第九章 平面解析幾何,§9.3 圓的方程,內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎知識 自主學習,1.圓的定義 在平面內，到 的距離等于 的點的 叫圓. 2.確定一個圓最基本的要素是 和 . 3.圓的標準方程 (xa)2(yb)2r2(r0)，其中 為圓心， 為半徑. 4.圓的一般方程 x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是 ，其中圓心為 _，半徑r_.,定長,集合,定點,圓心,半徑,(a，b),r,D2E24F0,知識梳理,1,答案,5.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： (1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關于a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程.,6.點與圓的位置關系 點和圓的位置關系有三種. 圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，點M(x0，y0) (1)點在圓上：_； (2)點在圓外： _ ； (3)點在圓內： _.,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,答案,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( ) (2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.( ) (3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF0.( ) (4)方程x22axy20一定表示圓.( ),×,答案,思考辨析,×,答案,1.(教材改編)x2y24x6y0的圓心坐標是_.,圓x2y24x6y0的圓心為(2，3).,(2，3),考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是_.,解析 由題意知a24a24(2a2a1)0，,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015·北京改編)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是_.,圓的方程為(x1)2(y1)22.,(x1)2(y1)22,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_. 解析 設圓心坐標為C(a,0)， 點A(1,1)和B(1,3)在圓C上， CACB，,解得a2，,圓心為C(2,0)，,圓C的方程為(x2)2y210.,(x2)2y210,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2015·湖北)如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且AB2. (1)圓C的標準方程為_；,解析 由題意，設圓心C(1，r)(r為圓C的半徑)，,解析答案,1,2,3,4,5,(2)圓C在點B處的切線在x軸上的截距為_.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,例1 根據(jù)下列條件，求圓的方程. (1)經過P(2,4)、Q(3，1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；,題型一 求圓的方程,解析答案,解 設圓的方程為x2y2DxEyF0，,又令y0，得x2DxF0. ,設x1，x2是方程的兩根， 由|x1x2|6有D24F36， 由解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0. 故所求圓的方程為x2y22x4y80，或x2y26x8y0.,(2)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點P(3，2).,解析答案,思維升華,解 方法一 如圖，設圓心(x0，4x0)，,故圓的方程為(x1)2(y4)28.,方法二 設所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，,解析答案,思維升華,因此所求圓的方程為(x1)2(y4)28.,思維升華,思維升華,(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值.,(1)(2014·陜西)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關于直線yx對稱，則圓C的標準方程為_.,解析 由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1， 所以圓C的標準方程為x2(y1)21.,x2(y1)21,跟蹤訓練1,解析答案,(2)過點A(4,1)的圓C與直線xy10相切于點B(2，1)，則圓C的方程為_.,解析 由已知kAB0， 所以AB的中垂線方程為x3. 過B點且垂直于直線xy10的直線方程為y1(x2)，即xy30， ,所以圓心坐標為(3,0)，,所以圓C的方程為(x3)2y22.,(x3)2y22,解析答案,命題點1 斜率型最值問題,題型二 與圓有關的最值問題,解析答案,則圓心(2,0)到直線ykx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.,解析答案,命題點2 截距型最值問題,例3 在例2條件下，求yx的最小值和最大值. 解 設yxb，則yxb， 僅當直線yxb與圓切于第四象限時，截距b取最小值，,解析答案,命題點3 距離型最值問題,例4 在例2條件下，求x2y2的最大值和最小值. 解 x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方， 由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點 處取得最大值和最小值(如圖).,解析答案,思維升華,思維升華,與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數(shù)形結合求解. (2)與圓上點(x，y)有關代數(shù)式的最值的常見類型及解法.形如u 型的最值問題，可轉化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題； 形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉化為動點到定點(a，b)的距離平方的最值問題.,(1)設P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線x3上的動點，則PQ的最小值為 _.,解析 PQ的最小值為圓心到直線的距離減去半徑. 因為圓的圓心為(3，1)，半徑為2， 所以PQ的最小值d3(3)24.,4,跟蹤訓練2,解析答案,(2)已知M為圓C：x2y24x14y450上任意一點，且點Q(2,3). 求MQ的最大值和最小值；,解 由圓C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 所以圓心C的坐標為(2,7)，,解析答案,設直線MQ的方程為y3k(x2)，,解析答案,例5 設定點M(3,4)，動點N在圓x2y24上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.,題型三 與圓有關的軌跡問題,解析答案,思維升華,解 如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，,解析答案,又N(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24. 因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，,思維升華,思維升華,求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. 定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程. 幾何法：利用圓的幾何性質列方程. 代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.,已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點. (1)求線段AP中點的軌跡方程；,解 設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2,2y). 因為P點在圓x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.,跟蹤訓練3,解析答案,(2)若PBQ90°，求線段PQ中點的軌跡方程.,解 設PQ的中點為N(x，y)，連結BN. 在RtPBQ中，PNBN. 設O為坐標原點，連結ON，則ONPQ， 所以OP2ON2PN2ON2BN2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.,解析答案,返回,思想與方法系列,典例 在平面直角坐標系xOy中，曲線yx26x1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程. 思維點撥 本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法.,19.利用幾何性質巧設方程求半徑,思想與方法系列,溫馨提醒,巧妙解法,解析答案,思維點撥,返回,規(guī)范解答 解 一般解法 (代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，,故圓的方程是x2y26x2y10.,設圓的方程是x2y2DxEyF0 (D2E24F0)，,溫馨提醒,巧妙解法,所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.,溫馨提醒,返回,(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標軸的三個交點，設圓的方程為一般式，代入點的坐標求解析式. (2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設圓的方程為標準式，簡化計算.顯然幾何法比代數(shù)法的計算量小，因此平時訓練多采用幾何法解題.,溫馨提醒,思想方法 感悟提高,1.確定一個圓的方程，需要三個獨立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設條件恰當選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數(shù). 2.解答圓的問題，應注意數(shù)形結合，充分運用圓的幾何性質，簡化運算.,方法與技巧,1.求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程. 2.過圓外一定點，求圓的切線，應該有兩個結果，若只求出一個結果，應該考慮切線斜率不存在的情況.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.已知點A(1，1)，B(1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是_.,解析 AB的中點坐標為(0,0)，,圓的方程為x2y22.,x2y22,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.設圓的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，則原點與圓的位置關系是_. 解析 將圓的一般方程化成標準方程為(xa)2(y1)22a， 因為0a1， 所以(0a)2(01)22a(a1)20，,所以原點在圓外.,原點在圓外,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓M的方程為(x1)2y24. 答案 (x1)2y24,解析 由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a2，半徑為r，,4.點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是_ _. 解析 設圓上任一點坐標為(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2,(y1)21,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又圓與直線2xy10相切，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓心坐標為(1,2)，,則所求圓的方程為(x1)2(y2)25.,答案 (x1)2(y2)25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若圓C經過坐標原點和點(4,0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是 _.,解析答案,7.(2015·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為 _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 直線mxy2m10恒過定點(2，1)，,故所求圓的標準方程為(x1)2y22.,(x1)2y22,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.(2014·湖北)已知圓O：x2y21和點A(2,0)，若定點B(b,0)(b2)和常數(shù)滿足：對圓O上任意一點M，都有MBMA，則 (1)b_；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 因為點M為圓O上任意一點， 所以不妨取圓O與x軸的兩個交點(1,0)和(1,0). 當M點取(1,0)時，由MBMA，得|b1|； 當M點取(1,0)時，由MBMA，得|b1|3. 消去，得|b1|3|b1|. 兩邊平方，化簡得2b25b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)_.,解析答案,9.一圓經過A(4,2)，B(1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 設所求圓的方程為x2y2DxEyF0. 令y0，得x2DxF0，所以x1x2D. 令x0，得y2EyF0，所以y1y2E. 由題意知DE2，即DE20. 又因為圓過點A、B，所以1644D2EF0. 19D3EF0. 解組成的方程組得D2，E0，F(xiàn)12. 故所求圓的方程為x2y22x120.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設P(x，y)，圓P的半徑為r. 則y22r2，x23r2. y22x23，即y2x21. P點的軌跡方程為y2x21.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設P的坐標為(x0，y0)，,y0x0±1，即y0x0±1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,圓P的方程為x2(y1)23.,圓P的方程為x2(y1)23. 綜上所述，圓P的方程為x2(y±1)23.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2(y1)24,解析答案,12.設P為直線3x4y30上的動點，過點P作圓C：x2y22x2y10的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 依題意，圓C：(x1)2(y1)21的圓心是點C(1,1)，半徑是1，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.若圓x2(y1)21上任意一點(x，y)都使不等式xym0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_.,解析答案,解析 據(jù)題意圓x2(y1)21上所有的點都在直線xym0的右上方，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知實數(shù)x、y滿足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值和最小值.,解 設xyt，則直線yxt與圓(x3)2(y3)26有公共點.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.如圖，經過B(1,2)作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1交y軸正半軸于點A，l2交x軸正半軸于點C. (1)若A(0,1)，求點C的坐標；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由直線l1經過兩點A(0,1)，B(1,2)， 得l1的方程為xy10. 由直線l2l1，且直線l2經過點B， 得l2的方程為xy30. 所以，點C的坐標為(3,0).,(2)試問是否總存在經過O，A，B，C四點的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請說明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,解 因為ABBC，OAOC，所以總存在經過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,若l1與y軸不垂直，則兩條直線斜率都存在.,所以直線l1的方程為y2k(x1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以直線l1的方程為y2k(x1)，,解析答案,從而A(0,2k)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,注意到k0，,返回,