第七章 不等式,§7.2 一元二次不等式及其解法,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.“三個二次”的關(guān)系,知識梳理,1,答案,2.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法,x|axb,口訣：大于取兩邊，小于取中間.,x|xa,x|xa,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”) (1)若不等式ax2bxc0.( ) (2)不等式 0的解集是1,2.( ) (3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個根是x1和x2.( ) (4)若方程ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.( ) (5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.( ),×,×,×,思考辨析,答案,返回,1.不等式x23x100的解集是_.,解析 解方程x23x100得x12，x25， 由yx23x10的開口向上， 所以x23x100的解集為(，2)(5，).,(，2)(5，),考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.設(shè)集合Mx|x23x40，Nx|0x5，則MN_. 解析 Mx|x23x40x|1x4， MN0,4).,0,4),解析答案,1,2,3,4,5,解得a6，b5，不等式x2bxa0即為x25x60，解集為(2,3).,(2,3),解析答案,1,2,3,4,5,4.若關(guān)于x的不等式m(x1)x2x的解集為x|1x2x的解集為x|1x2. 所以1,2一定是m(x1)x2x的解，m2.,2,解析答案,1,2,3,4,5,5.若關(guān)于x的方程x2axa210有一正根和一負根，則a的取值范圍為_. 解析 由題意可知，0且x1x2a210，故1a1.,(1,1),解析答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,命題點1 不含參的不等式,例1 求不等式2x2x30， 解方程2x2x30得x11，,題型一 一元二次不等式的求解,解析答案,命題點2 含參不等式 例2 解關(guān)于x的不等式：x2(a1)xa1時，x2(a1)xa0的解集為x|1xa， 當(dāng)a1時，x2(a1)xa0的解集為， 當(dāng)a1時，x2(a1)xa0的解集為x|ax1.,解析答案,將原不等式改為ax2(a1)x10，求不等式的解集.,解析答案,引申探究,思維升華,解 若a0，原不等式等價于x11.,解析答案,思維升華,思維升華,思維升華,含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進行分類討論. (1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進行分類討論； (2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式； (3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集.,求不等式12x2axa2(aR)的解集.,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,解 12x2axa2，12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,a0時，x20，解集為x|xR且x0；,解析答案,綜上所述，當(dāng)a0時，不等式的解集為,當(dāng)a0時，不等式的解集為x|xR且x0；,命題點1 在R上恒成立,(3,0),題型二 一元二次不等式恒成立問題,解析答案,(2)設(shè)a為常數(shù)，xR，ax2ax10，則a的取值范圍是_.,解析 xR，ax2ax10，,0,4),解析答案,命題點2 在給定區(qū)間上恒成立,例4 設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍.,解析答案,解 要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即,有以下兩種方法：,解析答案,當(dāng)m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)， 所以g(x)maxg(3)7m60，,當(dāng)m0時，60恒成立； 當(dāng)m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)， 所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.,解析答案,命題點3 給定參數(shù)范圍的恒成立問題,例5 對任意的k1,1，函數(shù)f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，則x的取值范圍是_ . 解析 x2(k4)x42k0恒成立， 即g(k)(x2)k(x24x4)0， 在k1,1時恒成立.,x|x3,解之得x3.,解析答案,思維升華,思維升華,(1)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).,(1)若不等式x22x5a23a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_.,解析 x22x5(x1)24的最小值為4， 所以x22x5a23a對任意實數(shù)x恒成立， 只需a23a4，解得1a4.,1,4,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_.,解析 作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對于任意xm，m1，都有f(x)0，,解析答案,(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；,例6 某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件.若售價降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加 x成.要求售價不能低于成本價.,所以yf(x)40(10x)(254x)，定義域為x0,2.,題型三 一元二次不等式的應(yīng)用,解析答案,(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍.,解 由題意得40(10x)(254x)10 260，,解析答案,思維升華,思維升華,求解不等式應(yīng)用題的四個步驟 (1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準不等關(guān)系. (2)引進數(shù)學(xué)符號，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. (3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實際意義. (4)回歸實際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果.,某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1)，則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(出廠價投入成本)×年銷售量.,(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；,解 y(10.75x)×12(1x)×10×(10.6x)×10 000 6 000x22 000x20 000， 即y6 000x22 000x20 000(0x1).,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 解 上年利潤為(1210)×10 00020 000. y20 0000，即6 000x22 000x0，,解析答案,返回,思想與方法系列,典例 (1)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域為0，)，若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實數(shù)c的值為_.,思維點撥 考慮“三個二次”間的關(guān)系；,思想與方法系列,13.轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用,解析答案,思維點撥,f(x)的值域為0，)，,解析 由題意知f(x)x2axb,解析答案,答案 9,思維點撥 將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解.,溫馨提醒,解析答案,返回,思維點撥,即當(dāng)x1時，a(x22x)g(x)恒成立. 而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上單調(diào)遞減， g(x)maxg(1)3，故a3. 實數(shù)a的取值范圍是a|a3. 答案 a|a3,溫馨提醒,溫馨提醒,(1)本題的解法充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想：函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題. (2)注意函數(shù)f(x)的值域為0，)與f(x)0的區(qū)別.,返回,思想方法 感悟提高,1.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)，一般可把a0時的情形. 2.f(x)0的解集即為函數(shù)yf(x)的圖象在x軸上方的點的橫坐標(biāo)的集合，充分利用數(shù)形結(jié)合思想. 3.簡單的分式不等式可以等價轉(zhuǎn)化，利用一元二次不等式解法進行求解.,方法與技巧,1.對于不等式ax2bxc0，求解時不要忘記討論a0時的情形. 2.當(dāng)0 (a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別. 3.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準，避免盲目討論.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.不等式(x1)(2x)0的解集為_. 解析 由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0， 所以不等式的解集為x|1x2.,x|1x2,解析答案,解析 方法一 當(dāng)x0時，x2x2， 1x0； 當(dāng)x0時，x2x2，0x1. 由得原不等式的解集為x|1x1. 方法二 作出函數(shù)yf(x)和函數(shù)yx2的圖象，如圖，由圖知f(x)x2的解集為1,1.,1,1,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.若集合Ax|ax2ax10，則實數(shù)a的取值范圍是_. 解析 由題意知a0時，滿足條件.,得0a4，所以0a4.,0,4,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.已知不等式x22x30的解集是A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab_. 解析 由題意，Ax|1x3，Bx|3x2， ABx|1x2， 則不等式x2axb0的解集為x|1x2. 由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a1，b2， 所以ab3.,3,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.設(shè)a0，不等式caxbc的解集是x|2x1，則abc_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 c0，,不等式的解集為x|2x1，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 213,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若不等式mx22mx42x24x對任意x都成立，則實數(shù)m的取值范圍是_. 解析 原不等式等價于(m2)x22(m2)x40， 當(dāng)m2時，對任意x不等式都成立； 當(dāng)m20時，4(m2)216(m2)0， 2m2， 綜合，得m(2,2.,(2,2,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,則不等式2x2bxa0，即2x22x120， 其解集為x|2x3. 答案 x|2x3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 f(x3)f(x)， f(2)f(13)f(1)f(1)1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc，函數(shù)F(x)f(x)x的兩個零點為m，n(m0的解集； 解 由題意知，F(xiàn)(x)f(x)xa(xm)(xn). 當(dāng)m1，n2時，不等式F(x)0， 即a(x1)(x2)0. 當(dāng)a0時，不等式F(x)0的解集為x|x2； 當(dāng)a0的解集為x|1x2.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，,xm0. f(x)m0，即f(x)m.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函數(shù)f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，則不等式f(2x)3或2x1，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,若不等式f(xa)f(x)的解集為A，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)當(dāng)a0時，顯然不符合條件. (2)當(dāng)a0時，畫出函數(shù)yf(x)和yf(xa)的圖象 大致如圖(1).,由圖(1)可知，當(dāng)a0時， yf(xa)的圖象在yf(x)圖象的上邊，故a0不符合條件.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(3)當(dāng)a0時，畫出函數(shù)yf(x)和yf(xa)的圖象大致如圖(2).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知函數(shù)f(x)x2axb2b1(aR，bR)，對任意實數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立，當(dāng)x1,1時，f(x)0恒成立，則b的取值范圍是_. 解析 由f(1x)f(1x)知f(x)圖象的對稱軸為直線x1，,由f(x)的圖象可知f(x)在1,1上為增函數(shù). x1,1時，f(x)minf(1)12b2b1b2b2， 令b2b20，解得b2.,b2,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 令x0，x0時，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,得5x0，即f(x)5的解集為(5,5). 由于f(x)向左平移兩個單位即得f(x2)， 故f(x2)5的解集為x|7x3.,答案 x|7x3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是減函數(shù)；,當(dāng)x(1，)時，f(x)0， 函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是減函數(shù).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)解關(guān)于x的不等式f(12x2)f(x22x4)0.,解 由f(12x2)f(x22x4)0， 得f(12x2)f(x22x4). f(x)是奇函數(shù)，f(12x2)f(x22x4). 又12x21，x22x4(x1)231， 且f(x)在(1，)上為減函數(shù)， 12x20的解集為x|3x1.,解析答案,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,