,第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù),1結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系 2根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解,請(qǐng)注意 1函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)即方程f(x)0的實(shí)根，易誤認(rèn)為函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn) 2由函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)0，如圖所示 所以f(a)·f(b)0是yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)的充分不必要條件,1函數(shù)零點(diǎn)的概念 零點(diǎn)不是點(diǎn)！ (1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)0的實(shí)數(shù)x； (2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 2函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖像與 有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有 ,x軸,零點(diǎn),3函數(shù)零點(diǎn)的判斷 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 .那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間_內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根 4二分法的定義 對(duì)于在a，b上連續(xù)不斷，且 的函數(shù)yf(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的 所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法,f(a)·f(b)0,(a，b),f(a)·f(b)0,零點(diǎn),一分為二,5用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值 (1)確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證 ，給定精確度； (2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1； (3)計(jì)算f(x1)； 若 ，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若 ，則令bx1，(此時(shí)零點(diǎn)x0(a，x1)； 若 ，則令ax1，(此時(shí)零點(diǎn)x0(x1，b) (4)判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)(4),f(a)·f(b)0,f(x1)0,f(a)·f(x1)0,f(x1)·f(b)0,1判斷下列說(shuō)法是否正確(打“”或“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn) (2)若函數(shù)yf(x)，xD在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0. (3)二次函數(shù)yax2bxc在b24ac0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn) (4)函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)根 答案 (1)× (2)× (3) (4),2方程2xx23的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為( ) A2 B3 C1 D4 答案 A 解析 構(gòu)造函數(shù)y2x與y3x2，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像，可知有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程2xx23的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2.故選A.,答案 C,4下列函數(shù)圖像與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是( ) 答案 C 解析 A，B圖中零點(diǎn)兩側(cè)不異號(hào)，D圖不連續(xù)故選C.,5若在二次函數(shù)f(x)ax2bxc中，a·c0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_ 答案 2,例1 (1)(2013·天津理)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A1 B2 C3 D4,題型一 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及求法,【答案】 B,(2)函數(shù)f(x)xcos2x在區(qū)間0,2上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A2 B3 C4 D5,【答案】 D,探究1 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn) (2)零點(diǎn)存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在a，b上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn) (3)畫兩個(gè)函數(shù)圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn),函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_ 【解析】 f(x)2xln23x2，在(0,1)上f(x)0恒成立，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增 又f(0)10， f(x)在區(qū)間(0,1)上存在一個(gè)零點(diǎn) 【答案】 1,思考題1,題型二 求零點(diǎn)所在區(qū)間,【答案】 D,探究2 此類題的解法是將f(x)0，拆成f(x)g(x)h(x)0，畫出h(x)與g(x)的圖像，從而確定方程g(x)h(x)的根所在的區(qū)間,設(shè)f(x)lnxx2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4),思考題2,【解析】 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)lnx，h(x)x2圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍作圖如圖所示： 可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2) 【答案】 B,題型三 零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用,探究3 已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值常用的方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后觀察求解,若函數(shù)f(x)axxa(a0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 【解析】 函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程axxa0有兩個(gè)根，即函數(shù)yax與函數(shù)yxa的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),思考題3,當(dāng)01時(shí)，圖像如圖所示，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn) 實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，) 【答案】 (1，),例4 (1)用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_,題型四 二分法,【答案】 (0,0.5) f(0.25),(2)在用二分法求方程x32x10的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為_(kāi),探究4 利用二分法求近似解需注意的問(wèn)題： (1)在第一步中：區(qū)間長(zhǎng)度盡量?。籪(a)，f(b)的值比較容易計(jì)算且f(a)·f(b)0； (2)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根是等價(jià)的,在用二分法求方程x22的正實(shí)數(shù)根的近似解(精確度0.001)時(shí)，若我們選取初始區(qū)間是1.4,1.5，則要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是_,思考題4,【答案】 7,1函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)： (1)若函數(shù)f(x)的圖像在xx0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)； (2)若函數(shù)f(x)的圖像在xx0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn),2函數(shù)零點(diǎn)的求法： 求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)： (1)(代數(shù)法)求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根(常用公式法、因式分解、直接求解等)； (2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖像聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)； (3)二分法(主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，所求零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)),3有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論： (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)； (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)； (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過(guò)一重零點(diǎn)時(shí)(不是二重零點(diǎn))，函數(shù)值變號(hào)；通過(guò)二重零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能不變號(hào),答案 C,答案 B,3(2015·唐山一中模擬)設(shè)f(x)3xx2，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是( ) A0,1 B1,2 C2，1 D1,0 答案 D 解析 函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有零點(diǎn)，需要f(x)在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，即f(a)f(b)0，把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D.,答案 B,5如果函數(shù)f(x)axb(a0)有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)bx2ax的零點(diǎn)是_,二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 例1 若二次函數(shù)f(x)x22ax4在(1，)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍,例2 m為何值時(shí)，f(x)x22mx3m4. (1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)； (2)有兩個(gè)零點(diǎn)且均比1大 【解析】 (1)f(x)x22mx3m4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)方程f(x)0有兩個(gè)相等實(shí)根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.,【答案】 (1)m4或m1 (2)(5，1),【講評(píng)】 對(duì)于二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問(wèn)題來(lái)解決，結(jié)合二次函數(shù)的圖像從判別式，韋達(dá)定理、對(duì)稱軸、端點(diǎn)函數(shù)值、開(kāi)口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件，這里涉及到三個(gè)“二次問(wèn)題”的全面考慮和“數(shù)形結(jié)合思想”的靈活運(yùn)用,