1.2 命題及其關(guān)系、充要條件,考綱要求:1.理解命題的概念. 2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的相互關(guān)系. 3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.,1.命題的概念 可以判斷真假、用文字或符號表述的語句叫作命題,其中判斷為真的語句叫作真命題,判斷為假的語句叫作假命題. 2.四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題的表示及相互之間的關(guān)系,(2)四種命題的真假關(guān)系 互為逆否的兩個命題等價 (同真 或同假 ). 互逆或互否的兩個命題不等價 . 3.充分條件、必要條件與充要條件的概念,4.常用結(jié)論 (1)在四種形式的命題中,真命題的個數(shù)只能是0或2或4. (2)p是q的充分不必要條件,等價于q是p的充分不必要條件.其他情況依此類推. (3)集合與充要條件:設(shè)p,q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A,B,p是q的充分不必要條件AB;p是q的必要不充分條件AB;p是q的充要條件A=B.,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“×”. (1)數(shù)學(xué)中的命題都可以判斷真假. ( ) (2)命題“若x2-3x+20,則x2或x1”的逆否命題是“若1x2,則x2-3x+20”. ( ) (3)若命題“若p,則q”為真命題,則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真. ( ) (4)當(dāng)q是p的必要條件時,p是q的充分條件. ( ) (5)“p是q的充分不必要條件”與“p的充分不必要條件是q”表達(dá)的意義相同. ( ),×,1,2,3,4,5,2. “x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,1,2,3,4,5,3.(2015陜西渭南模擬)對于原命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”,下列敘述正確的是( ) A.逆命題“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)” B.否命題“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)” C.逆否命題“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)” D.命題的否定“存在單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”,答案,解析,1,2,3,4,5,4.“sin =sin ”是“=”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,1,2,3,4,5,5.“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 條件.,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點評 1.“否命題”與“命題的否定”是兩個不同的概念,否命題是既否定命題的條件,又否定命題的結(jié)論,命題的否定只否定結(jié)論. 2.由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性,因而當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難時,可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假. 3.“p是q的充分不必要條件”即為“pq且q p”;“p的充分不必要條件是q”即為“qp且p q”.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1命題及其相互關(guān)系 例1已知:命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函數(shù),則m1”,則下列結(jié)論正確的是( ) A.否命題是“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上是減少的,則m1”,是真命題 B.逆命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上是增加的”,是假命題 C.逆否命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上是減少的”,是真命題 D.逆否命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增加的”,是真命題,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:由原命題寫出其他三種命題應(yīng)注意什么? 解題心得:1.在判斷四種命題的關(guān)系時,首先要分清命題的條件與結(jié)論,當(dāng)確定了原命題時,要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫出其他三種命題;當(dāng)一個命題有大前提時,若要寫出其他三種命題,大前提需保持不變. 2.判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;說明一個命題是假命題,只需舉出反例.當(dāng)一個命題直接判斷不易時,可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練1 (2015山東,文5)設(shè)mR,命題“若m0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是( ) A.若方程x2+x-m=0有實根,則m0 B.若方程x2+x-m=0有實根,則m0 C.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m0 D.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m0,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2充分條件、必要條件的判斷 例2(1)(2015合肥模擬)“a1”是“函數(shù)f(x)=x3+a在R上為單調(diào)遞增函數(shù)”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)給定兩個命題p,q.若p是q的必要而不充分條件,則p是q的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:充分條件、必要條件的判斷有哪幾種方法? 解題心得:充要條件的三種判斷方法: (1)定義法:根據(jù)pq,qp進行判斷. (2)集合法:根據(jù)p,q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷. (3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練2 (2015浙江,文3)設(shè)a,b是實數(shù),則“a+b0”是“ab0”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3充分條件、必要條件的應(yīng)用 例3(1)函數(shù) 有且只有一個零點的充分不必要條件是( ) A.a0或a1 B.0a C. a1 D.a0,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)設(shè)條件p:2x2-3x+10,條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:如何求與充要條件有關(guān)的參數(shù)問題?如何證明一個論斷是另一個論斷的充要條件? 解題心得:1.與充要條件有關(guān)的參數(shù)問題的求解方法:解決此類問題一般是根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,并由此列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解. 2.充要條件的證明方法:在解答題中證明一個論斷是另一個論斷的充要條件時,其基本方法是分“充分性”和“必要性”兩個方面進行證明.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓(xùn)練3 (1)若集合A=x|x2-x-2-2 B.a-2 C.a-1 D.a-1,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)若“x21”是“xa”的必要不充分條件,則a的最大值為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.寫一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論,然后按定義來寫;在判斷命題的真假時,可以借助原命題與其逆否命題同真或同假的關(guān)系來判定. 2.充要關(guān)系的幾種判斷方法: (1)定義法:直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假. (2)等價法:利用AB與BA;BA與AB;AB與BA的等價關(guān)系.對于條件或結(jié)論是否定形式的命題,一般運用等價法. (3)集合間關(guān)系法:設(shè)A=x|p(x),B=x|q(x),利用集合A,B的關(guān)系來判斷.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.當(dāng)一個命題有大前提時,要寫出其他三種命題,必須保留大前提,也就是大前提不動. 2.判斷命題的真假及寫四種命題時,一定要明確命題的結(jié)構(gòu),可以先把命題改寫成“若p,則q”的形式. 3.判斷條件之間的關(guān)系,要注意條件之間的推出方向,正確理解“p的一個充分不必要條件是q”等語言.,思想方法等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用 等價轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了“把未知問題化歸到已有知識范圍內(nèi)可解”的求解策略,本節(jié)內(nèi)容蘊含著豐富的等價轉(zhuǎn)化思想,對于一個難以入手的命題,可以把命題轉(zhuǎn)化為易于解決的等價命題,每一個等價命題都能提供一個解題思路.因此熟悉并掌握命題的多種等價形式是等價轉(zhuǎn)化的前提,同時也是靈活解題的基礎(chǔ).,典例已知p: 2,q:x2-2x+1-m20(m0),且p是q的必要而不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍. 分析:先求出p,q對應(yīng)不等式的解集,再利用p,q間的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式或不等式組得出結(jié)論. 解:(方法一)由q:x2-2x+1-m20,m0, 得1-mx1+m, 則q:A=x|x1+m或x0. 由 2, 解得-2x10, 所以p:B=x|x10或x-2. 因為p是q的必要而不充分條件, 則AB,(方法二)因為p是q的必要而不充分條件, 所以p是q的充分而不必要條件. 由q:x2-2x+1-m20,m0, 得1-mx1+m, 則q:Q=x|1-mx1+m,m0. 由 2, 解得-2x10,所以p:P=x|-2x10. 因為p是q的充分而不必要條件,則PQ, 即m9或m9.故m9.,