第九章 平面解析幾何,§9.2 兩條直線的位置關(guān)系,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.兩條直線的位置關(guān)系 (1)兩條直線平行與垂直 兩條直線平行： ()對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1l2 (k1，k2均存在). ()當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1l2.,k1k2,知識(shí)梳理,1,答案,兩條直線垂直： ()如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1l2_ (k1，k2均存在). ()當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1l2. (2)兩條直線的交點(diǎn) 直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是 方程組 的解.,k1·k21,答案,2.幾種距離 (1)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2| . (2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d . (3)兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離 d .,答案,1.一般地，與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxBym0；與之垂直的直線方程可設(shè)為BxAyn0. 2.過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2. 3.點(diǎn)到直線與兩平行線間的距離的使用條件： (1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式. (2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.,知識(shí)拓展,判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.( ) (3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.( ),×,×,答案,思考辨析,(4)點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為 .( ) (5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.( ) (6)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于 ，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上.( ),×,答案,1.設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的_條件. 解析 (1)充分性：當(dāng)a1時(shí)， 直線l1：x2y10與直線l2：x2y40平行； (2)必要性：當(dāng)直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行時(shí)有a2或1. 所以“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的充分不必要條件.,充分不必要,考點(diǎn)自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.(教材改編)已知點(diǎn)(a,2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a .,解析答案,1,2,3,4,5,3.已知直線l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，則實(shí)數(shù)m的值為_.,得m1或7.,解析答案,1,2,3,4,5,7,4.(2014·福建改編)已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則l的方程是_. 解析 圓x2(y3)24的圓心為點(diǎn)(0,3)， 又因?yàn)橹本€l與直線xy10垂直， 所以直線l的斜率k1. 由點(diǎn)斜式得直線l：y3x0，化簡得xy30.,xy30,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a_. 解析 由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.,0或1,解析答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,例1 (1)已知兩條直線l1：(a1)·x2y10，l2：xay30平行，則a_. 解析 若a0，兩直線方程為x2y10和x3，此時(shí)兩直線相交，不平行，所以a0.,解得a1或a2.,1或2,題型一 兩條直線的平行與垂直,解析答案,(2)已知兩直線方程分別為l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，則a_. 解析 方法一 l1l2， k1k21，,解得a2. 方法二 l1l2， a20，a2.,2,解析答案,思維升華,思維升華,(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時(shí)還要注意x、y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件. (2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.,已知兩直線l1：xysin 10和l2：2x·sin y10，求的值，使得： (1)l1l2；,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,解 方法一 當(dāng)sin 0時(shí)，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2.,解析答案,方法二 由A1B2A2B10，得2sin210，,又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.,(2)l1l2. 解 因?yàn)锳1A2B1B20是l1l2的充要條件， 所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ. 故當(dāng)k，kZ時(shí)，l1l2.,解析答案,題型二 兩條直線的交點(diǎn)與距離問題,解析答案,又交點(diǎn)位于第一象限，,解析答案,方法二 如圖，已知直線,解析答案,而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點(diǎn)P(2,1)，斜率為k的動(dòng)直線. 兩直線的交點(diǎn)在第一象限， 兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))， 動(dòng)直線的斜率k需滿足kPAkkPB.,(2)直線l過點(diǎn)P(1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_.,解析答案,解析 方法一 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y2k(x1)，即kxyk20.,即|3k1|3k3|，,解析答案,思維升華,即x3y50. 當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(1,4). 直線l的方程為x1. 故所求直線l的方程為x3y50或x1.,答案 x3y50或x1,即x3y50. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，也符合題意.,思維升華,思維升華,(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法： 求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程. (2)利用距離公式應(yīng)注意：點(diǎn)P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.,(1)如圖，設(shè)一直線過點(diǎn)(1,1)，它被兩平行直線l1：x2y10，l2：x2y30所截的線段的中點(diǎn)在直線l3：xy10上，求其方程.,解 與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x2y20. 設(shè)所求直線方程為(x2y2)(xy1)0， 即(1)x(2)y20.又直線過(1,1)， (1)(1)(2)·120.,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)正方形的中心為點(diǎn)C(1,0)，一條邊所在的直線方程是x3y50，求其他三邊所在直線的方程.,解析答案,設(shè)與x3y50平行的一邊所在直線的方程是x3ym0(m5)，,解得m5(舍去)或m7， 所以與x3y50平行的邊所在直線的方程是x3y70.,解析答案,設(shè)與x3y50垂直的邊所在直線的方程是3xyn0，,解得n3或n9， 所以與x3y50垂直的兩邊所在直線的方程分別是3xy30和3xy90.,命題點(diǎn)1 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,例3 過點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_. 解析 設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,82a)， 則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(a,2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100， 解得a4， 即點(diǎn)A(4,0)在直線l上， 所以直線l的方程為x4y40.,x4y40,題型三 對(duì)稱問題,解析答案,命題點(diǎn)2 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,例4 已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)，則點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為_.,解析答案,命題點(diǎn)3 直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題,例5 已知直線l：2x3y10，求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程.,解析答案,思維升華,解 在直線m上任取一點(diǎn)，如M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M必在直線m上.,解析答案,思維升華,設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，,又m經(jīng)過點(diǎn)N(4,3). 由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.,思維升華,解決對(duì)稱問題的方法 (1)中心對(duì)稱,直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決.,思維升華,(2)軸對(duì)稱,直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決.,在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P(如圖).若光線QR經(jīng)過ABC的重心，則AP_.,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,返回,解析 建立如圖所示的坐標(biāo)系：,可得B(4,0)，C(0,4)，故直線BC的方程為xy4，,設(shè)P(a,0)，其中0a4，,解析答案,解析答案,代入化簡可得3a24a0，,返回,思想與方法系列,一、平行直線系 由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有必然的聯(lián)系.,典例 求與直線3x4y10平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程.,思維點(diǎn)撥 因?yàn)樗笾本€與3x4y10平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x4yc0(c1).,18.妙用直線系求直線方程,思想與方法系列,解析答案,思維點(diǎn)撥,溫馨提醒,規(guī)范解答 解 依題意，設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)， 又因?yàn)橹本€過點(diǎn)(1,2)， 所以3×14×2c0，解得c11. 因此，所求直線方程為3x4y110.,溫馨提醒,溫馨提醒,與直線AxByC0平行的直線系方程為AxByC10 (C1C)，再由其他條件求C1.,二、垂直直線系 由于直線A1xB1yC10與A2xB2yC20垂直的充要條件為A1A2B1B20.因此，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)有必要的關(guān)系，可以考慮用直線系方程求解. 典例 求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程. 思維點(diǎn)撥 依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解.,解析答案,思維點(diǎn)撥,溫馨提醒,規(guī)范解答 解 因?yàn)樗笾本€與直線2xy100垂直，所以設(shè)該直線方程為x2yC10，又直線過點(diǎn)(2,1)，所以有22×1C10，解得C10，即所求直線方程為x2y0.,溫馨提醒,溫馨提醒,與直線AxByC0垂直的直線系方程為BxAyC10，再由其他條件求出C1.,三、過直線交點(diǎn)的直線系 典例 求經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程. 思維點(diǎn)撥 可分別求出直線l1與l2的交點(diǎn)及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以利用過交點(diǎn)的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解.,解析答案,思維點(diǎn)撥,溫馨提醒,返回,規(guī)范解答,即4x3y60. 方法二 設(shè)直線l的方程為x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. 又ll3，3×(1)(4)×(2)0， 解得11. 直線l的方程為4x3y60.,溫馨提醒,返回,溫馨提醒,本題方法一采用常規(guī)方法，先通過方程組求出兩直線交點(diǎn)，再根據(jù)垂直關(guān)系求出斜率，由于交點(diǎn)在y軸上，故采用斜截式求解；方法二則采用了過兩直線A1xB1yC10與A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的方程，再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解.,思想方法 感悟提高,1.兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合.對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1·k21.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意. 2.對(duì)稱問題一般是將線與線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱.利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法.,方法與技巧,1.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨(dú)考慮. 2.在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d 時(shí)，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.設(shè)a，b，c分別是ABC中角A，B，C所對(duì)邊的邊長，則直線sin A·xayc0與bxsin B·ysin C0的位置關(guān)系是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即直線sin A·xayc0與bxsin B·ysin C0垂直.,方法二 由正弦定理有a2Rsin A，b2Rsin B(其中R為ABC外接圓的半徑)， 所以bsin Aasin B2Rsin Bsin A2Rsin Asin B0， 所以直線sin A·xayc0與bxsin B·ysin C0垂直. 答案 垂直,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,二,解析答案,4.若直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2經(jīng)過定點(diǎn)_. 解析 直線l1：yk(x4)經(jīng)過定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2)， 又直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱， 故直線l2經(jīng)過定點(diǎn)(0,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(0,2),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿與向量a(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為_.,其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)， 又點(diǎn)(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2,3)， 所以反射光線過點(diǎn)(2,3)與(0,2)， 由兩點(diǎn)式得直線方程為x2y40.,x2y40,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,6.(教材改編)與直線l1：3x2y60和直線l2：6x4y30等距離的直線方程是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以l1與l2平行，設(shè)與l1，l2等距離的直線l的方程為3x2yc0，,所以l的方程為12x8y150.,答案 12x8y150,7.已知兩直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，則ab_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,1,解析答案,9.已知ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2xy50，AC邊上的高BH所在直線方程為x2y50，求直線BC的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 依題意知：kAC2，A(5,1)， lAC為2xy110，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,代入2xy50，得2x0y010，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即6x5y90.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.已知直線l經(jīng)過直線l1：2xy50與l2：x2y0的交點(diǎn). (1)若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 易知l不可能為l2，可設(shè)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2xy5)(x2y)0， 即(2)x(12)y50， 點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，,l的方程為x2或4x3y50.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值.,解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則dPA(當(dāng)lPA時(shí)等號(hào)成立).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.若點(diǎn)(m，n)在直線4x3y100上，則m2n2的最小值是_.,解析 因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)在直線4x3y100上， 所以4m3n100.,解析答案,表示4m3n100上的點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離，如圖.,當(dāng)過原點(diǎn)的直線與直線4m3n100垂直時(shí)，原點(diǎn)到點(diǎn)(m，n)的距離最小為2.所以m2n2的最小值為4.,4,12.如圖，已知直線l1l2，點(diǎn)A是l1，l2之間的定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點(diǎn)B是l2上的一動(dòng)點(diǎn)，作ACAB，且AC與l1交于點(diǎn)C，則ABC的面積的最小值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)B(a，2)，C(b,3)，且a0，b0.,ACAB，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即ABC面積的最小值為6.,答案 6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 如圖，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)P，P到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距離之和為PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD，,故四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)Q即為所求距離之和最小的點(diǎn). A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)，,解析答案,直線AC的方程為y22(x1)，直線BD的方程為y5(x1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 (2,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求l關(guān)于點(diǎn)(2,3)對(duì)稱的直線方程.,解 在l上任取一點(diǎn)，如M(0，1)， 則M關(guān)于點(diǎn)(2,3)對(duì)稱的點(diǎn)為N(4,7). 當(dāng)對(duì)稱點(diǎn)不在直線上時(shí)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩直線必平行， 所求直線過點(diǎn)N且與l平行，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又a0，解得a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0). 若P點(diǎn)滿足條件，則P點(diǎn)在與l1，l2平行的直線l：2xyc0上，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即|2x0y03|x0y01|， 所以x02y040或3x020； 由于點(diǎn)P在第一象限，所以3x020不可能.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,