信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 1 信 號 和 系 統(tǒng) 時 域 分 析 方 法 的 基 本 思 想 是 將 任意 的 輸 入 信 號 分 解 為 單 位 沖 激 信 號 的 疊 加 。 對 LTI系 統(tǒng) ， 只 要 知 道 了 其 單 位 沖 激 響 應(yīng) ， 即 可 通 過 卷積 積 分 求 出 任 意 輸 入 信 號 作 用 下 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響應(yīng) 。 信 號 的 分 解 并 不 是 唯 一 的 。 例 如 ， 信 號 還 可以 分 解 為 一 系 列 正 交 函 數(shù) 的 線 性 組 合 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 2 4.1 周 期 信 號 的 傅 里 葉 級 數(shù)所 有 具 有 各 自 不 同 頻 率 的 正 弦 函 數(shù) sin nt（ n =1， 2， ） 和 余 弦 函 數(shù) cosnt（ n =0， 1， 2，） 在 時 間 區(qū) 間 （ t0， t0+2 /） 范 圍 內(nèi) 構(gòu) 成 一 個完 備 的 正 交 函 數(shù) 集 。 同 樣 ， 所 有 虛 指 數(shù) 函 數(shù) ejnt（ n = 0， 1， 2， ） 在 此 時 間 范 圍 內(nèi) 也 構(gòu)成 一 個 正 交 函 數(shù) 集 。 傅 里 葉 提 出 ， 一 個 周 期 信 號 可以 用 以 上 兩 種 正 交 函 數(shù) 集 中 相 互 正 交 的 若 干 函 數(shù) 的線 性 組 合 來 表 示 。 或 者 說 ， 可 以 將 周 期 信 號 分 解 為這 些 正 交 函 數(shù) 的 加 權(quán) 和 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 3圖 4.1.1 周 期 信 號 的 分 解 和 合 成 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 4 4.1.1 三 角 形 式 的 傅 里 葉 級 數(shù)用 周 期 函 數(shù) 表 示 的 連 續(xù) 時 間 周 期 信 號 f（ t） ，如 果 滿 足 狄 里 赫 利 條 件 ， 則 可 表 示 為 傅 里 葉 級 數(shù) 展開 式 的 形 式 ， 即式 中 ， =2 /T稱 為 該 周 期 信 號 的 基 波 角 頻 率， 單 位 為 rad/s； T為 其 周 期 ， 單 位 為 s。 An（ n0） 和 n（ n 0） 的 計(jì) 算 公 式 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 5 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 6圖 4.1.3 周 期 矩 形 脈 沖 信 號 的 分 解 和 合 成 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 7 4.1.2 指 數(shù) 形 式 的 傅 里 葉 級 數(shù)根 據(jù) 歐 拉 公 式 ， 可 以 將 式 （ 4.1.1） 所 示 三 角形 式 的 傅 里 葉 級 數(shù) 展 開 式 改 寫 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 8 4.2.1 頻 譜 的 概 念通 過 傅 里 葉 級 數(shù) 可 以 將 時 域 中 的 周 期 信 號 分 解為 直 流 分 量 、 基 波 分 量 和 各 次 諧 波 分 量 之 和 ， 傅 里葉 級 數(shù) 展 開 式 中 的 An， n 或 傅 里 葉 系 數(shù) Fn 分 別 代表 了 各 分 量 的 幅 度 和 相 位 隨 諧 波 次 數(shù) n（ 角 頻 率 n） 的 變 化 關(guān) 系 ， 稱 為 周 期 信 號 的 頻 譜 ， 其 中 An 或 |Fn|稱 為 幅 度 譜 ， n 稱 為 相 位 譜 。4.2 周 期 信 號 的 頻 譜 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 9 4.2.2 周 期 信 號 頻 譜 的 特 點(diǎn)觀 察 前 面 的 周 期 矩 形 脈 沖 信 號 和 全 波 整 流 余 弦信 號 的 頻 譜 ， 可 以 發(fā) 現(xiàn) 其 中 有 些 共 同 的 特 點(diǎn) 。 實(shí) 際上 ， 所 有 周 期 信 號 的 頻 譜 都 具 有 如 下 特 點(diǎn) ： 離 散 性 。 周 期 信 號 的 頻 譜 An， n 或 Fn 都 以整 數(shù) 變 量 n為 自 變 量 ， 頻 譜 圖 由 離 散 的 譜 線 和 點(diǎn) 構(gòu)成 ， 這 樣 的 頻 譜 稱 為 離 散 譜 。 所 有 周 期 信 號 的 頻 譜都 為 離 散 譜 。 諧 波 性 。 周 期 信 號 的 頻 譜 中 自 變 量 n的 取 值對 應(yīng) 各 分 量 的 頻 率 ， n只 能 取 整 數(shù) ， 因 此 各 分 量 的頻 率 只 能 為 原 周 期 信 號 基 波 頻 率 的 整 數(shù) 倍 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 10 收 斂 性 。 理 論 上 說 周 期 信 號 中 包 含 無 窮 多 個諧 波 分 量 ， 各 諧 波 分 量 的 幅 度 （ 即 幅 度 譜 ） 雖 然 不一 定 隨 n的 增 大 而 單 調(diào) 減 小 ， 但 總 的 趨 勢 都 是 按 照一 定 規(guī) 律 衰 減 的 。 當(dāng) n 時 ， |Fn|0， 這 體 現(xiàn) 了周 期 信 號 頻 譜 的 收 斂 性 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 11 4.3.1 非 周 期 信 號 的 傅 里 葉 變 換非 周 期 信 號 的 時 間 函 數(shù) 表 達(dá) 式 為 非 周 期 函 數(shù) ，因 此 不 能 進(jìn) 行 傅 里 葉 級 數(shù) 展 開 。 但 是 ， 可 以 將 非 周期 信 號 視 為 周 期 T 的 周 期 信 號 ， 從 而 得 到 類 似的 分 解 表 達(dá) 式 。周 期 信 號 的 傅 里 葉 系 數(shù) 為4.3 非 周 期 信 號 的 頻 譜 密 度 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 12 當(dāng) T 時 ， 周 期 信 號 f（ t） 變 為 非 周 期 信 號。 此 時 ， 基 波 角 頻 率 =2 /T 趨 向 于 無 窮 小 ， 記為 d， 而 n 趨 向 于 連 續(xù) 變 量 ， 記 為 。 另 外 取 t0= -T/2， 則 由 上 式 得 到 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 13 4.3.2 非 周 期 信 號 的 頻 譜 密 度通 過 傅 里 葉 變 換 可 以 將 信 號 分 解 為 不 同 頻 率 的復(fù) 簡 諧 信 號 的 疊 加 ， 而 信 號 的 傅 里 葉 變 換 F（ j） 反映 了 信 號 中 各 分 量 的 幅 度 和 相 位 隨 其 頻 率 的 變化 關(guān) 系 ， 稱 為 信 號 的 頻 譜 密 度 ， 又 稱 為 頻 譜 密 度 函數(shù) 或 頻 譜 函 數(shù) 。 與 周 期 信 號 的 頻 譜 Fn 相 同 ， F（ j）也 是 信 號 在 頻 域 中 的 一 種 描 述 方 法 ， 所 以 也 稱 為 信號 的 頻 域 表 達(dá) 式 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 14 4.3.3 典 型 信 號 的 頻 譜 密 度這 里 根 據(jù) 上 述 傅 里 葉 變 換 的 定 義 首 先 求 取 幾 個滿 足 絕 對 可 積 條 件 的 非 周 期 信 號 的 頻 譜 密 度 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 15 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 16 前 面 介 紹 了 信 號 的 頻 譜 密 度 ， 并 通 過 傅 里 葉 變換 建 立 了 信 號 的 時 域 和 頻 域 描 述 之 間 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 。在 信 號 分 析 時 ， 經(jīng) 常 需 要 對 信 號 進(jìn) 行 某 種 運(yùn) 算 。 在時 域 中 對 信 號 進(jìn) 行 運(yùn) 算 和 變 換 后 得 到 新 的 信 號 ， 在頻 域 中 其 頻 譜 密 度 有 何 變 化 ？ 與 原 信 號 的 頻 譜 密 度之 間 又 有 何 關(guān) 系 ？ 反 過 來 ， 如 果 信 號 的 頻 譜 密 度 發(fā)生 了 變 化 ， 其 在 時 間 波 形 或 時 間 函 數(shù) 表 達(dá) 式 上 又 有何 變 化 ？ 研 究 這 些 問 題 當(dāng) 然 可 以 通 過 傅 里 葉 變 化 的定 義 進(jìn) 行 ， 但 是 計(jì) 算 過 程 比 較 復(fù) 雜 。4.4 傅 里 葉 變 換 的 性 質(zhì) 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 17 4.4.1 線 性 性 質(zhì) 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 18 4.4.2 時 移 性 質(zhì)時 移 性 質(zhì) 說 明 ， 信 號 在 時 域 中 沿 著 時 間 軸 的 平移 ， 只 是 使 信 號 的 頻 譜 密 度 在 相 位 譜 密 度 上 有 附 加的 相 移 -t 0， 而 幅 度 譜 密 度 不 會 發(fā) 生 變 化 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 19 4.4.3 尺 度 變 換 性 質(zhì) 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 20 4.4.4 對 稱 性 質(zhì)若 f（ t） F（ j） ， 則 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 21 4.4.5 頻 移 性 質(zhì)頻 移 性 質(zhì) 說 明 ， 在 時 域 中 將 一 個 信 號 乘 以 頻 率為 0 的 復(fù) 簡 諧 信 號 ， 則 其 頻 譜 密 度 的 形 狀 不 變 ，只 是 沿 頻 率 軸 向 右 平 移 0。 利 用 歐 拉 公 式 和 傅 里葉 變 換 的 線 性 性 質(zhì) ， 還 可 得 到 頻 移 性 質(zhì) 的 另 外 兩 種描 述 ， 即 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 22 4.4.6 卷 積 性 質(zhì) 圖 4.4.6 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 23 4.4.7 時 域 微 積 分 性 質(zhì)式 （ 4.4.10） 稱 為 時 域 微 分 性 質(zhì) ， 式 （ 4.4.11） 稱 為 時 域 積 分 性 質(zhì) 。 若 f（ t） 的 波 形 上 下 兩 部 分面 積 相 等 ， 則 F（ j0） =0， 時 域 積 分 性 質(zhì) 從 而 可 簡化 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 24 4.4.8 頻 域 微 積 分 性 質(zhì) 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 25 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 26 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 27 前 面 通 過 將 周 期 信 號 展 開 為 傅 里 葉 級 數(shù) ， 得 到了 周 期 信 號 頻 譜 的 計(jì) 算 方 法 。 而 對 非 周 期 信 號 ， 通過 傅 里 葉 變 換 得 到 了 其 頻 域 描 述 方 法 ， 即 頻 譜 密 度。 頻 譜 和 頻 譜 密 度 雖 然 都 是 信 號 的 頻 域 描 述 ， 但 根據(jù) 前 面 的 定 義 ， 二 者 是 有 區(qū) 別 的 。 對 實(shí) 際 系 統(tǒng) 進(jìn) 行分 析 時 ， 系 統(tǒng) 中 的 信 號 可 能 是 周 期 信 號 ， 也 可 能 是非 周 期 信 號 。 如 果 對 這 兩 種 信 號 采 用 不 同 的 頻 域 描述 ， 將 對 系 統(tǒng) 的 分 析 造 成 諸 多 不 便 。 因 此 ， 希 望 將周 期 信 號 也 用 傅 里 葉 變 換 或 頻 譜 密 度 來 表 示 。4.5 周 期 信 號 的 傅 里 葉 變 換 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 28 4.5.1 基 本 周 期 信 號 的 傅 里 葉 變 換基 本 周 期 信 號 主 要 指 的 是 正 弦 信 號 和 復(fù) 簡 諧 信號 。 周 期 信 號 都 是 功 率 信 號 ， 因 此 一 定 不 滿 足 絕 對可 積 條 件 ， 不 能 用 定 義 求 其 傅 里 葉 變 換 。 為 此 ， 可利 用 直 流 信 號 的 傅 里 葉 變 換 ， 根 據(jù) 頻 移 性 質(zhì) 求 得 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 29 4.5.2 一 般 周 期 信 號 的 傅 里 葉 變 換對 任 一 周 期 信 號 f（ t） ， 可 以 通 過 傅 里 葉 級 數(shù)將 其 首 先 分 解 為 復(fù) 簡 諧 信 號 分 量 的 疊 加 ， 即圖 4.5.1 復(fù) 簡 諧 信 號 、 余 弦 信 號 和 正 弦 信 號 的 頻 譜 圖 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 30 這 就 是 任 一 周 期 信 號 傅 里 葉 變 換 的 計(jì) 算 公 式 。該 式 說 明 ， 周 期 信 號 的 傅 里 葉 變 換 即 頻 譜 密 度 由 無窮 多 個 沖 激 構(gòu) 成 ， 各 沖 激 函 數(shù) 位 于 基 波 頻 率 的 整 數(shù)倍 位 置 ， 強(qiáng) 度 為 周 期 信 號 幅 度 譜 |Fn|的 2 倍 。 因此 ， 對 一 般 的 周 期 信 號 ， 可 以 先 求 出 其 傅 里 葉 系 數(shù)， 再 按 上 式 求 得 其 傅 里 葉 變 換 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 31圖 4.5.2 余 弦 信 號 的 頻 譜 和 頻 譜 密 度 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 32圖 4.5.3 周 期 沖 激 序 列 及 其 頻 譜 密 度 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 33 4.5.3 頻 譜 和 頻 譜 密 度 的 總 結(jié) 和 比 較這 里 再 總 結(jié) 一 下 頻 譜 和 頻 譜 密 度 的 聯(lián) 系 和 區(qū) 別。 頻 譜 和 頻 譜 密 度 的 物 理 含 義 都 是 表 示 將 信 號分 解 為 很 多 不 同 頻 率 的 復(fù) 簡 諧 分 量 后 ， 各 頻 率 分 量的 幅 度 和 相 位 隨 分 量 頻 率 的 變 化 關(guān) 系 。 因 此 它 們 都是 信 號 的 頻 域 描 述 。 頻 譜 是 根 據(jù) 傅 里 葉 級 數(shù) 得 到 的 ， 而 頻 譜 密 度是 傅 里 葉 變 換 得 到 的 。 因 此 ， 如 果 由 頻 域 表 達(dá) 式 確定 信 號 的 時 域 表 達(dá) 式 ， 應(yīng) 分 別 用 不 同 的 方 法 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 34 非 周 期 信 號 只 有 傅 里 葉 變 換 和 頻 譜 密 度 。 而周 期 信 號 既 有 頻 譜 ， 也 有 頻 譜 密 度 ， 它 們 之 間 可 以通 過 式 （ 4.5.4） 進(jìn) 行 轉(zhuǎn) 換 。 周 期 信 號 的 頻 譜 密 度 都 是 由 沖 激 函 數(shù) 構(gòu) 成 的。 此 外 ， 許 多 不 滿 足 絕 對 可 積 條 件 的 信 號 ， 如 果 存在 傅 里 葉 變 換 ， 其 頻 譜 密 度 中 一 般 都 含 有 沖 激 函 數(shù)， 如 單 位 階 躍 信 號 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 35 根 據(jù) 傅 里 葉 級 數(shù) 和 傅 里 葉 變 換 得 到 信 號 的 頻 譜， 反 映 了 信 號 中 各 頻 率 分 量 的 幅 度 和 相 位 關(guān) 系 。 在系 統(tǒng) 分 析 中 ， 還 經(jīng) 常 需 要 從 能 量 或 功 率 的 角 度 對 信號 進(jìn) 行 分 析 和 描 述 。 能 量 和 功 率 是 信 號 在 時 域 中 的重 要 特 征 ， 將 信 號 分 解 為 正 弦 或 復(fù) 簡 諧 信 號 后 ， 其中 的 每 個 分 量 也 都 有 能 量 或 功 率 。 信 號 的 能 量 譜 和功 率 譜 可 反 映 信 號 中 各 分 量 的 能 量 和 功 率 隨 著 分 量頻 率 的 變 化 關(guān) 系 。4.6 信 號 的 能 量 譜 和 功 率 譜 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 36 4.6.1 帕 塞 瓦 爾 定 理對 周 期 功 率 信 號 f（ t） ， 假 設(shè) 其 傅 里 葉 系 數(shù) 為 Fn， 則 其 平 均 功 率 為對 能 量 信 號 f（ t） ， 假 設(shè) 其 傅 里 葉 變 換 為 F（j） ， 則 其 能 量 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 37 這 說 明 ， 式 （ 4.6.1） 右 邊 的 每 一 項(xiàng) 代 表 周 期信 號 中 每 個 復(fù) 簡 諧 分 量 的 平 均 功 率 ， 而 式 中 右 邊 的積 分 是 根 據(jù) 時 域 表 達(dá) 式 計(jì) 算 信 號 平 均 功 率 的 定 義 式。 因 此 ， 式 （ 4.6.1） 所 示 周 期 信 號 的 帕 塞 瓦 爾 定理 說 明 ， 周 期 信 號 的 平 均 功 率 等 于 各 分 量 的 平 均 功率 之 和 。 考 慮 到 |Fn|為 偶 函 數(shù) ， 并 且 由 式 （ 4.1.6） 可 知 |Fn|=An/2， 代 入 式 （ 4.6.1） 還 可 以 得 到 周期 功 率 信 號 帕 塞 瓦 爾 定 理 的 另 一 種 描 述 ， 即 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 38 4.6.2 能 量 譜 和 功 率 譜對 能 量 信 號 ， 如 果 能 夠 找 到 一 個 頻 域 實(shí) 函 數(shù) E（ ） ， 使 得 信 號 的 能 量 為則 函 數(shù) E（ ） 稱 為 該 能 量 信 號 的 能 量 譜 密 度， 簡 稱 為 能 量 譜 。 能 量 譜 反 映 了 信 號 中 各 分 量 的 能量 隨 其 頻 率 的 變 化 關(guān) 系 。 根 據(jù) 帕 塞 瓦 爾 定 理 ， 顯 然 有 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 39 這 說 明 ， 能 量 信 號 的 能 量 譜 等 于 其 幅 度 譜 密 度的 平 方 。 因 此 ， 知 道 了 信 號 的 頻 譜 或 其 幅 度 譜 ， 即可 由 上 式 求 出 信 號 的 能 量 譜 。實(shí) 際 應(yīng) 用 中 ， 能 量 譜 還 可 以 定 義 為 能 夠 滿 足 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 40 與 能 量 信 號 的 能 量 譜 類 似 ， 對 功 率 信 號 ， 如 果能 夠 找 到 一 個 頻 域 實(shí) 函 數(shù) P（ ） 使 信 號 的 平 均 功率 為 則 函 數(shù) P（ ） 稱 為 該 功 率 信 號 的 功 率 譜 密 度， 簡 稱 為 功 率 譜 。 功 率 譜 反 映 了 信 號 中 各 分 量 的 平均 功 率 隨 其 頻 率 的 變 化 關(guān) 系 。根 據(jù) 式 （ 4.6.1） 所 示 的 帕 塞 瓦 爾 定 理 ， 利 用 單 位沖 激 函 數(shù) 的 篩 選 性 質(zhì) 可 以 得 到 周 期 功 率 信 號 的 平 均功 率 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 41 對 比 式 （ 4.6.9） 和 式 （ 4.6.10） ， 顯 然 有 這 就是 周 期 功 率信 號 功 率 譜 的 計(jì) 算 公 式 。 由 此 可 知 ， 周 期 信 號 的 功率 譜 由 無 窮 多 個 沖 激 函 數(shù) 構(gòu) 成 ， 每 個 沖 激 的 強(qiáng) 度 為 2 |Fn|2， 代 表 頻 率 為 n 的 復(fù) 簡 諧 分 量 的 功 率 。由 式 （ 4.6.11） 求 得 的 功 率 譜 稱 為 信 號 的 雙 邊 功 率譜 。 由 于 周 期 信 號 的 幅 度 譜 是 n或 者 n 的 偶 函 數(shù)， 因 此 也 可 以 定 義 單 邊 功 率 譜 ， 也 就 是 將 滿 足 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 42 對 周 期 信 號 ， An 和 Fn 分 別 為 其 單 邊 頻 譜 和雙 邊 頻 譜 ， 并 且 有 Fn= An/2， 同 時 考 慮 到 Fn為 n的 偶 函 數(shù) ， 則 式 （ 4.6.1） 所 示 周 期 信 號 的 帕 塞 瓦爾 定 理 可 以 改 寫 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 43 4.6.3 信 號 的 相 關(guān) 函 數(shù) 與 譜 密 度 之 間 的 關(guān) 系在 通 信 、 遙 控 遙 測 等 系 統(tǒng) 中 ， 接 收 機(jī) 接 收 到 的信 號 有 畸 變 或 失 真 ， 如 何 從 接 收 到 的 信 號 中 獲 得 或提 取 出 有 用 信 號 ？ 一 種 常 用 的 技 術(shù) 就 是 將 已 知 的 信號 波 形 與 畸 變 信 號 波 形 進(jìn) 行 比 較 ， 利 用 其 相 似 性 來判 定 發(fā) 送 信 號 是 否 存 在 。 這 就 是 信 號 的 相 關(guān) 分 析 。相 關(guān) 分 析 理 論 不 僅 能 解 決 以 上 問 題 ， 還 能 根 據(jù) 信 號的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 求 得 其 能 量 譜 或 功 率 譜 以 及 信 號 的 能量 或 功 率 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 44 （ 1） 互 相 關(guān) 函 數(shù)兩 個 能 量 信 號 f1（ t） 和 f2（ t） 之 間 的 互 相 關(guān)函 數(shù) 定 義 為 兩 個 功 率 信 號 f1（ t） 和 f2（ t） 之 間 的 互 相 關(guān)函 數(shù) 定 義 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 45 （ 2） 自 相 關(guān) 函 數(shù)在 互 相 關(guān) 函 數(shù) 的 定 義 中 ， 如 果 設(shè) f1（ t） = f2（ t） = f（ t） ， 則 R12（ t） = R21（ t） = R（ t） ， 稱 為信 號 f（ t） 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 。 對 能 量 信 號 ， 自 相 關(guān) 函數(shù) 定 義 為自 相 關(guān) 函 數(shù) 實(shí) 際 上 反 映 了 信 號 經(jīng) 時 移 t后 得 到的 新 的 信 號 與 原 來 信 號 之 間 的 相 似 程 度 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 46 式 中 ， T為 周 期 信 號 的 周 期 。 根 據(jù) 周 期 信 號 的定 義 及 其 波 形 特 點(diǎn) ， 如 果 t= kT， 顯 然 自 相 關(guān) 函 數(shù)達(dá) 到 最 大 值 。根 據(jù) 定 義 還 可 以 證 明 ， R（ 0） 表 示 能 量 信 號的 能 量 ， 即 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 47 （ 3） 相 關(guān) 函 數(shù) 與 譜 密 度 之 間 的 關(guān) 系相 關(guān) 函 數(shù) 雖 然 根 據(jù) 信 號 的 時 間 波 形 或 時 間 函 數(shù)表 達(dá) 式 定 義 ， 但 是 它 們 與 信 號 的 能 量 譜 和 功 率 譜 之間 有 著 確 定 的 關(guān) 系 。假 設(shè) 能 量 信 號 f（ t） 的 傅 里 葉 變 換 為 F（ j）， 能 量 譜 為 E（ ） ， 則 根 據(jù) 定 義 得 到 其 自 相 關(guān) 函數(shù) 為 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 48 4.6.4 信 號 的 帶 寬信 號 通 過 傅 里 葉 級 數(shù) 或 傅 里 葉 變 換 可 分 解 為 很多 不 同 頻 率 分 量 的 疊 加 ， 信 號 的 頻 帶 寬 度 （ 簡 稱 為帶 寬 ） 定 義 為 所 有 分 量 頻 率 的 變 化 范 圍 。理 論 上 說 ， 由 于 分 解 得 到 的 分 量 有 無 窮 多 個 ，因 此 信 號 的 帶 寬 為 無 窮 大 。 但 實(shí) 際 信 號 的 頻 譜 、 能量 譜 和 功 率 譜 都 具 有 收 斂 性 ， 隨 著 頻 率 的 增 大 ， 相應(yīng) 分 量 的 幅 度 、 能 量 或 功 率 都 將 逐 漸 衰 減 ， 超 過 一定 頻 率 的 分 量 ， 其 幅 度 可 以 忽 略 。 信 號 與 系 統(tǒng) 出 版 社 理 工 分 社 49 例 如 ， 由 圖 4.6.1所 示 門 信 號 的 能 量 譜 可 見 ，在 2 / 范 圍 ， 各 分 量 的 能 量 比 較 大 ， 而頻 率 大 于 2 / 的 分 量 ， 其 能 量 急 劇 減 小 。 忽 略 這些 分 量 ， 則 門 信 號 的 帶 寬 可 近 似 取 為 能 量 譜隨 | |的 增 大 而 第 一 次 達(dá) 到 零 點(diǎn) 對 應(yīng) 的 頻 率 范 圍 ，即