第五章 平面向量,5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算,考綱要求:1.了解向量的實(shí)際背景. 2.理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義. 3.理解向量的幾何表示. 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算,理解其幾何意義. 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義. 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.,1.向量的有關(guān)概念 (1)向量:在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小,又有方向的量統(tǒng)稱為向量. (2)向量的幾何表示:以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的向量記作 . (3)零向量:長度為零的向量稱為零向量,記作0. (4)單位向量:長度為單位1的向量叫作單位向量. (5)相等向量:我們規(guī)定,長度相等且方向相同的向量,叫作相等向量. (6)向量平行(或共線):如果表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合,則稱這兩個(gè)向量平行或共線.a與b平行或共線,記作ab.規(guī)定,零向量與任一向量平行. (7)相反向量:把與a長度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量.記作-a.規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.,2.向量的線性運(yùn)算,3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 (1)a是一個(gè)非零向量,若存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=a,則向量b與非零向量a共線. (2)向量b與非零向量a共線,則存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=a. 即b=a(a0,R)ab.,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”. (1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段表示向量. ( ) (3)若兩個(gè)向量共線,則其方向必定相同或相反. ( ) (4)在平行四邊形ABCD中,一定有 ,若 ,則A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形. ( ) (5)若ab,bc,則ac. ( ),×,×,×,×,1,2,3,4,5,2.(2015東北四市聯(lián)考)在四邊形ABCD中,若 ,則四邊形ABCD一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四邊形,答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知 ,且四邊形ABCD為平行四邊形,則( ) A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0 C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0,答案,解析,1,2,3,4,5,4.在ABC中,D是BC的中點(diǎn),則 表示為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.設(shè)向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)= .,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點(diǎn)評(píng) 1.向量常用有向線段表示,但向量與有向線段是兩個(gè)不同的概念,有向線段由起點(diǎn)、終點(diǎn)唯一確定,而向量是由大小和方向來確定的.向量不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小. 2.零向量的方向是任意的,它與任何向量都平行(共線). 3.向量共線與線段共線不同,前者可以不在同一直線上,而后者必須在同一直線上.同樣,兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的,因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1辨析平面向量的有關(guān)概念 例1(1)對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)給出下列命題: 若|a|=|b|,則a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同;a=b的充要條件是|a|=|b|,且ab. 其中真命題的序號(hào)是 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:學(xué)習(xí)了向量的概念后,你對(duì)向量有怎樣的認(rèn)識(shí)? 解題心得:對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條: (1)向量的兩個(gè)特征:大小和方向.向量既可以用有向線段和字母表示,也可以用坐標(biāo)表示; (2)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量則未必是相等向量; (3)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,所以向量只有相等與不相等,不可以比較大小.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 (1)設(shè)a0為單位向量,若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|a0;若a與a0平行,則a=|a|a0;若a與a0平行,且|a|=1,則a=a0.上述命題中,假命題的個(gè)數(shù)為 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)給出下列命題: 兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量; 兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大小; 若a=0(為實(shí)數(shù)),則必為零; 已知,為實(shí)數(shù),若a=b,則a與b共線. 其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算 例2(1)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn), ,則( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)設(shè)D,E,F分別為ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則 =( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:在幾何圖形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的線性運(yùn)算與代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算有怎樣的聯(lián)系? 解題心得:1.進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來. 2.向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 (1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則 等于( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3向量共線定理及其應(yīng)用 例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線. (1)若 求證:A,B,D三點(diǎn)共線; (2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:如何用向量的方法證明三點(diǎn)共線? 解題心得:1.證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線. 2.向量a,b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,當(dāng)且僅當(dāng)1=2=0時(shí)成立,則向量a,b不共線.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 (1)已知向量a,b不共線,且c=a+b,d=a+(2-1)b,若c與d同向,則實(shí)數(shù)的值為 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)設(shè)a,b是兩個(gè)不共線向量, .若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p= .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(3)已知a,b是不共線的向量, ,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí),滿足的條件為 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.平面向量的重要結(jié)論: (1)若存在非零實(shí)數(shù),使得 ,則A,B,C三點(diǎn)共線. (2)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性; (3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,平行向量與起點(diǎn)無關(guān). 2.用已知向量表示另外一些向量是用向量解題的基本功.要在所表達(dá)的圖形上多思考,多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形,比如平行四邊形、菱形、三角形等,可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論. 3.向量共線的充要條件常用來證明平面幾何中的三點(diǎn)共線和兩條直線平行等問題.但向量平行與直線平行是有區(qū)別的,直線平行不包括重合的情形.證明三點(diǎn)共線或兩直線平行時(shí),可先探索有關(guān)向量滿足b=a(a0),再看兩個(gè)向量有無公共點(diǎn),有則共線,無則平行.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.兩向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則兩向量相等;但兩相等向量,不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn). 2.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定,但方向不確定. 3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關(guān)系.向量 是共線向量,但A,B,C,D四點(diǎn)不一定在一條直線上. 4.向量共線的充要條件中要注意“a0”,否則可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè).,易錯(cuò)警示都是零向量“惹的禍” 典例(1)下列命題正確的是 . 向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使b=a; 在ABC中, 不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立; 只有方向相同或相反的向量是平行向量; 若向量a,b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線. (2)下列敘述錯(cuò)誤的是 . 若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a,b之一的方向相同; |a|+|b|=|a+b|a與b方向相同; 若a=b,則a=b.,答案:(1) (2) 解析:(1)向量a與b不共線,向量a,b,a+b與a-b均不為零向量. 若a+b與a-b平行,則存在實(shí)數(shù)使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b, 無解,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線. (2)對(duì)于,當(dāng)a+b=0時(shí),其方向任意,它與a,b的方向都不相同;對(duì)于,當(dāng)a,b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立;對(duì)于,由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量,所以 ;對(duì)于,當(dāng)=0時(shí),不管a,b的大小與方向如何,都有a=b,此時(shí)不一定有a=b.,