第一章 集合與常用邏輯用語,§1.3 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,高頻小考點(diǎn),基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.命題pq，pq，¬p的真假判斷,真,假,真,真,知識(shí)梳理,1,答案,2.全稱量詞和存在量詞,答案,3.全稱命題和存在性命題,xM，p(x),xM，p(x),答案,4.含有一個(gè)量詞的命題的否定,xM，¬p(x),xM，¬p(x),答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) (1)命題pq為假命題，則命題p、q都是假命題.( ) (2)命題p和¬p不可能都是真命題.( ) (3)若命題p、q至少有一個(gè)是真命題，則pq是真命題.( ) (4)全稱命題一定含有全稱量詞，存在性命題一定含有存在量詞.( ) (5)寫存在性命題的否定時(shí)，存在量詞變?yōu)槿Q量詞.( ) (6)x0M，p(x0)與xM，¬p(x)的真假性相反.( ),×,×,答案,思考辨析,1.設(shè)命題p：函數(shù)ysin 2x的最小正周期為 ；命題q：函數(shù)ycos x的圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱，則下列判斷正確的是_. p為真； ¬q為假； pq為假； pq為真.,故pq為假.正確.,考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知命題p：對(duì)任意xR，總有|x|0；q：x1是方程x20的根.則下列命題為真命題的是_.(填序號(hào)) p(¬q); (¬p)q； (¬p)(¬q); pq. 解析 由題意知，命題p為真命題，命題q為假命題， 故¬q為真命題， 所以p(¬q)為真命題.,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015·浙江改編)命題“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是_. 解析 寫全稱命題的否定時(shí)， 要把量詞改為，并且否定結(jié)論， 注意把“且”改為“或”.,n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0,解析答案,1,2,3,4,5,依題意，mymax，即m1. m的最小值為1.,1,解析答案,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,題型一 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷,解析答案,解析 對(duì)于命題p1：令f(x)yln(1x)(1 x)， 由(1x)(1x)0得1x1， 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， f(x)ln(1 x)(1 x)f(x)， f(x)為偶函數(shù)，命題p1為真命題；,易知g(x)的定義域?yàn)?1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,g(x)為奇函數(shù)，命題p2為真命題， 故p1(¬p2)為假命題.,答案 ,(2)已知命題p：若xy，則xy，則x2y2.在命題pq；pq；p(¬q)；(¬p)q中，真命題是_. 解析 當(dāng)xy時(shí)，xy時(shí)，x2y2不一定成立， 故命題q為假命題，從而¬q為真命題. 由真值表知：pq為假命題；pq為真命題；p(¬q)為真命題；(¬p)q為假命題.,解析答案,思維升華,思維升華,“pq”“pq”“¬p”等形式命題真假的判斷步驟： (1)確定命題的構(gòu)成形式； (2)判斷其中命題p、q的真假； (3)確定“pq”“pq”“¬p”等形式命題的真假.,(1)已知命題p：對(duì)任意xR，總有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要條件，則下列命題pq；(¬p)(¬q)；(¬p)q； p(¬q)中，為真命題的是_. 解析 p為真命題，q為假命題， 故¬p為假命題，¬q為真命題. 從而pq為假，(¬p)(¬q)為假，(¬p)q為假，p(¬q)為真，正確.,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,解析 依題意可知命題p和q都是假命題， 所以“pq”為假，“pq”為假，“ ¬p”為真，“¬q”為真.,¬p、¬q,(2)若命題p：關(guān)于x的不等式axb0的解集是x|x ，命題q：關(guān)于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，則在命題“pq”“pq”“¬p” “¬q”中，是真命題的有_.,解析答案,題型二 含有一個(gè)量詞的命題,命題點(diǎn)1 全稱命題、存在性命題的真假,解析 xR，x20，故正確； xR，1sin x1，故錯(cuò)； xR,2x0，故錯(cuò)，故正確.,解析答案,(2)下列四個(gè)命題 p1：x0(0，)， p2：x0(0,1)， p3：x(0，)，,其中真命題是_.,解析答案,故命題p1是假命題；,解析答案,故p2，p4為真命題 答案 p2，p4,命題點(diǎn)2 含一個(gè)量詞的命題的否定,例3 (1)命題“存在實(shí)數(shù)x，使x1”的否定是_. 解析 利用存在性命題的否定是全稱命題求解， “存在實(shí)數(shù)x，使x1”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x1”.,對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x1,解析答案,(2)設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集.若命題p：xA,2xB，則¬p為_. 解析 命題p：xA,2xB是一個(gè)全稱命題， 其命題的否定應(yīng)為存在性命題. ¬p：xA,2xB.,xA,2xB,解析答案,思維升華,思維升華,(1)判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判斷存在性命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少找到一個(gè)xx0，使p(x0)成立. (2)對(duì)全稱命題、存在性命題進(jìn)行否定的方法 找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞. 對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.,¬q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題.,¬r：xR，x22x20，真命題. ¬s：xR，x310，假命題.,(1)寫出下列命題的否定，并判斷其真假：,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)(2015·課標(biāo)全國(guó)改編)設(shè)命題p：nN，n22n，則¬p為_. 解析 將命題p的量詞“”改為“”，“n22n”改為“n22n”.,nN，n22n,解析答案,題型三 由命題的真假求參數(shù)的取值范圍,例4 已知p：xR，mx210，q：xR，x2mx10，若pq為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_. 解析 依題意知p，q均為假命題， 當(dāng)p是假命題時(shí)，mx210恒成立，則有m0； 當(dāng)q是真命題時(shí)，則有m240，2m2. 因此由p，q均為假命題得,m2,解析答案,1.本例條件不變，若pq為真，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_. 解析 依題意，當(dāng)p是真命題時(shí)，有m0； 當(dāng)q是真命題時(shí)，有2m2，,(2,0),解析答案,引申探究,2.本例條件不變，若pq為假，pq為真，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_. 解析 若pq為假，pq為真，則p、q一真一假.,(，20,2),m2；,0m2. m的取值范圍是(，20,2).,解析答案,3.本例中的條件q變?yōu)閝：xR，x2mx10， m2或m2.,0,2,m的取值范圍是0,2.,解析答案,思維升華,思維升華,根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟 (1)先根據(jù)題目條件，推出每一個(gè)命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況)； (2)然后再求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍； (3)最后根據(jù)每個(gè)命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.,(1)已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“xR，使x22ax2a0”，若命題“p且q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析 “p且q”為真命題， p、q均為真命題， p：a1，q：a2或a1， a2或a1.,a|a2或a1,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,即(a1)(a3)0，解得1a3.,(1,3),返回,解析答案,高頻小考點(diǎn),一、命題的真假判斷,典例 已知命題p：xR，x212x；命題q：若mx2mx10恒成立，則4m0，那么下列說法判斷正確的是_. “¬p”是假命題； q是假命題； “p或q”為假命題； “p且q”為真命題.,高頻小考點(diǎn),1.常用邏輯用語及其應(yīng)用,解析答案,溫馨提醒,解析 由于x22x1(x1)20， 即x212x，所以p為假命題； 對(duì)于命題q，當(dāng)m0時(shí)，有10，恒成立， 所以命題q為假命題. 綜上可知：¬p為真命題，p且q為假命題，p或q為假命題. 答案 ,溫馨提醒,溫馨提醒,判斷與一元二次不等式有關(guān)命題的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，還是要求一元二次不等式恒成立(有解、無解)，然后再利用邏輯用語進(jìn)行判斷.,二、求參數(shù)的取值范圍,典例 已知命題p：“x0,1，aex”；命題q：“xR，使得x24xa0”.若命題“pq”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析 若命題“pq”是真命題， 那么命題p，q都是真命題. 由x0,1，aex，得ae； 由xR，使x24xa0，知164a0，a4， 因此ea4.,e,4,解析答案,溫馨提醒,溫馨提醒,含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假要轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單命題的真假，解題時(shí)要首先考慮簡(jiǎn)單命題為真時(shí)參數(shù)的范圍.,三、利用邏輯推理解決實(shí)際問題,典例 (1)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為_. 解析 由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多， 而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市， 而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A， 由此可知，乙去過的城市為A.,A,解析答案,(2)對(duì)于中國(guó)足球參與的某次大型賽事，有三名觀眾對(duì)結(jié)果作如下猜測(cè)： 甲：中國(guó)非第一名，也非第二名； 乙：中國(guó)非第一名，而是第三名； 丙：中國(guó)非第三名，而是第一名. 競(jìng)賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)，一人全猜對(duì)，一人猜對(duì)一半，一人全猜錯(cuò)，則中國(guó)足球隊(duì)得了第_名. 解析 由上可知：甲、乙、丙均為“p且q”形式， 所以猜對(duì)一半者也說了錯(cuò)誤“命題”， 即只有一個(gè)為真， 所以可知丙是真命題，因此中國(guó)足球隊(duì)得了第一名.,一,返回,解析答案,溫馨提醒,溫馨提醒,返回,在一些邏輯問題中，當(dāng)字面上并未出現(xiàn) “或”“且”“非”字樣時(shí)，應(yīng)從語句的陳述中搞清含義，并根據(jù)題目進(jìn)行邏輯分析，找出各個(gè)命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而解決問題.,思想方法 感悟提高,1.把握含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式，特別是字面上未出現(xiàn)“或”、“且”時(shí)，要結(jié)合語句的含義理解. 2.要寫一個(gè)命題的否定，需先分清其是全稱命題還是存在性命題，再對(duì)照否定結(jié)構(gòu)去寫，并注意與否命題區(qū)別；否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.,方法與技巧,1.pq為真命題，只需p、q有一個(gè)為真即可；pq為真命題，必須p、q同時(shí)為真. 2.兩種形式命題的否定 p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 3.命題的否定與否命題 “否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.已知命題p：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)；命題q：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題(¬p)q；pq；(¬p)(¬q)；(¬p)(¬q)中，為真命題的是_. 解析 不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題， 從而上述敘述中只有(¬p)(¬q)為真命題.,15,16,17,18,解析答案,2.已知命題p，q，“¬p為真”是“pq為假”的_條件. 解析 由“¬p為真”可得p為假，故pq為假； 反之不成立.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 由已知得命題p是假命題，命題q是真命題， 因此正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,中，當(dāng)xR時(shí)，tan xR，,答案 ,解析 中，xR， x1R，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得2x10； 中，xN*， 當(dāng)x1時(shí)，(x1)20與(x1)20矛盾；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,5.已知命題p：若a1，則axlogax恒成立；命題q：在等差數(shù)列an中，mnpq是anamapaq的充分不必要條件(m，n，p，qN*).則下面為真命題的是_(填序號(hào)). (¬p)(¬q); (¬p)(¬q)； p(¬q); pq.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 當(dāng)a1.1，x2時(shí)， ax1.121.21，logaxlog1.12log1.11.212， 此時(shí)，axlogax，故p為假命題. 命題q，由等差數(shù)列的性質(zhì)， 當(dāng)mnpq時(shí)，anamapaq成立， 當(dāng)公差d0時(shí)，由amanapaq不能推出mnpq成立， 故q是真命題. 故¬p是真命題，¬q是假命題， 所以pq為假命題，p(¬q)為假命題，(¬p)(¬q)為假命題，(¬p)(¬q)為真命題. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,6.命題p：xR，sin x1；命題q：xR，cos x1，則下面為真命題的是_. (填序號(hào)) pq; (¬p)q； p(¬q); (¬p)(¬q). 解析 p是假命題，q是真命題， 所以正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 “”的否定為“”，“”的否定為“”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,8.已知命題p：mR，m10，命題q：xR，x2mx10.若“pq”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_. 解析 若“pq”為假命題，則p，q中至少有一個(gè)是假命題， 若命題p為真命題，則m1， 若q為真命題，則m241.,(，2(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,答案 9，),¬p：Ax|x10或x0)，得1mx1m (m0)， ¬q：Bx|x1m或x0. ¬p是¬q的必要而不充分條件，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,所以(a1)240， 即a22a30， 解得a3.,(，1)(3，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,所以x的取值范圍是x3或1x2或x3.,(，3)(1,23，),得20，解得x1或x3，,解析 因?yàn)椤?¬q)p”為真，即q假p真，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,12.下列結(jié)論： 若命題p：xR，tan x1；命題q：xR，x2x10.則命題“p(¬q)”是假命題； 已知直線l1：ax3y10，l2：xby10，則l1l2的充要條件是 3； 命題“若x23x20，則x1”的逆否命題：“若x1，則x23x20”.其中正確結(jié)論的序號(hào)為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 中命題p為真命題，命題q為真命題， 所以p(¬q)為假命題，故正確； 當(dāng)ba0時(shí)，有l(wèi)1l2，故不正確； 正確，所以正確結(jié)論的序號(hào)為. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,13.若命題p：xR，ax24xa2x21是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 解析 若命題p：xR，ax24xa2x21是假命題， 則¬p：xR，ax24xa2x21是真命題， 即(2a)x24xa10恒成立， 當(dāng)a2時(shí)不成立，舍去，,a2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,14.四個(gè)命題：xR，x23x20恒成立；xQ，x22；xR，x210；xR,4x22x13x2.其中真命題的個(gè)數(shù)為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 x23x20，(3)24×20， 當(dāng)x2或x0才成立，為假命題.,不存在xQ，使得x22， 為假命題. 對(duì)xR，x210， 為假命題.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,4x2(2x13x2)x22x1(x1)20， 即當(dāng)x1時(shí)，4x22x13x2成立， 為假命題. 均為假命題. 答案 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,15.下列結(jié)論正確的是_. 若p：xR，x2x10，則¬p：xR，x2x10； 若pq為真命題，則pq也為真命題； “函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”是“f(0)0”的充分不必要條件； 命題“若x23x20，則x1”的否命題為真命題. 解析 x2x10的否定是x2x10， 錯(cuò)；若pq為真命題，則p、q中至少有一個(gè)為真， 錯(cuò)；f(x)為奇函數(shù)，但f(0)不一定有意義， 錯(cuò)；命題“若x23x20則x1”的否命題為“若x23x20，則x1”，是真命題，對(duì).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,16.已知命題p：“xR，mR,4x2x1m0”，若命題¬p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_. 解析 若¬p是假命題，則p是真命題， 即關(guān)于x的方程4x2·2xm0有實(shí)數(shù)解， 由于m(4x2·2x)(2x1)211， m1.,(，1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,17.設(shè)p：方程x22mx10有兩個(gè)不相等的正根；q：方程x22(m2)x3m100無實(shí)根.則使pq為真，pq為假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 設(shè)方程x22mx10的兩根分別為x1，x2，,所以命題p為真時(shí)，m1. 由方程x22(m2)x3m100無實(shí)根，,可知24(m2)24(3m10)0，得2m3， 所以命題q為真時(shí)，2m3. 由pq為真，pq為假，可知命題p，q一真一假，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,此時(shí)m2；,所以所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是m2或1m3. 答案 (，21,3),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,已知命題p：對(duì)任意的xR，都有sin x1，則¬p：存在x0R，使得sin x01； 在ABC中，若3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則角C等于30°或150°. 其中的真命題是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,返回,對(duì)于，根據(jù)全稱命題的否定，很明顯是對(duì)的； 對(duì)于，由3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，兩式平方后相加得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,而3sin A4cos B643sin A，,答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,返回,