第一章 集合與常用邏輯用語,§1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,思想與方法系列,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.四種命題及相互關(guān)系,若q ，則p,若 ¬ q ，則¬ p,若 ¬p，則¬ q,知識(shí)梳理,1,答案,2.四種命題的真假關(guān)系 (1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有 的真假性； (2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.,相同,答案,充分,必要,充分不必要,充要,必要不充分,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) (1)“x22x30”是命題.( ) (2)命題“ ，則tan 1”的否命題是“若 ，則tan 1”.( ) (3)若一個(gè)命題是真命題，則其逆否命題是真命題.( ) (4)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.( ) (5)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.( ) (6)若p是q的充分不必要條件，則¬p是¬q的必要不充分條件.( ),×,×,答案,思考辨析,1.(2015·山東改編)若mR, 命題“若m0，則方程x2xm0有實(shí)根”的逆否命題是_. 解析 原命題為“若p，則q”，則其逆否命題為“若¬q，則¬ p”. 所求命題為“若方程x2xm0沒有實(shí)根，則m0”.,若方程x2xm0沒有實(shí)根，則m0,考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知命題p：若x1，則向量a(1，x)與b(x2，x)共線，則在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為_. 解析 向量a，b共線xx(x2)0x0或x1， 命題p為真，其逆命題為假， 故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為2.,2,解析答案,1,2,3,4,5,3.記不等式x2x60的解集為集合A，函數(shù)ylg(xa)的定義域?yàn)榧螧.若“xA”是“xB”的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_. 解析 不等式x2x60的解集為A(3,2)， 函數(shù)ylg(xa)的定義域?yàn)锽(a，). 由“xA”是“xB”的充分條件， 得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，3.,(，3,解析答案,1,2,3,4,5,解析 當(dāng)1a0，1b0時(shí)，,既不充分也不必要,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)下列命題： x2是x24x40的必要不充分條件； 圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件； sin sin 是的充要條件； ab0是a0的充分不必要條件. 其中為真命題的是_(填序號(hào)).,答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,例1 (1)命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)“的逆否命題是_. 解析 由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”， “xy是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“xy不是偶數(shù)”， 故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”.,題型一 命題及其關(guān)系,若xy不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù),解析答案,(2)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是_.(填序號(hào)) 真，假，真 假，假，真 真，真，假 假，假，假 解析 先證原命題為真：當(dāng)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)， 設(shè)z1abi(a，bR)， 則z2abi，則|z1|z2| 原命題為真，故其逆否命題為真； 再證其逆命題為假：取z11，z2i，滿足|z1|z2|， 但是z1，z2不互為共軛復(fù)數(shù)， 其逆命題為假，故其否命題也為假.,解析答案,思維升華,思維升華,(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意： 對(duì)于不是“若p，則q“形式的命題，需先改寫； 若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提. (2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例. (3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)命題“若a2b20，則a0且b0”的逆否命題是_ _. 解析 “若a2b20，則a0且b0”的逆否命題是“若a0或b0，則a2b20”.,若a0或b0，,則a2b20,解析答案,題型二 充分必要條件的判定,例2 (1)(2015·四川)設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a3b3”是“l(fā)oga3logb3”的_條件. 解析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出a，b的大小關(guān)系，然后進(jìn)行判斷. 3a3b3， ab1，此時(shí)loga33b3，,故“3a3b3”是“l(fā)oga3logb3”的充分不必要條件.,充分不必要,解析答案,解析 若a0，b0，,則ab0，不一定有a0，b0.,充分不必要,解析答案,思維升華,思維升華,充要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)pq，qp進(jìn)行判斷； (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷； (3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy1”是“x1或y1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x1且y1”是“xy1”的某種條件.,(1)(2015·陜西)“sin cos ”是“cos 20”的_條件. 解析 sin cos cos 2cos2sin20； cos 20cos ±sin sin cos .,充分不必要,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,所以p是q的充分條件； 若函數(shù)f(x)sin(x)(0)是偶函數(shù)，則sin ±1，,所以p是q的必要條件，故p是q的充要條件.,充要,解析答案,題型三 充分必要條件的應(yīng)用,例3 已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要條件，求m的取值范圍. 解 由x28x200，得2x10， Px|2x10， 由xP是xS的必要條件，知SP.,當(dāng)0m3時(shí)，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,3.,解析答案,1.本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)m，使xP是xS的充要條件. 解 若xP是xS的充要條件，則PS，,即不存在實(shí)數(shù)m，使xP是xS的充要條件.,解析答案,引申探究,2.本例條件不變，若x¬P是x¬S的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 由例題知Px|2x10， ¬P是¬S的必要不充分條件，,2,101m,1m.,m9，即m的取值范圍是9，).,解析答案,思維升華,思維升華,充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時(shí)需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解. (2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).,(1)方程ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是_.,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,解析 當(dāng)a0時(shí)，原方程為一元一次方程2x10，有一個(gè)負(fù)實(shí)根. 當(dāng)a0時(shí)，原方程為一元二次方程，有實(shí)根的充要條件是44a0， 即a1. 設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x1，x2，,解析答案,綜上所述，a1. 答案 a1,(2)已知條件p：2x23x10，條件q：x2(2a1)xa(a1)0.若¬p是¬q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.,¬p對(duì)應(yīng)的集合Ax|x1或xa1或xa. ¬p是¬q的必要不充分條件，,解析答案,返回,思想與方法系列,典例 (1)已知p：(a1)21，q：xR，ax2ax10，則p是q成立的_條件. 解析 由(a1)21解得0a2， p：0a2. 當(dāng)a0時(shí)，ax2ax10對(duì)xR恒成立；,q：0a4. p是q成立的充分不必要條件.,充分不必要,思想與方法系列,1.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用,解析答案,(2)已知條件p：x22x30；條件q：xa，且¬q的一個(gè)充分不必要條件是¬p，則a的取值范圍是_. 解析 由x22x30，得x1， 由¬q的一個(gè)充分不必要條件是¬p， 可知¬p是¬q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件. x|xax|x1， a1.,1，),解析答案,返回,溫馨提醒,溫馨提醒,返回,(1)本題用到的等價(jià)轉(zhuǎn)化 將¬p，¬q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成p，q之間的關(guān)系. 將條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成集合之間的關(guān)系. (2)對(duì)一些復(fù)雜、生疏的問題，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、熟悉的問題，經(jīng)常被用到.,思想方法 感悟提高,1.寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定. 2.充要條件的幾種判斷方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假. (2)等價(jià)法：即利用AB與¬B¬A；BA與¬A¬B；AB與¬B¬A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法. (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的充要條件.,方法與技巧,1.當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提. 2.判斷命題的真假及寫四種命題時(shí)，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p，則q”的形式. 3.判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個(gè)充分不必要條件是q”等語言.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是“_ _”. 解析 依題意，得原命題的逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù).,15,16,17,18,若一個(gè)數(shù)的,平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù),解析答案,2.(2015·天津改編)設(shè)xR，則“1x2”是“|x2|1”的_條件. 解析 由|x2|1得1x3， 所以1x21x3；,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,3.給出命題：若函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是_. 解析 原命題是真命題，故它的逆否命題是真命題； 它的逆命題為“若函數(shù)yf(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)”， 顯然逆命題為假命題，故原命題的否命題也為假命題. 因此在它的逆命題、否命題、逆否命題3個(gè)命題中真命題只有1個(gè).,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,其中等號(hào)成立的充要條件是ab， 因此ab是abxy的充要條件.,充要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,5.設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的_條件. 解析 因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直， 所以“四邊形ABCD為菱形”“ACBD”， 所以“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的充分條件； 又因?yàn)閷?duì)角線垂直的四邊形不一定是菱形， 所以“ACBD” “四邊形ABCD為菱形”， 所以“四邊形ABCD為菱形”不是“ACBD”的必要條件. 綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的充分不必要條件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,令f(x)2xsin 2x. f(x)22cos 2x0，,必要不充分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,7. “a5且b5”是“ab0”的_條件. 解析 “a5且b5”推不出“ab0”， 例如a2，b2時(shí)，ab0； “ab0”推不出“a5且b5”， 例如a5，b6. 故“a5且b5”是“ab0”的既不充分也不必要條件.,既不充分也不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過點(diǎn)(1,0)， 所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù)y2xa(x0)沒有零點(diǎn) 函數(shù)y2x(x0)與直線ya無公共點(diǎn). 由數(shù)形結(jié)合，可得a0或a1.,a0或a1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,9.“若ab，則ac2bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是_. 解析 其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,10.若xm1是x22x30的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_. 解析 由已知易得x|x22x30x|xm1， 又x|x22x30x|x3，,0,2,0m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,11.給定兩個(gè)命題p、q，若¬p是q的必要而不充分條件，則p是¬q的_條件. 解析 若¬p是q的必要不充分條件， 則q¬p但¬p q，其逆否命題為p¬q但¬q p， 所以p是¬q的充分不必要條件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,12.下列命題： 若ac2bc2，則ab； 若sin sin ，則； “實(shí)數(shù)a0”是“直線x2ay1和直線2x2ay1平行”的充要條件； 若f(x)log2x，則f(|x|)是偶函數(shù). 其中正確命題的序號(hào)是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 對(duì)于，ac2bc2，c20，ab正確； 對(duì)于，sin 30°sin 150° 30°150°， 所以錯(cuò)誤； 對(duì)于，l1l2A1B2A2B1， 即2a4aa0且A1C2A2C1， 所以正確； 顯然正確. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,13.給出下列三個(gè)命題： “ab”是“3a3b”的充分不必要條件； “”是“cos b”是“3a3b”的充要條件，錯(cuò)誤； “”是“cos cos ”的既不充分也不必要條件，錯(cuò)誤； “a0”是“函數(shù)f(x)x3ax2 (xR)為奇函數(shù)”的充要條件，正確. 故正確命題的序號(hào)為.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 若p成立，設(shè)a1，a2，an的公比為q，,(a1a2a2a3an1an)2(a1a2)2(1q2q2n4)2， 故q成立，故p是q的充分條件. 取a1a2an0，,則q成立，而p不成立， 故p不是q的必要條件. 即p是q的充分不必要條件. 答案 充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,15.如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x表示不超過x的最大整數(shù)，那么“xy”是“|xy|1成立”的_條件. 解析 若xy，則|xy|1； 反之，若|xy|1，如取x1.1，y0.9，則xy， 即“xy”是“|xy|1成立”的充分不必要條件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,(2，),xB成立的一個(gè)充分不必要條件是xA， AB， m13， 即m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,充分不必要,17.設(shè)a，b為正數(shù)，則“ab1”是“a2b21”的_條件. 解析 ab1，即ab1. 又a，b為正數(shù)， a2(b1)2b212bb21， 即a2b21成立，,所以“ab1”是“a2b21”的充分不必要條件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,18.下列結(jié)論正確的是_. “0”是“a0”的充分不必要條件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC為直角三角形”的充要條件； 若a，bR，則“a2b20”是“a，b全不為零”的充要條件；若a，bR，則“a2b20”是“a，b不全為零”的充要條件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,返回,解析 由0可以推出a0， 但是由a0不一定推出0成立，所以正確. 由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形， 但是由ABC是直角三角形不能確定哪個(gè)角是直角， 所以不正確. 由a2b20可以推出a，b不全為零， 反之，由a，b不全為零可以推出a2b20， 所以“a2b20”是“a，b不全為零”的充要條件， 而不是“a，b全不為零”的充要條件，不正確，正確. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,返回,