5.2 平面向量基本定理及向量 的坐標表示,考綱要求:1.了解平面向量的基本定理及其意義. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示. 3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算. 4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一一對實數(shù)1,2,使a=1e1+2e2,把不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 2.平面向量的坐標表示 (1)向量的坐標表示:在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)x,y使得a=xi+yj,則把實數(shù)對(x,y)叫作向量a的坐標,a=(x,y)叫作向量a的坐標表示. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1).,3.平面向量線性運算的坐標表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)若a=(x,y),R,則a=(x,y). 4.向量平行的坐標表示 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1y2-x2y1=0.,2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“×”. (1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底. ( ) (2)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變. ( ) (3)若a,b不共線,且1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2. ( ) (3) 在同一組基底下,同一向量的表示形式是唯一的. ( ) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件可表示成 ( ),×,×,2,3,4,1,5,2.(2015課標全國,文2)已知點A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),則向量 =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4),答案,解析,2,3,4,1,5,3.(2015四川,文2)設向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實數(shù)x=( ) A.2 B.3 C.4 D.6,答案,解析,2,3,4,1,5,4.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,),若A,B,C三點共線,則= .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.(2015江蘇,6)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),則m-n的值為 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.能作為基底的兩個向量必須是不共線的. 2.向量的坐標與點的坐標不同,向量平移后,其起點和終點的坐標都變了,但由于向量的坐標均為終點坐標減去起點坐標,故平移后坐標不變. 3. 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件不能表示成 ,因為x2,y2有可能等于0,應表示為x1y2-x2y1=0.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1平面向量基本定理的應用 例1(1)如果e1,e2是平面內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( ) A.e1與e1+e2 B.e1-2e2與e1+2e2 C.e1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與2e1+6e2,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F.若 =( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(3)設e1,e2是平面內(nèi)一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1+e2= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:用平面向量基本定理解決問題的一般思路是什么? 解題心得:1.應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算. 2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,然后通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一組基底表示出來.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練1 (1)如圖所示,在四邊形ABCD中,AC和BD相交于點O,設 = (用向量a和b表示).,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2平面向量的坐標運算 例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設 ,且 (1)求3a+b-3c; (2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n; (3)求M,N的坐標及向量 的坐標.,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:利用向量的坐標運算解決問題的一般思路是什么? 解題心得:向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的.解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,若 =( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015昆明一中摸底)已知點M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,則點N的坐標為( ) A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3平面向量共線的坐標表示 例3平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),請解答下列問題: (1)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n的值; (2)若(a+kc)(2b-a),求實數(shù)k的值; (3)若d滿足(d-c)(a+b),且|d-c|= ,求d.,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:向量共線有哪幾種表示形式?兩向量共線的充要條件有哪些作用? 解題心得:1.向量共線的兩種表示形式 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標的應用. 2.兩向量共線的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(平行),可解決三點共線的問題;另外,利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數(shù)的值.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 (1)(2015四川攀枝花模擬)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若為實數(shù),(a+b)c,則= ( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015鄭州模擬)已知向量 ,且A,B,C三點共線,則k的值是( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量a都可被這個平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的. 2.平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則,將向量進行分解. 3.向量的坐標表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示,其中坐標運算法則是運算的關鍵,通過坐標運算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理,從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關問題. 4.在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,5.三個結(jié)論向量中必須掌握的三個結(jié)論: (1)若a與b不共線,a+b=0,則=0; (2)已知 (,為常數(shù)),則A,B,C三點共線的充要條件是+=1. (3)平面向量的基底中一定不含零向量.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系,向量的終點坐標減去起點坐標就是向量坐標,當向量的起點是原點時,其終點坐標就是向量坐標. 2.若a,b為非零向量,當ab時,a,b的方向相同或相反,求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯.,