù)零點的確定,命題點1 函數(shù)零點所在的區(qū)間,x0(2,3).,2,解析答案,命題點2 函數(shù)零點個數(shù)的判斷,所以f(x)在(0，)上是增函數(shù). 又因為f(2)2ln 20， 所以f(x)在(0，)上有一個零點， 綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.,2,所以在(，0上有一個零點.,解析答案,(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,1時，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)是_. 解析 由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù). 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)及ylog3|x|的圖象，如圖： 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點， 即函數(shù)yf(x)log3|x|有4個零點.,4,解析答案,命題點3 求函數(shù)的零點,例3 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x23x，則函數(shù)g(x)f(x)x3的零點的集合為_.,解析答案,思維升華,解析 當(dāng)x0時，f(x)x23x， 令g(x)x23xx30，得x13，x21. 當(dāng)x0， f(x)(x)23(x)， f(x)x23x，f(x)x23x. 令g(x)x23xx30，,思維升華,(1)確定函數(shù)零點所在區(qū)間，可利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：解方程法；零點存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).,思維升華,所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)函數(shù) 的零點個數(shù)為_.,解析答案,f(0)f(1)0， 故函數(shù)f(x)在(0,1)至少存在一個零點， 又f(x)顯然為增函數(shù)， f(x)零點個數(shù)為1. 答案 1,所以零點只有一個.,題型二 函數(shù)零點的應(yīng)用,例4 若關(guān)于x的方程22x2xaa10有實根，求實數(shù)a的取值范圍.,解析答案,思維升華,解 方法一 (換元法) 設(shè)t2x (t0)，則原方程可變?yōu)閠2ata10，(*) 原方程有實根，即方程(*)有正根. 令f(t)t2ata1. 若方程(*)有兩個正實根t1，t2，,解析答案,思維升華,若方程(*)有一個正實根和一個負(fù)實根(負(fù)實根不合題意，舍去)， 則f(0)a10，解得a1； 若方程(*)有一個正實根和一個零根，,解析答案,思維升華,思維升華,思維升華,對于“af(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)yf(x)的值域來解決，解的個數(shù)可化為函數(shù)yf(x)的圖象和直線ya交點的個數(shù).,則有f(1)·f(2)0， 所以(a)(41a)0， 即a(a3)0. 所以0a3.,(0,3),跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,解析 畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，,觀察圖象可知，若方程f(x)a0有 三個不同的實數(shù)根， 則函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya 有3個不同的交點， 此時需滿足0a1.,(0,1),解析答案,題型三 二次函數(shù)的零點問題,例5 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍.,解析答案,思維升華,解 方法一 設(shè)方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1，x2(x1x2)， 則(x11)(x21)0， x1x2(x1x2)10， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a2)(a21)10， 即a2a20， 2a1.,解析答案,思維升華,方法二 函數(shù)圖象大致如圖， 則有f(1)0， 即1(a21)a20， 2a1. 故實數(shù)a的取值范圍是(2,1).,思維升華,解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.,思維升華,若關(guān)于x的方程x2ax40在區(qū)間2,4上有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_. 解析 如果方程有實數(shù)根，注意到兩個根之積為40， 可知兩根必定一正一負(fù)， 因此在2,4上有且只有一個實數(shù)根， 設(shè)f(x)x2ax4， 則必有f(2)f(4)0， 所以2a(124a)0，即a3,0.,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,返回,3,0,易錯警示系列,典例 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時，f(x)2 016xlog2 016x，則在R上函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為_. 易錯分析 得出當(dāng)x0時的零點個數(shù)后，容易忽略條件：定義在R上的奇函數(shù)，導(dǎo)致漏掉x0時和x0時的情況.,易錯警示系列,3.忽視定義域?qū)е铝泓c個數(shù)錯誤,易錯分析,解析答案,返回,溫馨提醒,可知它們只有一個交點， 所以當(dāng)x0時函數(shù)只有一個零點. 由于函數(shù)為奇函數(shù)， 所以當(dāng)x0時，也有一個零點. 又當(dāng)x0時y0， 所以共有三個零點. 答案 3,解析 當(dāng)x0時，由f(x)2 016xlog2 016x0得,作出函數(shù)y2 016x與函數(shù),的圖象，,溫馨提醒,溫馨提醒,返回,(1)討論x0時函數(shù)的零點個數(shù)也可利用零點存在性定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定.(2)函數(shù)的定義域是討論函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，要給予充分重視.,思想方法 感悟提高,1.函數(shù)零點的判定常用的方法有 (1)零點存在性定理； (2)數(shù)形結(jié)合：函數(shù)yf(x)g(x)的零點，就是函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點的橫坐標(biāo). (3)解方程. 2.二次函數(shù)的零點可利用求根公式、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系或結(jié)合函數(shù)圖象列不等式(組). 3.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的常用方法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.,方法與技巧,1.函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象. 2.判斷零點個數(shù)要注意函數(shù)的定義域，不要漏解；畫圖時要盡量準(zhǔn)確.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由圖象可知，若函數(shù)yf(x)m有3個零點， 則0m1， 因此m的取值范圍是(0,1).,(0,1),解析答案,2.已知函數(shù)f(x)ln xx2有一個零點所在的區(qū)間為(k，k1) (kN*)，則k的值為_. 解析 由題意知，當(dāng)x1時，f(x)單調(diào)遞減， 因為f(3)ln 310，f(4)ln 420， 所以該函數(shù)的零點在區(qū)間(3,4)內(nèi)， 所以k3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3,解析 當(dāng)x1時，由f(x)2x10，解得x0； 當(dāng)x1時，由f(x)1log2x0，,又因為x1，所以此時方程無解. 綜上函數(shù)f(x)的零點只有0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.方程|x22x|a21(a0)的解的個數(shù)是_. 解析 (數(shù)形結(jié)合法) a0， a211. 而y|x22x|的圖象如圖， y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 當(dāng)x0時，f(x)2x1.,當(dāng)x0時，f(x)exa， 此時函數(shù)f(x)exa在(，0上有且僅有一個零點， 等價轉(zhuǎn)化為方程exa在(，0上有且僅有一個實根， 而函數(shù)yex在(，0上的值域為(0,1， 所以0a1，解得1a0. 答案 1,0),6.已知函數(shù)f(x)x2xa(a0)在區(qū)間(0,1)上有零點，則a的取值范圍為_. 解析 ax2x在(0,1)上有解，,(2,0),函數(shù)yx2x，x(0,1)的值域為(0,2)， 0a2，2a0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.若函數(shù)f(x)x2axb的兩個零點是2和3，則不等式af(2x)0的解集是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,f(x)x2x6. 不等式af(2x)0， 即(4x22x6)02x2x30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)x2axb的兩個零點是2,3. 2,3是方程x2axb0的兩根，,由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點， 結(jié)合圖象得：0m1，即m(0,1).,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 如圖所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,故f(x)在(0,1上是減函數(shù)， 而在(1，)上是增函數(shù). 由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)若方程f(x)m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍. 解 由函數(shù)f(x)的圖象可知， 當(dāng)0m1時，方程f(x)m有兩個不相等的正根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.關(guān)于x的二次方程x2(m1)x10在區(qū)間0,2上有解，求實數(shù)m的取值范圍.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 方法一 設(shè)f(x)x2(m1)x1，x0,2， 若f(x)0在區(qū)間0,2上有一解， f(0)10，則應(yīng)有f(2)0， 又f(2)22(m1)×21，,若f(x)0在區(qū)間0,2上有兩解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,由可知m的取值范圍是(，1.,方法二 顯然x0不是方程x2(m1)x10的解，,1m2，m1， 故m的取值范圍是(，1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 當(dāng)x0時，xf(x)m，即x1m，解得m1；,即實數(shù)m的取值范圍是(，12，).,(，12，),12.函數(shù)f(x)3x7ln x的零點位于區(qū)間(n，n1)(nN)內(nèi)，則n_. 解析 由于ln 21， 所以f(3)0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)， 故n2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 函數(shù)g(x)f(x)k有兩個零點， 即f(x)k0有兩個解， 即yf(x)與yk的圖象有兩個交點. 分k0和k1或k0時，沒有交點， 故當(dāng)0k1時滿足題意.,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.(2015·湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_. 解析 由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示. 則當(dāng)0b2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點， 從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點.,(0,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,